Mục lục bài viết

Dạng 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa
Dạng 2: Đạo hàm của đa thức - Hữu tỉ - Căn thức
Dạng 3: Tìm đạo hàm của hàm số
Dạng 4: Bài toán chứng minh, giải phương trình, bất phương trình
Dạng 5: Bài tập đạo hàm vận dụng, vận dụng cao

Đạo hàm là một tỉ số giữa số gia của đối số và số gia của hàm số tại một thời điểm bất ký gọi là x_o. Đạo hàm có ý nghĩa lớn trong vật lý, những ứng dụng hình học và hình học không gian. Để giải được các dạng bài tập về đạo hàm, trước tiên bạn cần nắm chắc các lý thuyết sau:

- Công thức đạo hàm cơ bản

- Công thức đạo hàm lượng giác

- Công thức đạo hàm của biến số, hàm số và phân thức hữu tỉ

- Công thức đạo hàm và bảng nguyên hàm

- Công thức đạo hàm vận dụng cao

Sau khi nắm đầy đủ các công thức trên, Luật Minh Khuê xin mời bạn đọc cùng luyện tập các dạng toán về đạo hàm có lời giải chi tiết sau đây:

Dạng 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa

Bài 1: Xét ba câu dưới đây và chọn đáp án đúng nhất:

(1) Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại điẻm x = x_o thì f(x) liên tục tại điểm đó

(2) Nếu hàm số f(x) liên tục tại điểm x = x_o thì f(x) có đạo hàm tại điểm đó

(3) Nếu f(x) gián đoạn tại x = x_o thì chắc chắn f(x) không có đạo hàm tại điểm đó

Trong ba câu trên:

A. Có hai câu đúng và một câu sai

B. Có môt câu đúng và hai câu sai

C. Cả ba câu đều đúng

D. Cả ba câu đều sai

Đáp án: Chọn B. Có một câu đúng và hai câu sai:

Bài 2: Chọn mệnh đề dúng trong các mệnh đề sau:

A. Hàm số y = cosx có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó

B. Hàm số tanx có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó

C. Hàm số y = cosx có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó

D. Hàm số y = 1/ sinx có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó

Đáp án: Chọn D. Hàm số y = 1/sinx có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó.

Bài 3: Để tính đạo hàm của hàm số y = cotx ( $x \neq \kappa \pi$ ), một học sinh thực hiện theo các bước sau:

(I) y = cosx/ sinx có dạng u/v

(II) Áp dụng công thức tính đạo hàm ta có: y' = $\frac{-sin^{2}x - cos^{2}x}{sin^{2}x}$

(III) Thực hiện các phép biến đổi, ta được y' = - 1/ sin²x = - (1 + cot²x)

Hãy xác định xem bước nào đúng?

A. Chỉ bước (II) đúng

B. Chỉ bước (III) đúng

C. Chỉ bước (I) đúng

D. Cả ba bước đều đúng

Đáp án: Chọn C

Bài 4: Số gia của hàm số f(x) = x³ ứng với x_o = 2 và $\Delta x =1$ là:

A. Số gia bằng -19

B. Số gia bằng 7

C. Số gia bằng 19

D. Số gia bằng -7

Đáp án: Chọn B. 7

Bài 5: Cho hàm số f(x) = x² + |x|. Xét hai câu sau:

(1) Hàm số trên có đạo hàm tại x = 0

(2) Hàm số trên liên tục tại x = 0

Trong 2 câu trên:

A. Chỉ có (1) đúng

B. Chỉ có (2) đúng

C. Cả hai câu đều sai

D. Cả hai câu đều đúng

Đáp án: Chọn D. Cả hai câu đều đúng

Dạng 2: Đạo hàm của đa thức - Hữu tỉ - Căn thức

Bài 1: Cho hàm số f(x) = $\sqrt{x-1}$ . Đạo hàm của hàm số tại x = 1 là:

A. 1/2

B. 1

C. 0

D. Không tồn tại

Đáp án. Chọn C

Bài 2: Cho hàm số f(x)= 1/x. Đạo hàm của hàm số tại x = $\sqrt{2}$

A. 1/2

B. -1/2

C. 1/ $\sqrt{2}$

D. -1/ $\sqrt{2}$

Đáp án: Chọn D

Bài 3: Cho hàm số f(x) = 2x³ + 1. Giá trị f'(-1) bằng

A. 6

B. 3

C. -2

D. -6

Đáp án: Chọn A

Bài 4: Cho hàm số y = $\frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}$ . Tính y'(0) bằng:

A. Y'(0) = 1/2

B. Y'(0) = 1/3

C. Y'(0) = 1

D. Y'(0) = 2

Đáp án: chọn A. Y'(0) = 1/2

Dạng 3: Tìm đạo hàm của hàm số

Với dạng bài tập này, ta cần chú ý:

- Trong một số bài toán ta có thể thu gọn f(x) trước sau đó mới lấy đạo hàm (nhất là các hàm số lượng giác)

- Để thu gọn ta cần nhớ các công thức:

Sin2x = 2sinx cosx

Cos2x = cos²x - sin²x = 2cos²x -1 = 1- sin²x

Bài 1: Tìm đạo hàm của hàm số y = 1/4 -1/3x + x² -0,5x⁴

A. y' = -1/3 + 2x -2x³

B. y' = 2x - 2x³

C. y' = -x⁴+ 2x

D. y' = 2x - 2x⁴

Đáp án: Chọn A. y' = /-1/3 + 2x - 2x³

Bài 2: Cho hàm số $y= \frac{ax+b}{c+d}$ . Tìm đạo hàm của hàm số (biết a, b, c, d là hằng số)

A. y' = (ad - bc)/ (c + d)²

B. y' = (a + b)/ (c + d)

C. y' = (ad - bc)/ (c + d)

D. y' = a/ (c + d)

Đáp án: Chọn D. y' = a/ (c + d)

Bài 3: Tính đạo hàm của hàm số y = (x⁷ + x)²

A. Y' = (14x⁶ + 2) (x⁷ + x)

B. Y' = (7x⁶ + 1) (x⁷ + x)

C. Y' = 2(x⁷ + x)

D. Y' = (14x⁶ + 1) (x⁷ + x)

Đáp án: Chọn A. Y' = (14x⁶ + 2) (x⁷ + x)

Bài 4: Cho hàm số y = (4x² + 2x) (3x - 7x⁵). Tính tổng hệ số của y'

A. Hệ số bằng 328

B. Hệ số bằng -232

C. Hệ số bằng -304

D. Hệ số bằng -256

Đáp án: Chọn B. Hệ số băng -232

Bài 5: Tính đạo hàm của hàm số cos²x = y

A. Y' = sin²x

B. Y' = - sin²x

C. Y' = - sin2x

D. Y' = cos2x

Đáp án: Chọn C. Y' = - sin2x

Bài 6: Tính đạo hàm của hàm số y = cot (sin5x)

A. Y' = - (1 + cot²(sin5x)) cos5x

B. Y' = -5 (1 + cot²(sin5x)) cos5x

C. Y' = (1 + cot²(sin5x))cos5x

D. Y' = 5(1 + cot²(sin5x))cos5x

Đáp án: Chọn B.

Bài 7. Tính đạo hàm của hàm số y = (1-2x²)³

Lời giải: Sử dụng công thức ta có:

Y' = 3 (1-2x²)² . ( 1 - 2x²)' = 3 (1 -2x²)² (-4x) = -12x (1 - 2x²)²

Bài 8: Đạo hàm của hàm số y = (1 - x²)⁵ là:

A. y' = 5 (1 - x²)⁴

B. y' = -10x (1-x²)⁴

C. y' = -2 (1 - x²)⁴

D. y' = -5x (1 - x²)⁴

Đáp án: Chọn B

Bài 9: Đạo hàm của hàm số y = (x³- x + 1)⁵ là:

A. 4(x³ - x + 1)⁴ (3x - 1)

B. 5 (x³ - x + 1)⁴ (3x -1)

C. 5 (x³ - x + 1)

D. (x³- x + 1)⁴ (3x -1)

Đáp án: Chọn B

Dạng 4: Bài toán chứng minh, giải phương trình, bất phương trình

Bài 1: Cho hàm số f(x) = x³ - x² + 3mx + 2019. Tìm tham số m để phương trình f'(x) = 0 có hai nghiệm dương phân biệt

Giải: Ta có f'(x) =3x² - 2x + 3m và f'(x) = 0 ⇔ 3x² - 2x + 3m = 0 (*)

Phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix} a\neq 0\\ \Delta '>0 \\ S>0 \\ P>0 \end{matrix}\right.$ ⇔ 0 < m < 1/9

Vậy giá trị m $\epsilon$ (0; 1/9)

Bài 2: Cho hàm số y = mx⁴ + (m² - 9) x² + 10. Tìm m để phương trình y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt

Giải: Ta có y' = 0 và y' = 4m³ + 2(m² - 9)x ⇔ 4mx³ + 2(m² -9)x = 0 ⇔ $\left\{\begin{matrix} x=0\\ 2mx^{2} + m^{2} - 9 =0 (*) \end{matrix}\right.$

Phương trình y' = 0 có 3 nghiệm phân biệ khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0. Điều kiện tương đương là: $\begin{Bmatrix} 2m\neq 0\\ \Delta ' = 0 - 2m(m^{2}-9)>0 \\ 2m0^{2} +m^{2}-9 \neq 0 \end{Bmatrix}$ ⇔ m < -3 hoặc 0 < m < 3.

Vậy giá trị m cần tìm là m< -3 hoặc 0 < m < 3

Dạng 5: Bài tập đạo hàm vận dụng, vận dụng cao

Bài 1: Cho hàm số f(2x) = 4. Cosx. f(x) - 2x. Tính f'(0)

A. 0

B. 1

C. -2

D. 2

Hướng dẫn giải: Sử dụng đạo hàm của hàm số hợp và các quy tắc tính đạo hàm tính đạo hàm của hàm số f(2x). Thay x = 0 và suy ra f'(0). Ta được f'(0) = 1.

Chọn đáp án B. 1

Bài 2: Tính tổng S, biết S = 1 + 2. 2 + 3. 2² + 4 . 2³ + ... + 2023. 2²⁰²²

A. S = 2022. 2²⁰²³ + 1

B. S= 2023. 2 ²⁰²³ + 1

C. S = 2022. 2²⁰²³ + 1

D. S = 2024. 2²⁰²³+ 1

Đáp án: Chọn A

Trên đây là bài viết của Luật Minh Khuê về Các bài toán đạo hàm theo từng dạng có lời giải chi tiết, hy vọng bài viết trên đã mang đến thông tin hữu ích cho bạn đọc giúp bạn đọc có thể không chỉ nắm vững kiến thức về đạo hàm mà còn có thể áp dụng thành thục vào bài tập đạo hàm với các dạng bài khác nhau. Xin trân trọng cảm ơn