Mục lục bài viết

1. Đường tròn là gì? Đường tròn nội tiếp tam giác là gì?

1.1. Khái niệm đường tròn, đường tròn nội tiếp tam giác

* Đường tròn là tập hợp của tất cả những điểm trên một mặt phẳng cách đều một điểm cho trước bằng một khoảng cách nào đó. Trong đó: Điểm cho trước gọi là tâm của đường tròn; khoảng cho trước gọi là bán kính của đường tròn. Gọi tâm đường tròn là O và bán kính là r. Ta được ký hiệu đường tròn là (O;r)

* Khái niệm đường tròn nội tiếp tam giác: Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác đó hay đường tròn nội tiếp tam giác còn có cách gọi khác là tam giác ngoại tiếp đường tròn.

 

1.2. Tính chất đường tròn nội tiếp tam giác:

+ Mỗi tam giác chỉ có duy nhất 1 đường tròn nội tiếp

+ Bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác chính bằng khoảng cách từ tâm hạ vuông góc xuống ba cạnh của tam giác

+ Trong tam giác đều, tâm đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp trùng nhau

 

1.3. Các xác định đường tròn nội tiếp tam giác 

 "Tâm đường tròn nội tiếp của tam giác là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác đó", áp dụng nhuần nhuyễn kiến thức này, ta có thể dễ dàng xác định đường tròn tâm I

Để xác định đường tròn tâm I nội tiếp tam giác MNP, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Ta vẽ 3 đường phân giác trong của tam giác MNP lần lượt là MD,NE vàPF

Bước 2: Xác định giao điểm I của 3 đường phân giác trong tam giác MNP

Bước 3: Từ tâm O, lần lượt kẻ 3 đường vuông góc với 3 cạnh của MN, MP và NP của tam giác MNP. Giao điểm của 3 đường phân giác là tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác MNP.

Bước 4: Tiến hành vẽ đường tròn tâm I với bán kính IF = IE = ID 

Một số trường hợp đặc biệt trong xác định đường tròn nội tiếp tam giác: Đường tròn nội tiếp tam giác vuông; Đường tròn nội tiếp tam giác cân; Đường tròn nội tiếp tam giác đều.

 

2. Bài tập luyện tập đường tròn nội tiếp tam giác

Bài 1: Cho tam giác MNF đều với cạnh bằng 4cm. Xác định tâm và bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ENF

Lời giải: Gọi D, E lần lượt là trung điểm của cạnh NF, MN và MD giao với FE tại I

Vì tam giác MNF đều nên đường trung tuyến cũng là đường cao, đường phân giác, đường trung trực của tam giác. Suy ra, I là tâm đường tròn nôi tiếp tam giác.

Tam giác MNF có FE là đường trung tuyến nên FE cũng là đường cao. Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông MEF có:

FE2 =MF2 -ME2 = 42 - 22 = 12 = FE = \sqrt{12}

I là trọng tâm của tam giác MNF nên IE = 1/3 FE = 1/3 . \sqrt{12} = 2/ \sqrt{3}

Vậy tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNF là trọng tâm I và bán kính IE = \frac{2}{\sqrt{3}}

Bài 2: Hãy chứng minh:

a, Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền thì tam giác đó là tam giác vuông

b, Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông

Hướng dẫn giải chi tiết:

a, Ta có: \widehat{A} + \widehat{B} +\widehat{C} = 180o  

\widehat{BAO} + \widehat{OAC} + \widehat{B} + \widehat{c} = 180o

Mà \widehat{BAO} = \widehat{OAC}=\widehat{B}=\widehat{C} (tam giác AOB và tam giác AOC cân tạ O có OA = OB = OC = r)

=>2 \widehat{C} + 2\widehat{B}= 180o

=> \widehat{B} + \widehat{C} = 90o => \widehat{A} = 90o

Vậy tam giác ABC là tam giác vuông tại A

b, Xét tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BC.

Ta có OA = OB = OC = r

Suy ra OA = 1/2 BC Do đó tam giác ABC vuông tại A (Dựa theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)

Bài 3: Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I), trên BC lấy M, trên BA lấy N, trên CA lấy P sao cho B = BN và CM = CP.

a, Chứng minh rằng: O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP

b, Chứng minh rằng: Tứ giác ANOP nội tiếp đường tròn

c, Tìm vị trí điểm M, N, P để NP nhỏ nhất

Bài 4:

a, Vẽ đường tròn tâm O bán kính R = 2cm

b, Vẽ một lục giác đều ABCDEF có tất cả các đỉnh nằm trên đường tròn (O)

c, Vì sao tâm O cách đều các cạnh của lục giác đều? Gọi khoảng cách này là r

d, Vẽ đường tròn (O;r)

Lời giải chi tiết:

b, Cách vẽ lục giác đều có tất cả các đỉnh nằm trên đường tròn (O).

Vẽ các dây cung AB = BC = CD = DE = EF = FE = R = 2cm

c, Vì các dây cung AB = BC = CD = DE = EF = FA bằng nhau nên khoảng cách từ O đến các dây là bằng nhau.

Bài 5:  Nối ô cở cột trái với ô ở cột phải sao cho thích hợp:

1. Nếu tam giác có ba góc nhọn (a) thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó nằm bên ngoài tam giác
2. Nếu tam giác có góc vuông (b) thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó nằm ở bên trong tam giác
3. Nếu tam giác có góc vuông (c) Thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó là trung điểm của cạnh lớn nhất
   (d) Thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó là trung điểm của cạnh nhỏ nhất.

Đáp án:

(1) - (b) Nếu tam giác có ba góc nhọn thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó nằm ở bên trong ta giác giác

(2) - (c) Nếu tam giác có góc vuông thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó là trung điểm của cạnh lớn nhất

(3) - (a) Nếu tam giác có góc vuông thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó nằm bên ngoài tam giác.

Bài 6: Cho tam giác đều MNP. Gọi O là giao điểm của hai đường phân giác hai góc trong của tam giác đều MNP và H là chân đường vuông góc kẻ từ điểm O đến các cạnh NP. Biết đường tròn nội tiếp tam giác đều MNP có bán kính bằng 2cm. Bạn hãy tính độ dài các cạnh của tam giác đều MNP?

Bài 7: Cho tam giác MNP cân tại M ngoại tiếp đường tròn bán kính 3cm. Gọi H và K lần lượt là giao điểm của đường tròn nội tiếp tam giác cân MNP với hai cạnh MN và NP. Biết MH = 4cm. Tính diện tích ta giác cân MNP

Bài 8: Cho tam giác MNP,  gọi O là giao điểm của ba đường phân giác các góc trong của tam giác MNP. Gọi H, K, L theo thứ tự lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ điểm O đến các cạnh NP, MN, MP. 

A, Chứng minh rằng MP = MK + PH

B, Chứng minh rằng PM - PN = LM - HN

Hướng dẫn giải chi tiết:

Suy ra đường tròn (O) tiếp xúc với các tiếp tuyến NP, MN, MP lần lượt tại các điểm H, K, L

A, áp dụng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có MK = ML và PH = PL

Suy ra MK + PH = ML + PL hay MK + PH = MP

Vậy MP = MK + MP

B, Áp dụng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có PL = PH (1)

Mà PL = PM - LM và PH = PN - HN (2) 

Từ phương trình (1) và phương trình (2) suy ra PM - PN = LM - HN

Bài 9: Cho tam giác ABC. Gọi O là đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Biết (O) tiếp xúc với hai cạnh AB và AC lần lượt tại hai điểm H và K. Biết AH. AP = AK . AB. Chứng minh rằng tam giác MNP là tam giác cân tại M

Lời giải chi tiết:

Vì O là đường tròn nội tiếp tam giác vuông MNP. Suy ra các cạnh MN và MP là các tiếp tuyến của đường tròn (O). Mà (O) tiếp xúc với hai cạnh MN và MP lần lượt tại hai điểm H và K, áp dụng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có MH = MK (1)

Theo giả thiết có: MH . MP = MK . MN (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2) suy ra MP = MN

Do đó tam giác MNP là tam giác cân tại M

Trên đây là bài viết của Luật Minh Khuê về Đường tròn nội tiếp tam giác, hy vọng bài viết trên là câu trả lời hữu ích, giải đáp thắc mắc cũng như mang đến thông tin bổ ích cho bạn đọc về kiến thức đường tròn nội tiếp tam giác. Từ đó bạn đọc có thể áp dụng tốt kiến thức vào bài tập vận dụng. Xin trân trọng cảm ơn!