Mục lục bài viết

1. Tích phân từng phần là gì ?

- Tích phân từng phần là phương pháp tính tìm tích phân của các hàm số có dạng dựa trên việc phân tích các nguyên hàm và đạo hàm của hàm số đó. Phương pháp này thường được sử dụng để biến đổi nguyên hàm của tích các hàm số thành một nguyên hàm đơn giản hơn. Quy tắc có thể suy ra bằng cách tích hợp quy tắc nhân của đạo hàm.

- Tích phân từng phần được sử dụng để tính tích phân nếu biểu thức dưới dấu tích phân có chưa 2 hàm số khác nhau trong 4 hàm số, bao gồm: Hàm logarit, hàm đa thức, hàm lượng giá và hàm số mũ.

- Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử F là một nguyên hàm của f trên [a;b]. Hiệu số F(b) - F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a;b] của hàm số f(x), kí hiệu là \int_{a}^{b}f(x)dx

- Ta dùng kí hiệuPhương pháp tính tích phân từng phần cực hay để chỉ kí hiệu số F(b) - F(a). Vậy \int_{a}^{b}f(x)dx= Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

- Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay. Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biển số.

- Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn [a;b] thì tích phân Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b. Vậy S = Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay.

2. Công thức tính tích phân từng phần và dấu hiệu nhận biết

Cho 2 hàm số u = u (x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] thì ta có công thức: 

Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

Có thể viết gọn thành công thức tổng quát: 

 Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

- Dấu hiệu nhân biết:

  Dấu hiệu Có thể đặt Ví dụ
1 Có \sqrt{f(x)} t = \sqrt{f(x)} I = \int_{0}^{3}\frac{x^{3}dx}{\sqrt{x+1}}. Đặt t = \sqrt{x+1}
2 Có (ax+b)n t = ax +b I = \int_{0}^{1}x(x+1)^{2016}dx. Đặt t = x - 1
3 Có af(x) t = f(x)  Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay
4 Có  dx / x và lnx t = lnx hoặc biểu thức chứa lnx  I = \int_{1}^{e}\frac{lnx.dx}{x(lnx +1)}. Đặt t = lnx
5 Có ex dx t = ex hoặc biểu thức chứa ex I = \int_{0}^{ln2}e^{2x}\sqrt{3e^{x}+1}dx. Đặt t = \sqrt{3e^{x}+1}
6 Có sinx dx t = cos Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay
7 Có cosx dx t = -sinxdx Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay
8 Có dx / cos2x t = tanx Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay
9 Có dx / sin2x t = cot  Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

3. Một số dạng bài tích phân thường gặp và cách giải cụ thể

3.1. Dạng 1: Hàm đa thức và hàm logarit

- Công thức chung: \int_{m}^{n}f(x)ln(ax +b)dx

Trong đó f(x) là một hàm đa  thức

- Phương pháp giải: 

KHi gặp dạng toán này, hãy thức hiện các bước sau:

Bước 1: Ta tiến hành đặt

\begin{cases} & \text{ } u= ln(ax +b)) \\ & \text{ } dv= f(x)dx \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} & \text{ } du= \frac{a}{ax+b} dx\\ & \text{ } v= \int f(x)dx \end{cases}

Bước 2: Tính tích phân theo công thức:

Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

3.2. Dạng 2: Hàm đa thức và hàm lượng giác

- Công thức chung: \int_{m}^{n}f(x)sin(ax+b)dx hoặc \int_{m}^{n}f(x)cos(ax+b)dx

Trong đó, f(x) là một hàm đa thức

- Phương pháp giải:

Bước 1: Ta tiến hành đặt

\begin{cases} & \text{ } u=f(x) \\ & \text{ } dv= sin (ax+b)dx \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} & \text{ } du=f'(x)dx \\ & \text{ } v= -\frac{1}{a}cos (ax+b) \end{cases}

hoặc \begin{cases} & \text{ } u=f(x) \\ & \text{ } dv= cos (ax+b)dx \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} & \text{ } du=f'(x)dx \\ & \text{ } v= \frac{1}{a}sin (ax+b) \end{cases}

Bước 2: Tính tích phân theo công thức:

Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

3.3. Dạng 3: Hàm mũ và hàm lượng giác

- Công thức chung: \int_{m}^{n}e^{^{ax+b}}sin (cx+d)dx hoặc \int_{m}^{n}e^{^{ax+b}}cos (cx+d)dx

- Phương pháp giải:

Với dạng toán tìm tích phân của một biểu thức cho chứa hàm mũ và hàm lượng giác, hãy thực hiện giải toán bằng 2 bước:

Bước 1: Ta tiến hành đặt

\begin{cases} & \text{ } u=e^{ax+b} \\ & \text{ } dv= sin (cx +d)dx \end{cases} hoặc \begin{cases} & \text{ } u=e^{ax+b} \\ & \text{ } dv= cos (cx +d)dx \end{cases}

Bước 2: Suy ra được công thức theo u và v như sau:

Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

3.4. Dạng 4: Hàm mũ và hàm đa thức

- Công thức chung: \int_{a}^{b} P(x)e^{x}dx

Trong đó, P(x) là một hàm đa thức

- Phương pháp giải: để tính tích phân của biểu thức chưa hàm đa thức và hãm mũ, các em tiến hành:

Đặt \begin{cases} & \text{ } u= P(x)\\ & \text{ } dv= e^{x}dx \end{cases}

4. Một số bài tập áp dụng

Bài 1. Tính  I = \int_{0}^{3} (x^{^{2}}-4)dx

Cho kết quả đúng:

A. 6 B. -3 C. 3 D. -6

Lời giải:

Ta có: 

Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

= 9 - 12 = -3

Chọn đáp án B

Bài 2. Tính I = \int_{1}^{e} (ln2.2^{x}- ln3.3^{x})dx

A. ln2.2e - ln3.3e

B. ln2.2e - ln3.3e +1

C. 2e - 3e

D. 2e - 3e +1

Lời giải: 

Ta có: 

I = \int_{1}^{2} (2e^{x}+2x+1) dx

A. 2e2 - 2e + 4

B. 2e3 + 2e + 2

C. 2e2 - 2e + 8

D.2e2 + 2e + 8

Lời giải:

Ta có: 

I = \int_{1}^{e} (ln2.2^{x}- ln3.3x^{{x}}) dx

Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

<=> I = 2e - 3e + 1

Chọn đáp án D

Bài 3: Tính I = \int_{1}^{2} (2e^{x} + 2x +1)dx

A. 2e2 - 2e + 4

B. 2e3 + 2e + 2

C. 2e2 - 2e + 8

D. 2e2 + 2e +8

Lời giải:

Ta có: 

I = Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

<=> I = 2.e2 + 4 + 2 - ( 2.e + 1 + 1 )

= 2e2 - 2e + 4

Chọn đáp án A

Bài 4. Cho:

\int_{0}^{2} (\frac{2}{x+3}+\frac{4}{x+5})dx = aln5 + bln7 +cln3 với a; b; c là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. a + b + c = 0

B. a - 2b + c = 0

C. a - b + c = -1

D. a + 2b = 0

Lời giải:

Ta có: \int_{0}^{2} (\frac{2}{x+3}+\frac{4}{x+5})dx

Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

= 2ln5 + 4ln7 - 2ln3 - 4ln5

= -2ln5 + 4ln7 - 2ln3

=> a = -2; b = 4; c = - 2

=> a + b + c = 0

Chọn đáp án A

Bài 5. Cho \int_{0}^{lnm} \frac{2e^{x}dx}{e^{x}+1} = 2ln2

Khi đó giá trị của m là:

A. m = 1

B. m = 3

C, m = 4

D. m = 0

Lời giải:

Điều kiện m > 0

Ta có: 

\int_{0}^{lnm} \frac{2e^{x}dx}{e^{x}+1} = \int_{0}^{lnm}\frac{d(e^{x} +1)}{e^{x}+1}

Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

Theo giả thiết ta có:

2ln(m+1) - 2ln2 = 2ln2

<=> 2ln(m+1) = 4ln2 

<=>  ln(m+1) = ln4

<=> m + 1 = 4 

<=> m = 3

Chọn đáp án B

Bài 6. Tính I = Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

A. 0

B. 1 + \sqrt{2}

C. 2 - \sqrt{2}

D. 2 + 1 / \sqrt{2}

Lời giải: 

Ta có: 

Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

 = -2\tfrac{1}{{\sqrt{2}}} + 2.cos 0 = 2 - \sqrt{2}

Chọn đáp án C

Bài 7. Tính I = \int_{0}^{1}\frac{x}{(x +1)^{10}}dx

A. 251 / 18432

B. 25 / 1432

C. 215 / 432

D. Đáp án khác

Lời giải:

Ta có:

I = \int_{0}^{1}\frac{x}{(x +1)^{10}}dx = \int_{0}^{1}\frac{(x+1) - 1}{(x+1)^{10}}dx

= \int_{0}^{1}(\frac{x}{(x +1)^{9} }- \frac{x}{(x +1)^{10}})dx

 Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

= 251 / 18432

Chọn đáp án A

Bài 8. Tính I = \int_{0}^{3}(5^{x}.ln25)dx

A. 128

B. 128ln2

C. 124 / ln2

D. 248

Lời giải:

Ta có:

I = \int_{0}^{3}(5^{x}.ln25)dx = 2ln5.\int_{0}^{3}5^{x}dx

( vì ln25 - 2.ln5)

Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

Chọn đáp án D

Bài 9. Cho I = \int_{1}^{m}(\frac{2}{\sqrt{x}})dx = 12

Tìm m  ?

A. m = 20

B. m = 16

C. m = 4

D. m = 8

Lời giải:

Ta có: 

\int_{1}^{m}\frac{2}{\sqrt{x}}dx = 4\int_{1}^{m}\frac{1}{2\sqrt{x}}dx

Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

Theo giả thiết ta có: 4\sqrt{m} - 4 = 12 <=> 4.\sqrt{m }= 16 <=> \sqrt{m} = 4 <=> m = 16

Chọn đáp án B

Bài 10: Tính I  biết Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

A. 0

B. -2

C.4

D. -3

Lời giải:

Ta có:

Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

<=> I = (1 - 4) - (-1 - 4.0) = - 2

Chọn đáp án B

Bài 11. Tính I = \int_{-1}^{1} \left ( \frac{x+4}{(x+2)^{10}} \right )dx

A. 929 / 4561

B. 271 / 1982

C. 45 / 2654

D. 2348 / 6561

Lời giải:

Ta có:

I = \int_{-1}^{1} (\frac{8x +10}{(x+2)^{10}})dx

= \int_{-1}^{1} (\frac{8(x +2) - 6}{(x+2)^{10}})dx

= \int_{-1}^{1} (\frac{8 }{(x+2)^{9}} - \frac{6}{(x+2)^{10}})dx

Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

= 2348 / 6561

Chọn đáp án D

Bài 12: Cho m là số thực dương thỏa mãn:

\int_{0}^{m} (\frac{x }{(1+x^{2})^{3}} dx= \frac{3}{16}

Mệnh đề nào sau đây là đúng ?

A. m\epsilon (3;\frac{7}{2})

B. m\epsilon (0;\frac{3}{2})

C. m\epsilon (\frac{3}{2};{3})

D. Đáp án khác

Lời giải:

Ta có: 

\int_{0}^{m}\frac{xdx}{(1+x^{2})3} =\frac{1}{2}\int_{0}^{m}(1+x^{2})^{-3}dx(1+x^{2}) Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

= \frac{1}{4}- \frac{1}{4(1+m^{2})^{2}}

Theo giả thiết ta có:

1 / 4 - 1 / 4(1 + m2)2 = 3 / 16

<=> 1 / 4(1+m2)2 = 1 / 16

<=> ( 1 + m2)2 = 4 

<=> 1 + m2 = 2 

<=> m = Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

Kết hợp với điều kiện m > 0 nên m = 1

Chọn đáp án B

Bài 13. Tính I = \int_{0}^{1}\frac{dx}{(1+x)^{3}}

A. 3 / 7

B. 3 / 8

C. 7 / 8

D. 3 / 4

Lời giải:

Ta có: 

I = \int_{0}^{1}\frac{dx}{(1+x)^{3}} = \int_{0}^{1}(1+x)^{-3}d(x+1) Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

Hay I = 3 / 8

Chọn đáp án B

Bài 14. Tính I  = \int_{0}^{1}\frac{2x-3}{x+1}dx

A. I = 2 - ln2

B. I = 2 - 5ln2

C. I = 2 + 5lin2

D. I = 4 - 5ln2

Lời giải

Ta có: I = \int_{0}^{1}\frac{2x-3}{x+1}dx = \int_{0}^{1}(2-\frac{5}{x+1})dx

= Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

Do đó: I = 2 - 5ln2

Chọn đáp án B

Bài 15: Tính \int_{0}^{1} x^{3}(x^{4} - 1)^{3}dx

A. -1 / 16

B. -1 / 8

C. - 1 / 6

D. 1 / 16

Lời giải:

Đặt t = x4=> dt = 4x3dx <=> x3dx = dt / 4

Đổi cận: \begin{cases} & \text{ } x=0 \\ & \text{ } x= 1 \end{cases} =>\begin{cases} & \text{ } t=0 \\ & \text{ } t= 1 \end{cases}

Suy ra: Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

Chọn đáp án A

Bài 16. Cho I = I = \int_{0}^{1}\frac{(3x - 5)^{10}}{(x+2)^{12}}dx

Hỏi I gần với giá trị nào nhất ?

A. 186

B. 168

C. 197

D. 174

Lời giải

Ta có:

\frac{(3x - 5)^{10}}{(x+2)^{12}}dx = \frac{1}{11}(\frac{3x-5}{x+2})^{10}.d(\frac{3x-5}{x+2})

=> I = \int_{0}^{1} \frac{(3x - 5)^{10}}{(x+2)^{12}}dx

= \int_{0}^{1} \frac{1}{11}\left (\frac{3x-5}{x+2}^{} \right )^{10}.d\left ( \frac{3x-5}{x+2} \right )

Đặt t = \frac{3x-5}{x+2}

Đổi cận \begin{cases} & \text{ } x= 0 =>t = \frac{-5}{2}\\ & \text{ } x= 1 => t = \frac{-2}{3} \end{cases}

=> I = \int_{\frac{-5}{2}}^{\frac{-2}{3}}\frac{1}{11}t^{10}dtPhương pháp tính tích phân từng phần cực hay

Chọn đáp án C

Bài 17. Tính các tích phân sau

a) I = \int_{0}^{1}\frac{dx}{(1+x)^{3}}

b) I =  \int_{0}^{1}\frac{x}{(x+1)}dx

c) I = \int_{0}^{1}\frac{2x+9}{(x+3)}dx

Lời giải: 

a) I = \int_{0}^{1}\frac{dx}{(1+x)^{3}} = \int_{0}^{1}\frac{d(1+x)}{(1+x)^{3}} =Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay = 3 / 8

b) I = \int_{0}^{1}\frac{x}{x+1}dx =\int_{0}^{1}(1- \frac{1}{x+1})dx = Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay= 1 - ln2

c) I = \int_{0}^{1}\frac{2x+9}{x+3}dx =\int_{0}^{1}(2+ \frac{3}{x+3})dx Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay= 3 + 6ln2 - 3ln3

Bài 18: Tính tích phân sau:

a) I = \int_{0}^{1}(1-x)e^{x}dx

b) I = \int_{0}^{1}x^{2}.e^{{-x}}dx

Lời giải chi tiết:

a) Đặt u = 1 - x; dv = exdx

Ta có: du = - dx; v = e x

Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

Vậy I = e - 2

b) Đặt u =  x2, dv = e-x dx, ta có: 

du = 2xdx, chọn v = -e-x

Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

Với K = \int_{0}^{1}x.e^{{-x}}dx

Tính K: Đặt u = x2, dv = e - x dx 

Ta có: du = dx, chọn v = e-x

Phương pháp tính tích phân từng phần cực hay

= - 1 / e - (1 / e - 1 ) = - 2 / e + 1 

Vậy I = - 5 / e + 2

Bạn đọc có thể tham khảo bài viết: Cách tính đạo hàm của các hàm đơn giản hay, chi tiết nhất