Mục lục bài viết

1. Lý thuyết cần nhớ

Tính chất của hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì các quy tắc được áp dụng như sau:

- Điểm giao của hai tiếp tuyến trên đường tròn chia đều khoảng cách giữa hai điểm tiếp xúc trên đường tròn mà chúng kết nối.

- Tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến là tia xuất phát từ điểm giao của chúng và đi qua tâm của đường tròn chia góc đó thành hai phần bằng nhau. Tia kẻ từ từ điểm đó đu qua tâm là tia phân giác của góc đó.

- Tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua hai điểm tiếp xúc là tia xuất phát từ tâm của đường tròn và đi qua điểm giao của hai tiếp tuyến chia đôi góc đó thành hai phần bằng nhau.

Đường tròn nội tiếp tam giác:

- Đây là một đường trong mà các tiếp xúc của nó với ba cạnh của tam giác là các điểm tiếp xúc của đường tròn với tam giác.

- Đường tròn nội tiếp tam giác có tâm nằm trong tam giác.

- Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao của ba đường phân giác các góc trong tam giác: Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là nơi mà ba đường phân giác của tam giác gặp nhau; Mỗi đường phân giác chia một góc trong tam giác thành hai góc có cùng kích thước; Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác nằm ở trung tâm của các đoạn thẳng nối từ tâm đến các đỉnh của tam giác. 

Đường tròn bàng tiếp của tam giác:

- Đường tròn bàng tiếp của tam giác: là một đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với phân kéo dài của hai cạnh còn lại.

- Đối với mỗi tam giác có thể có ba đường trong bàng tiếp tương ứng với ba cạnh của tam giác đó.

- Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác: Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác được xác định bởi điểm giao của hai đường phân giác góc ngoài của hai đỉnh mà đường tròn tiếp xúc; Điều này có nghĩa là tâm của đường tròn bàng tiếp nằm trong một đoạn thẳng nối hai đỉnh của tam giác tạo thành cạnh mà đường trong tiếp xúc; Tâm của đường tròn này được coi là tâm của đường trong bàng tiếp tam giác.

 

2. Cách chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn

Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của một đường tròn

- Dấu hiệu 1: Khi một đường thẳng đi qua một điểm trên đường tròn và tạo ra một góc vuông với bán kính đi qua diểmđó thì ta có thể xác định rằng đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm đó. Điều này đồng nghĩa với việc đường thẳng chạm vào đường tròn tại một điểm cụ thể và gặp bán kính tại điểm đó với góc 90 độ tức là đường thẳng này vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc.

- Dấu hiệu 2: Tiếp tuyến của đường tròn có thể được xác định bằng cách mô tả tiếp điểm. Nếu một đường thẳng tạo ra một góc vuông với bán kính của đường trong và đi qua một điểm trên đường tròn, điểm đó sẽ được định nghĩa là tiếp điểm của đường thẳng với đường tròn. Điều này đồng nghĩa vơi việc đường thẳng không chỉ gặp đường tròn tại một điểm cụ thể mà còn tạo một góc vuông với bán kính tại điểm đó và điểm đó chính là tiếp điểm của đường thẳng với đường tròn.

Cách chứng minh tiếp tuyến của đường tròn:

- Cách 1: Để chứng minh đường thẳng d vuông góc với bán kính của đường tròn chúng ta có thể sử dụng tính chất của góc vuông trong tam giác vuông tạo bởi đường thẳng và bán kính. Bằng cách sử dụng định nghĩa của góc vuông và tính chất của tam giác vuông thì ta có thể chứng minh rằng đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn.

- Cách 2: Để chứng minh khoảng cách từ tâm O của đường tròn đến đường thẳng d bằng bán kính R của đường tròn thì ta có thể sử dụng hình vẽ hình học và áp dụng định nghĩa của bán kính. KHoảng cách từ tâm O đến đường thẳng d sẽ bằng bán kính R của đường tròn.

- Cách 3: Để chứng minh hệ thức MA2 = MB. MC thì chúng ta có thể sử dụng định nghĩa của tiếp tuyến và hệ thức nối tiếp của các điểm trên đường tròn. Bằng cách áp dụng các quy tắc tam giác trong tam giác ADE ta có thể chứng minh rằng MA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE khi hệ thức trên được thỏa mãn.

Ví dụ: Cho đường tròn O đường kính AB. Ax và By là hai tia tiếp tuyến của O (Ax, By cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB). Trên tia Ax lấy điểm C, trên By lấy điểm D sao cho \widehat{COD} bằng 90 độ. Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.

Xét \triangle ACO và \triangle BEO có:

AO = OB = R

 \widehat{AOC} =  \widehat{BOE} (hai góc đối đỉnh)

\widehat{CAO = \widehat{EOB } = 90 độ

Vì Ax và By là tiếp tuyến: Nên  \widehat{CAO} = \widehat{EOB} = 90 độ

Do đó: \bigtriangleup ACO = \bigtriangleup BEO (g - c - g)

Suy ra: OC = OE nên O là trung điểm của EC
\triangle CDE có OD vừa là đường cao (do \widehat{COD} bằng 90 độ) vừa là đường trung tuyến nên tam giác DEC cân tại D.

Suy ra: OD là tia phân giác của\widehat{D}

Xét \bigtriangleup OHD và \bigtriangleup OBD có:

\widehat{HDO} = \widehat{BDO}  (do DO là tia phân giác)

\widehat{OHD} = \widehat{OBD} = 90 độ

 OD : chung

DO đó: \bigtriangleup OHD = \bigtriangleup OBD

Suy ra: OH = OB = R

Ta có: OH vuông góc với CD; OH = OB = R

Nên CD là tiếp tuyến của đường tròn (O)

 

3. Bài tập tự luyện tập về tiếp tuyến của một đường tròn

Câu 1: Cho tam giác IMN có cạnh IM và cạnh IN bằng nhau. Kẻ đường cao IH và MK giao nhau tại A. Hãy chứng minh:

a. Đường tròn đường kính IA đi qua điểm K

b. Đường tròn đường kính IA có tiếp tuyến là HK

Câu 2: Cho đường tròn tâm I, AB là đường kính. Cho hai tia Ax và By là hai tiếp tuyến của đường tròn. Lấy hai điểm C, D với C nằm trên tia Ax, D nằm trên tia By sao cho góc CID bằng 90 độ. Hãy chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn tâm I.

Câu 3: Cho đường tròn tâm O bán kính R, đường kính MN. Vẽ đoạn MA sao cho \widehat{AMN} bằng 30 độ. Trên tia đối của tia NM lấy điểm I sao cho NI bằng bán kính R. Chứng minh:

a. IA là một tiếp tuyến của đường tròn tâm O

b. IA = R \sqrt{3}

Câu 4: Cho đường tròn tâm O trên đường tròn lấy hai điểm A, B. Kể hai tiếp tuyến từ B và C giao nhau tại A.

a. Chứng minh đoạn AO là đường trung trực của đoạn BC,

b. Vẽ đường kính CD của đường tròn (O). Chứng minh đoạn BD và đoạn OA song song với nhau.

Câu 5: Cho hai đường tròn tâm O, điểm M nằm ngoài đường tròn. Từ M vẽ hai tiếp tuyến ME và MF tiếp điểm E và F sao cho \wedge EMO = 60 độ. Biết số đo chu vi tam giác MEF = 60 cm.

a. Tính độ dài đoạn EF

b. Tính số đó diện tích tam giác MEF

Câu 6: Cho hai tiếp tuyến tại điểm A và điểm B của đường tròn tâm O giao nhau tại điểm M. Đường thẳng vuông góc với đoạn OA tại điểm O cắt đoạn MB tại điểm C. Chứng minh đoạn CM bằng đoạn CO.

Câu 7: Cho đường tròn tâm I bán kính R, lấy A là một điểm nằm ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến đường tròn AB và AC (trong đó B và C là hai tiếp điểm) Chứng minh\widehat{BAC} = 30 độ khi và chỉ khi đoạn OA bằng độ dài đường kính.

Câu 8: Cho nửa đường tròn tâm O có MN là đường kính. Vẽ hai tiếp tuyến Mx và Ny. ĐIểm I nằm trên đường trong sao cho tiếp tuyến tại I cắt Mx tại C, cắt Ny tại D. Chứng minh:

a. MC + MD =  CD

b.\widehat{COD} = 90 độ

c. MC x ND =  OM2

Câu 9: Cho đường tròn O đường kính MN. Mx và Ny là hai tia của tiếp tuyến của đường tròn O trong đó có Mx và Ny cùng nửa mặt phẳng bở là đường thằng MN. Trên tia Mx lấy điểm C, trên Ny lấy điểm D sao cho \widehat{COD} bằng 90 độ. Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.

Bạn đọc có thể tham khảo bài viết sau: Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Bài viết trên luật Minh Khuê đã gửi tới bạn đọc chi tiết về vấn đề: Chứng minh tiếp tuyến của một đường tròn. Cảm ơn bạn đọc đã theo dõi chi tiết bài viết.