Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước

1. Số phức là gì?

- Số phức là một biểu thức dạng a + bi, trong đó a, b là các số thực và số i thỏa mãn i² = - 1. Kí hiệu z = a + bi.

i : đơn vị ảo, a: phần thực, b: phần ảo.

Chú ý:

* z = a + 0i = a được gọi là số thực ( a ∈ R ⊂ C )

* z = 0 + bi = bi được gọi là số ảo (hay số thuần ảo)

* 0 = 0 + 0i vừa là số thực vừa là số ảo 2.

- Biểu diễn hình học của số phức.

* M (a;b) biểu diễn cho số phức z ⇔ z = a + bi

- Hai số phức bằng nhau. Cho hai số phức z = a + bi và z ′ = a ′ + b ′ i với a, b, a ′, b ′ ∈ R

z = z ′ ⇔  a = a ′ và b = b ′

- Cộng và trừ số phức. Cho hai số phức z = a + bi và z ′ = a ′ + b ′i với a, b, a ′, b ′ ∈ R

z + z ′ = (a + a ′) + (b + b ′) i

z – z ′ = (a – a ′) + (b – b ′) i

- Nhân hai số phức. Cho hai số phức z = a + bI và z ′ = a ′ + b ′ i với a, b, a ′, b ′ ∈ R

z. z ′ = (a. a ′ – b. b ′) + (a. b ′ + a ′ b) i

k (a + bi) = k. a + k. bi ( k ∈ R )

- Môđun của số phức z = a + bi

 Số thực | z | = √ a 2 + b 2 = |vecto OM| gọi là môdul của số phức z = a + bi .

 | z | = √ a² + b² = √ z.z = |vecto OM| với M (a; b ) là điểm biểu diễn số phức z .

 | z | ≥ 0, ∀ z ∈ C, | z | = 0 ⇔ z = 0.

|z . z ′| = |z| . | z ′| ;

|z/ z'| = |z|/ |z'|

||z| – |z ′|| ≤ |z ± z ′| ≤ |z| + |z '|.

- Chia hai số phức. Cho hai số phức z = a + bi và z ′ = a ′ + b ′i với a, b, a ′, b ′ ∈ R

Thương của z ′ chia cho z (z ≠ 0): z ′/ z = (a. a ′ + b. b ′)/ a² + b² + (a. b ′ – a ′. b)/ (a² + b^2₎ i

- Căn bậc hai của số phức. w = x + yi là căn bậc hai của số phức z = a + bi khi và chỉ khi

w² = z

 x² – y² = a và 2. x. y = b

Số 0 có một căn bậc hai là số w = 0.

Số z ≠ 0 có hai căn bậc hai đối nhau là w và – w.

Hai căn bậc hai của số thực a > 0 là ± √ a.

Hai căn bậc hai của số thực a < 0 là ± i √ – a.

- Lũy thừa đơn vị ảo

i⁰ = 1 , i¹ = i , i² = – 1, i³ = i² . i = – i,..... bằng quy nạp ta được:

i⁴ⁿ = 1 , i^{4n + 2} = i , i^{4n + 2} = – 1 , i^{4n + 3} = – i , ∀ n ∈ N ∗

Do đó: iⁿ ∈ { – 1; 1; – i; i } , ∀ n ∈ N ∗

- Phương trình bậc nhất a. x + b = 0 (a, b là số phức cho trước, a ≠ 0 ).

Giải tương tự phương trình bậc nhất với hệ số thực

- Phương trình bậc hai a. x² + b. x + c = 0 (a , b , c là số thực cho trước, a ≠ 0 ).

Tính Δ = b² – 4. a. c

 Δ < 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt phức x_1,2 = (– b ± i √ |Δ|)/ 2. a

 Δ = 0: Phương trình có 1 nghiệm kép là x = – b/ 2. a

 Δ > 0 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt phức x_1,2 = (– b ± √ Δ)/ 2. a

2. Một số bài toán thường gặp về số phức

- Dạng 1: Cộng, trừ số phức

+ Phương pháp giải

Cho hai số phức z₁ = a + bi và z₂ = c + di:

• Cộng số phức: z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d)i

• Trừ số phức: z1 – z2 = ( a- c) + ( b – d)i

- Dạng 2: Nhân, chia hai số phức

Nhân số phức: z₁.z₂ = (ac – bd) + (ad + bc). i

Chia số phức:

• Số phức nghịch đảo của z = a + bi ≠ 0 là

• Thực hiện phép chia (c + di)/ (a + bi):

3. Các bài tập số phức và đáp án

Bài 1: Cho hai số phức z₁ = 1 + 10i và z₂ = 9 – 2i. Số phức z = z₁ + z₂ có z₁ có phần thực là:

A. 8

B. 10

C. 12

D. 14

Lời giải: Ta có: z = z₁ + z₂ = (1 + 10i) + ( 9 – 2i) = 10 + 8i.

Đáp án: B

Bài 2: Hãy tính số phức z. Biết rằng: z = 10i – ( 2 + 2i).i

A. z = 2 + 8i

B. z = 8 - 2i

C. z = 8 + 2i

D. z = 2 - 8i

Lời giải: Ta có z = 10i - (2 + 2i).i = 10i – 2i + 2 = 2 + 8i

Đáp án: A

Bài 3: Cho hai số phức z = -2 + 3yi; z’ = ( x + 1)- 4i với x,y ∈ R.

Tìm x; y để z + i= z’ + 2

A. x = -5; y = -5/ 3

B. x = 5; y = 2

C. x = 2; y = 12/ 5   

D. x = 1/ 4; y = -2

Lời giải:

Để z + i = z’ + 2

⇔ - 2 + 3yi + i = ( x + 1) – 4i + 2

⇔ - 2 + (3y + 1).i = ( x + 3)- 4i

Do đó ta có hệ phương trình:  -2 = x + 3 và 3y + 1 = -4  <=> x = -5 và y = -5/ 3

 Đáp án: A

Bài 4: Cho z₁ = a + 8i, z₂ = 6 – 3i và z₃ = 10 + bi ( a,b ∈ R ). Tìm a, b để z₁ + z₂ = z₃

A. a = 2; b = 5

B. a = 1; b = -5

C. a = 4; b = 5

D. a = 3; b = 1

Lời giải: Có: z₁ + z₂ = z₃ nên (a + 8i) + ( 6 – 3i) =10 + bi

⇔ ( a + 6) + 5i = 10 + bi

⇔ a + 6 = 10 và 5 = 5

⇔ a = 4 và b = 5

Vậy a = 4; b = 5.

Đáp án: C

Bài 5: Số nào trong các số phức sau là số thuần ảo?

A. (√2 + i) - (1 + √2i)

B. (8 + 2i) + (- 8 + 2i)

C. (- 3 + i) – (3 - i)

D. (10 + 3i) – (-10 – 3i)

Lời giải:

Ta xét các phương án:

* (√2 + i) - (1 + √2i)= (√2 - 1) - (1 - √2) không là số thuần ảo.

* (8 + 2i) + (- 8 + 2i) = 4i là số thuần ảo.

* (-3 + i) – (3- i) = - 3 + i – 3 + i= - 6 + 2i không là số thuần ảo.

* (10 + 3i) – ( -10 – 3i) = 10 + 3i + 10 + 3i = 20 + 6i không là số thuần ảo.

Đáp án: B

Bài 6: Tính giá trị của P= i¹⁰⁵ + i²³ + i²⁰ – i³⁴

A. 1

B. -2

C. 2

D. 5

Lời giải:

Ta có : i² = -1 ⇒ i⁴ = 1.

Do đó, P = i¹⁰⁵ + i²³ + i²⁰ – i³⁴ = i^{104 + 1} + i^{20 + 3} + i^4.5 – i^{4.8 + 2} = i. i^4.26 + i².i.i^4.5 + 1- i². i^4.8 = i. 1 + (-1).i.1 + 1 - (-1).1 = 2

Đáp án: C

Bài 7: Tìm số phức z = [(1 + 5i) - (1 + 3i)]²⁰⁰⁷.

A. z= - 8²⁰⁰⁷.i

B. z= -8²⁰⁰⁷.i

C. z= -2²⁰⁰⁷

D. z= -2²⁰⁰⁷.i

Lời giải: z = [(1 + 5i) - (1 + 3i)]²⁰⁰⁷

⇔ z = [2i]²⁰⁰⁷

⇔ z = 2²⁰⁰⁷i²⁰⁰⁷

⇔ z = 2²⁰⁰⁷ i^4.501.i².i=2²⁰⁰⁷ (-i)

( Vì i² = -1 nên i⁴ =1)

Đáp án: D 

Trên đây là một số nội dung được trình bày về số thực. Tham khảo: Phân số tối giản là gì? Cách rút gọn phân số về phân số tối giản.

Trân trọng