Tác giả:: Mục lục bài viết
1. Thể tích khối tròn xoay là gì?
Trong không gian, khối tròn xoay là một khối hình được tạo bằng cách quay một mặt phẳng quanh một trục cố định. Trong chương trình toán học phổ thông các bạn sẽ được tiếp xúc với một số khối tròn xoay như khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay, khối cầu tròn xoay,...
2. Các công thức về thể tích khối tròn xoay
Quay quanh trục Ox: Hình giới hạn bởi đường cong y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (trong đó f(x) liên tục trên đoạn [a;b]) quay quanh trục Ox, ta được khối tròn xoay. Thể tích của khối tròn xoay được tính theo công thức:
giới hạn bởi hai đường cong y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b (trong đó f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a;b]) quay quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay được tính theo công thức: V
quanh trục Oy: Hình giới hạn bởi đường cong x = f(y), trục Oy và hai đường thẳng y = c; y = d (trong đó f(x) liên tục trên đoạn [c; d]) quay quanh trục Oy, ta được khối tròn xoay. Thể tích của khối tròn xoay được tính theo công thức:
3. Các bài tập tính thể tích khối tròn xoay
Bài 1: tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng được giới hạn bởi đường cong y = sinx, trục hoành và hai đường thẳng x = 0 , x = π (hình vẽ) quanh trục Ox là
A. π 2 (đvtt)
B. π 2 2 (đvtt)
C. π (đvtt)
D. π 2 (đvtt)
Lời giải
Áp dụng công thức ở định lý trên ta có
Chọn B.
Bài 2: Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng được giới hạn bởi đường cong y = √ A 2 − x 2 và trục hoành quanh trục hoành.
Do √ A 2 − x 2 ≥ 0 với mọi x, do vậy đây là phương trình nửa đường tròn tâm O, bán kính R = A nằm phía trên trục Ox. Khi quay quanh trục Ox thì hình phẳng sẽ tạo nên một khối cầu tâm O, bán kính R = A (hình vẽ). Do vậy ta có luôn V = 4/3 . π . A 3
Vậy với bài toán dạng này, ta không cần viết công thức tích phân mà kết luận luôn theo công thức tính thể tích khối cầu.
Bài 3: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = x 2 ; x = 0 ; x = 2 . Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay (H) quanh trục Ox.
A. V = 8/ 3 .
B. V = 32/ 5 .
C. V = 8 π/ 3 .
D. V = 32 π/ 5 .
Lời giải
Thể tích cần tính là:
Bài 4: Tính thể tích hình khối do hình phẳng giới hạn bởi các đường x = − y 2 + 5 ; x = 3 − y quay quanh Oy.
A. V = 153 π/ 3.
B. V = 9 π/ 2.
C. V = 81 π/ 10.
D. V = 153 π/ 5
Lời giải:
Chọn D.
Bài 5: thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = 1, biết thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng (P) vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ( 0 ≤ x ≤ 1 ) là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là x và ln ( x 2 + 1 ).
A. ln 2 − 1.
B. 1 2 ( ln 2 − 1 ).
C. ln 2 − 1 2 .
D. 1 2 ln 2 − 1.
Lời giải:
Do thiết diện là hình chữ nhật nên diện tích thiết diện là: S ( x ) = x ln ( x 2 + 1 )
Ta có thể tích cần tính là:
Bài 6: Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) xung quanh trục Ox.
Đáp án: A
Câu 7: Viết công thức tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm x = a, x = b (a < b), có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ( a ≤ x ≤ b ) là S(x).
Đáp án: C
Câu 8: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = √ 2 + cos x , trục hoành và các đường thẳng x = 0 , x = π 2 . Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
A. V = π − 1
B. V = ( π − 1 ) π
C. V = ( π + 1 ) π
D. V = π + 1
Đáp án: C
Câu 9: Hình phẳng C giới hạn bởi các đường y = x 2 + 1, trục tung và tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 2 + 1 tại điểm (1; 2), khi quay quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích bằng:
A. V = 4 π/ 5.
B. V = 28 π/ 15.
C. V = 8 π/ 15.
D. V = π
Đáp án: C
Câu 10: Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = e x , trục hoành và các đường thẳng x = 0; x = 1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
A. V = π e 2/ 2
B. V = π ( e 2 + 1 )/ 2
C. V = (e 2 − 1)/ 2
D. V = π ( e 2 − 1 )/ 2
Đáp án: D
Câu 11: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = 2 x − x 2 và y = x khi quay quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích bằng:
A. V = π/ 3 .
B. V = π/ 4.
C. V = π/ 5.
D. V = π.
Đáp án: C
Câu 12: Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các parabol y = 4 − x 2 và y = 2 + x 2 quay quanh trục Ox là kết quả nào sau đây?
A. V = 10 π.
B. V = 12 π.
C. V = 14 π.
D. V = 16 π.
Đáp án: D
Câu 13: Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường 4 y = x 2 , y = x qua quanh trục hoành bằng bao nhiêu?
A. V = 124 π/ 15.
B. V = 126 π/ 15.
C. V = 128 π/ 15.
D. V = 131 π/ 15.
Đáp án:
Câu 14: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = √ x , y = − x và x = 4. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành nhận giá trị nào sau đây:
A. V = 41 π/ 3.
B. V = 40 π/ 3.
C. V = 38 π/ 3.
D. V = 41 π/ 2.
Đáp án: A
Câu 15: Thể tích của khối tròn xoay tạo nên khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi (C): y = lnx, trục Ox và đường thẳng x = e là:
A. V = π ( e − 2 ).
B. V = π ( e − 1 ).
C. V = π e.
D. V = π ( e + 1 ).
Đáp án: A
Câu 16: Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường y = √ x , y = - x + 2, y = 0 quay quanh trục Oy, có giá trị là kết quả nào sau đây?
A. V = 1 π/ 3.
B. V =3 π/ 2.
C. V = 32 π/ 15
D. V = 11 π/ 6
Đáp án: C
Câu 17: Tính thể tích V của khối tròn xoay khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 4 − 1 và trục Ox quanh trục Ox.
A. 21 π/ 5.
B. 6 π .
C. 64 π/ 15.
D. 10 π/ 3.
Đáp án: C
Câu 13. Tính thể tích V của khối tròn xoay khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = √ x + 1 ,đường thẳng x =1 và trục Ox quanh trục Ox.
A. 1 π/ 2
B. π
C. 3 π
D. 2 π
Đáp án: D
Trên đây là các nội dung kiến thức liên quan đến chủ đề công thức tính thể tích khối tròn xoay. Để hiểu hơn các nội dung được trình bày trong bài viết cùng với đó là các nội dung có liên quan đến các kiến thức được trình bày trong bài viết trên, tham khảo: Thể tích là gì? Một số công thức tính thể tích thường dùng.
Trân trọng!
