Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian lớp 11

1. Lý thuyết về vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian lớp 11

1.1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

Trong không gian ba chiều, hai đường thẳng có thể nằm trùng nhau, song song hoặc cắt nhau. Tùy vào vị trí của hai đường thẳng đó mà ta có thể sử dụng các phương pháp khác nhau để xác định vị trí tương đối của chúng. Dưới đây là các trường hợp thường gặp:

Hai đường thẳng trùng nhau:

- Hai đường thẳng hoàn toàn trùng nhau, có cùng hướng và cùng điểm bắt đầu.

- Phương trình của hai đường thẳng là đồng nhất.

Hai đường thẳng song song:

- Hai đường thẳng có cùng hướng nhưng không cắt nhau.

- Phương trình của hai đường thẳng có dạng tương tự.

 Hai đường thẳng cắt nhau:

- Hai đường thẳng có hướng khác nhau và cắt nhau tại một điểm duy nhất.

- Phương trình của hai đường thẳng có dạng khác nhau.

- Để tìm điểm cắt của hai đường thẳng, ta giải hệ phương trình hai đường thẳng đó.

Hai đường thẳng không cắt nhau và không song song:

- Hai đường thẳng có hướng khác nhau và không cắt nhau.

- Ta có thể tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng bằng cách vẽ một đường thẳng vuông góc với cả hai đường thẳng và tính khoảng cách giữa hai điểm giao nhau của đường vuông góc và hai đường thẳng đó.

Trong không gian ba chiều, khi xét đến hai đường thẳng, chúng ta có thể quan tâm đến các trường hợp sau:

Thứ nhất, nếu hai đường thẳng nằm trên cùng một mặt phẳng, thì chúng có thể nằm ở ba vị trí tương đối khác nhau như sau:

- Hai đường cắt nhau tại một điểm duy nhất.

-  Hai đường song song nhau, không có điểm chung.

- Hai đường trùng nhau, có vô số điểm chung.

Thứ hai, nếu hai đường thẳng không nằm trên cùng một mặt phẳng, chúng không có điểm chung và được gọi là hai đường thẳng chéo nhau.

Để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian, có hai tiêu chí thường được sử dụng, đó là số điểm chung và sự đồng phẳng. Tuy nhiên, trong hệ tọa độ Oxyz, việc áp dụng hai tiêu chí này có thể gặp khó khăn và đòi hỏi tính toán phức tạp. Thay vào đó, chúng ta có thể sử dụng tính chất có hướng và đồ thị để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng một cách nhanh chóng và hiệu quả.

1.2. Hai đường thẳng song song

Tính chất của hai đường thẳng song song:

Tính chất 1: Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

Tính chất 2: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

 Định lý (về giao tuyến của ba mặt phẳng):

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.

Hệ quả (Định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng):

Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến (nếu có) của hai mặt phẳng nói trên sẽ song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

2. Một số dạng bài tập về vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng song song

Phương pháp giải: Sử dụng một trong các cách sau

- Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng.

- Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song với một đường thẳng thứ ba.

- Áp dụng định lí về giao tuyến song song.

- Áp dụng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

Dạng 2: Chứng minh bốn điểm đồng phẳng, ba đường thẳng đồng quy trong không gian

Phương pháp giải:

Chứng minh bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng ta tìm hai đường thẳng a, b lần lượt đi qua hai trong bốn điểm trên và chứng minh a, b song song hoặc cắt nhau. Khi đó A, B, C, D thuộc mặt phẳng (a, b).

Chứng minh ba đường thẳng đồng quy Phương pháp giải:

Cách 1: Chứng minh đường thẳng thứ nhất đi qua giao điểm của hai đường thẳng còn lại.

Cách 2: Chứng minh ba đường thẳng đôi một cắt ị nhau và chúng đôi một nằm trong ba mặt phẳng phân biệt