Mục lục bài viết

1. Lý thuyết cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc trong không gian
2. Bài tập vận dụng chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc trong không gian
3. Đáp án bài tập vận dụng chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc trong không gian

1. Lý thuyết cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc trong không gian

Định nghĩa

Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900.

Kí hiệu (P) $\perp$ (Q)

Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng vuông góc với nhau.

Tính chất

- Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này vuông góc với giao tuyến đều vuông góc với mặt phẳng kia.

-Nếu hai mặt phẳng (P),(Q) vuông góc với nhau và A $\epsilon$ (P) thì đường thẳng qua A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P).

- Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.

Cách giải bài toán chứng minh hai mặt phẳng vuông góc:

Tìm một đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) mà a $\perp$ (Q).

Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng:

Phương pháp chung:

Ngoài một số phương pháp đề cập từ bài trước, ta có thể sử dụng thêm một trong các phương pháp dưới đây:

+) Chứng minh a $\subset$ (Q) với (Q) $\perp$ (P) và a vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q).

+) Chứng minh a là giao tuyến của hai mặt phẳng (Q), (R) mà cùng vuông góc (P).

2. Bài tập vận dụng chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc trong không gian

Bài 1: Cho tứ diện ABCD có: AB = AC = AD, góc BAC bằng góc BAD bằng 600. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.

a) Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là:

A. $\widehat{ACB}$

B. $\widehat{ANB}$

C. $\widehat{ADB}$

D. $\widehat{MNB}$

b) Mặt phẳng (BCD) vuông góc với mặt phẳng

A. (CDM)

B. (ACD)

C. (ABN)

D. (ABC)

c) Đường vuông góc chung của AB và CD là:

A. BN

B. AN

C. BC

D. MN

Bài 2: Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc.

a) Khằng định nào sau đây đúng?

A. AB $\perp$ (ACD).

B. BC $\perp$ (ACD).

C. CD $\perp$ (ABC).

D. AD $\perp$ (BCD).

b) Điểm cách đều bốn điểm A, B, C, D là:

A. trung điểm J của AB

B. trung điểm I của BC

C. trung điểm K của AD

D. trung điểm M của CD

Bài 3: Cho chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a

a) Đường thẳng SA vuông góc với

A. SC

B. SB

C. SD

D. CD

b) Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SAC) bằng:

A. a

B. $\frac{a}{2}$

C. $\frac{a\sqrt{2}}{3}$

D. $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Bài 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’:

a) Mặt phẳng (ACC’A’) không vuông góc với mp nào?

b) Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (A’BD) là?

Bài 5: Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc.

a) Đường thẳng AB vuông góc với mp nào?

b) Mặt phẳng (ABD) vuông góc với mặt phẳng nào của tứ diện?

A. Không vuông góc với mặt nào?

B. (ACD)

C. (ABC)

D. (BCD)

c) Đường vuông góc chung của AB và CD là:

A. AC

B. BC

C. AD

D. BD

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật. SA vuông góc với (ABCD), AH và AK lần lượt là đường cao của tam giác SAB và SAD.

a) Hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc vì.

A. Góc của (SAB) và (SBC) là góc ABC và bằng 900.

B. Góc của (SAB) và (SBC) là góc BAD và bằng 900.

C. AB $\perp$ BC; AB $\subset$ (SAB) và BC $\subset$ ( SBC)

D. BC $\perp$ (SAB) do BC $\perp$ AB và BC $\perp$ SA

b) Hai mặt phẳng (SAC) và (AHK) vuông góc vì:

A. AH $\perp$ (SBC) (do AH $\perp$ SB và AH $\perp$ BC); và AK $\perp$ (SCD) (do AK $\perp$ SD và AK $\perp$ CD)

B. AH $\perp$ (SBC) (do AH $\perp$ SB và AH $\perp$ BC); và AK $\perp$ (SCD) (do AK $\perp$ SD và AK $\perp$ CD) nên SC $\perp$ (AHK)

C. AH $\perp$ (SBC) (do AH $\perp$ SB và AH $\perp$ BC) nên SC $\perp$ (AHK)

D. AK $\perp$ (SBC) (do AK $\perp$ SD và AK $\perp$ CD) nên SC $\perp$ (AHK)

Bài 7: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF cạnh a nằm trên hai mặt phẳng vuông góc.

a) DE bằng:

A. $a\sqrt{3}$

B. $a\sqrt{2}$

C. 3a2

D. a(1 + $\sqrt{3}$ )

b) Đường thẳng DE vuông góc

A. Chỉ với AC

B. Chỉ với BF

C. Chỉ với AC và BF

D. Hoặc với AC hoặc với BF

Bài 8: Trong các điều khẳng định sau đây, điều nào đúng?

a) Khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất trong các đoạn thẳng nối hai điểm bất kì nằm trên hai đường thẳng ấy và ngược lại.

b) Qua một điểm có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

c) Qua một đường thẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng khác cho trước.

d) Đường thẳng nào vuông góc với cả hai đường thẳng chéo nhau cho trước là đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

3. Đáp án bài tập vận dụng chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc trong không gian

Bài 1:

Đáp án: a- B, b - C, c - D

a. Các tam giác ABC và ABD là tam giác đều ⇒ tam giác ACD cân

⇒ BN $\perp$ CD và AN $\perp$ CD ⇒ góc ANB là góc của hai mặt phẳng (ACD) và (BCD)

b. Ta có CD $\perp$ (ABN) (do BN $\perp$ CD và AN $\perp$ CD) ⇒ (BCD) $\perp$ (ABN)

c. CD $\perp$ MN; AB $\perp$ (CDM) (do AB $\perp$ CM và AB $\perp$ DM)

MN là đường vuông góc chung của AB và CD

Bài 2:

Đáp án: a - C, b - C

a. Phương án A sai vì chỉ có AB $\perp$ CD; phương án B sai vì chỉ có : BC $\perp$ CD

Phương án C đúng vì

CD $\perp$ AB

CD $\perp$ BC

Suy ra, CD $\perp$ (ABC)

Phương án D sai vì AD không vuông góc với đường thẳng nào thuộc mặt phẳng (BCD)

b. CD $\perp$ (ABC) vì CD $\perp$ AB và CD $\perp$ BC

AB $\perp$ (BCD) vì AB $\perp$ BC và AB $\perp$ CD

Phương án A sai vì tam giác ABC không vuông góc tại C nên trung điểm của AB không cách đều ba điểm A, B, C

Phương án B sai vì tam giác ABC không vuông góc tại A nên trung điểm của BC không cách đều ba điểm A, B, C

Phương án C đúng vì tam giác ACD vuông góc tại C nên trung điểm K của AD cách đều ba điểm A, C, D; tam giác ABD vuông góc tại B nên trung điểm K của AD cách đều ba điểm A, B và D

Phương án D sai vì tam giác CBD không vuông góc tại B nên trung điểm của CD không cách đều ba điểm B, C, D

Bài 3:

Đáp án: a - A, b - D

a. Tứ giác ABCD là hình vuông nên AC = $\sqrt{AB^{2} + BC^{2}}$ = $\sqrt{a^{2} + a^{2}}$ = $a\sqrt{2}$

Tam giác SAC có SA = a, SC = a và AC = $a\sqrt{2}$ ⇒ SAC là tam giác vuông tại S, hay SA $\perp$ SC

b. Gọi O là giao của AC và BD ⇒ DO $\perp$ (SAC) (do DO $\perp$ AC và DO $\perp$ SO)

⇒ khoảng cách từ D đến (SAC) bằng DO

Ta có: DO = BD/2 = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Bài 4:

Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc trong không gian cực hay, chi tiết

Vậy mp(CDD’C’) không vuông góc với mặt phẳng (ACC’A’).

b) Ta có: BD = A’B = A’D nên tam giác A’BD là tam giác đều

Lại có: AB = AD = AA’ nên hình chiếu vuông góc của điểm A lên mp(A’BD) là tâm của tam giác BDA’.

Bài 5:

Đáp án: a - A, b - D, c - B

a. AB $\perp$ CD và AB $\perp$ CD ⇒ AB $\perp$ (BCD)

b. vì AB $\perp$ (BCD) ⇒ (ABD) $\perp$ (BCD)

c. BC $\perp$ AB và BC $\perp$ CD ⇒ BC là đường vuông góc chung của AB và CD

Bài 6:

Đáp án: a - D, b - B

a) Phương án A sai vì AB và CB không vuông góc với giao tuyến SB của (SAB) và (SBC), nên góc ABC không phải là góc của hai mặt phẳng này;

Phương án B sai vì góc BAD không phải là góc của hai mặt phẳng (SAB) với mặt phẳng (SBC);

Phương án C sai vì AB $\perp$ BC thì chưa đủ để kết luận AB vuông góc với mặt phẳng (SBC);

Phương án D đúng vì : BC $\perp$ (SAB) do BC $\perp$ AB và BC $\perp$ SA ⇒ (SBC) $\perp$ (SAB)

b) Phương án A sai vì hai điều kiện AH $\perp$ (SBC) (do AH $\perp$ SB và AH $\perp$ BC) và AK $\perp$ (SCD) (do AK vuông góc với SD và AK $\perp$ CD) chưa liên quan đến (SAC); phương án B đúng vì AH $\perp$ (SBC) và AK $\perp$ (SCD) nên SC $\perp$ (AHK), từ đó suy ra hai mặt phẳng (AHK) và (SAC) vuông góc; phương án C và D đều sai vì chưa đủ điều kiện kết luận SC $\perp$ (AHK)

Bài 7:

Đáp án: a - A, b - C

EB $\perp$ (ABCD) vì nó vuông góc với giao tuyến AB của hai mặt phẳng vuông góc đã cho ⇒ CD $\perp$ (EBC) ⇒ tam giác ECD vuông tại C.

⇒ DE = a $\sqrt{3}$ . Vậy phương án A đúng

Phương án C đúng vì : hình chiếu của DE lên (ABEF) là AE, mà AE $\perp$ BF, suy ra DE $\perp$ BF; hình chiếu của DE lên (ABCD) là BD, mà AC $\perp$ BD, nên suy ra AC $\perp$ DE.

Bài 8:

Câu a) đúng. Khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất trong các đoạn thẳng nối hai điểm bất kì nằm trên hai đường thẳng ấy và ngược lại (xem mục c). Tính chất của khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (Bài 5 – chương III).

Câu b) sai. Qua một điểm có vô số mặt phẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Câu c) sai. Vì trong trường hợp đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì ta có vô số mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước vì bất kì mặt phẳng nào chứa đường thẳng cũng đều vuông góc với mặt phẳng cho trước. Để có khẳng định đúng ta phải nói: Qua một đường thẳng không vuông góc với một mặt phẳng có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đã cho.

Câu d) sai. Vì đường vuông góc chung của hai đường thẳng phải cắt cả hai đường ấy.

Quý khách có thể tham khảo thêm bài viết liên quan cùng chủ đề của chúng tôi như: Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian lớp 11