Mục lục bài viết

1. Định nghĩa về góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng không chỉ là một khía cạnh quan trọng trong hình học và toán học mà còn thường xuất hiện trong nhiều bối cảnh thực tế. Chúng ta thường biểu thị góc này bằng ký hiệu α (alpha), và nó thể hiện góc mà hai đường thẳng d và d' tạo ra khi chúng gặp nhau. Góc này có ý nghĩa sâu sắc trong việc đo lường và mô tả sự giao nhau, giao tiếp của các đối tượng trong không gian.

Điều quan trọng cần nhớ là góc α luôn nằm trong khoảng từ 0 độ đến 90 độ. Điều này có nghĩa là góc α luôn là một giá trị dương và không thể vượt quá 90 độ. Việc này là kết quả của tính chất cơ bản của góc trong không gian và quy định cách chúng ta đo lường và hiểu về chúng. Góc giữa hai đường thẳng đóng vai trò quan trọng trong việc xác định mối tương quan và sự tương tác giữa các yếu tố hình học.

Tuy nhiên, có một trường hợp đặc biệt đáng chú ý. Đó là khi hai đường thẳng d và d' là song song hoặc trùng với nhau. Trong trường hợp này, không có điểm nào ngoài góc giữa chúng, và do đó góc giữa hai đường thẳng này bằng 0 độ.

Một cách để tính góc giữa hai đường thẳng là thông qua góc giữa hai vector chỉ phương của chúng. Nếu chúng ta biểu diễn hai đường thẳng này bằng hai vector chỉ phương tương ứng là a và b, thì cosin của góc giữa hai đường thẳng có thể tính bằng công thức:

\[cos(α) = \frac{a \cdot b}{|a| \cdot |b|}\]

Trong đó, a · b là tích vô hướng của hai vector, |a| là độ dài của vector a, và |b| là độ dài của vector b.

Một cách khác để tính góc giữa hai đường thẳng là thông qua góc giữa hai vector pháp tuyến của chúng. Nếu n1 và n2 là hai vector pháp tuyến của d và d', thì cosin của góc giữa hai đường thẳng có thể tính bằng công thức tương tự:

\[cos(α) = \frac{n1 \cdot n2}{|n1| \cdot |n2|}\]

Ví dụ, khi hai đường thẳng là song song, hai vector pháp tuyến của chúng là song song và cosin của góc giữa chúng bằng 1, tức là góc giữa hai đường thẳng là 0 độ, như đã nêu ở trường hợp đặc biệt.

 

2. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng cực hay, dễ áp dụng

Công thức tính góc giữa hai đường thẳng

Để đo lường góc giữa hai đường thẳng a và b một cách chính xác, quy trình thường bắt đầu bằng việc lựa chọn một điểm O thuộc một trong hai đường thẳng này. Điều này không chỉ giúp xác định một điểm gốc cho tính toán mà còn định rõ hai đường thẳng cắt nhau tại điểm đó. Điểm này là điểm xuất phát để xác định góc giữa hai đường thẳng và làm cho quá trình đo lường trở nên trực quan và dễ dàng hơn.

Tiếp theo, chúng ta vẽ một đường thẳng đi qua điểm O và có độ dốc hoặc hướng tương tự như hai đường thẳng a và b. Điều này giúp chúng ta tạo ra hai vector chỉ phương, một cho đường thẳng a (gọi là vecto u) và một cho đường thẳng b (gọi là vecto v).

Nếu chúng ta biểu diễn vecto u là vecto chỉ phương của đường thẳng a và vecto v là vecto chỉ phương của đường thẳng b, thì chúng ta có thể sử dụng tích vô hướng của hai vecto này để tính góc giữa hai đường thẳng a và b. Góc này được ký hiệu là α (alpha), và nó có thể được tính toán như sau:

\[cos(α) = \frac{(u, v)}{|u| \cdot |v|}\]

Trong đó, (u, v) là tích vô hướng của hai vecto u và v, |u| là độ dài của vecto u, và |v| là độ dài của vecto v. Khi đã tính được cosin của góc α, chúng ta có thể sử dụng công thức nghịch cosin để tính góc α chính xác.

Như vậy, thông qua vecto chỉ phương và tích vô hướng của chúng, chúng ta có thể xác định góc giữa hai đường thẳng a và b một cách chính xác và hiệu quả.

Công thức

Gọi vecto n(x;y) và vecto n'(x’;y’) lần lượt là 2 vecto pháp tuyến của 2 đường thẳng d và d’. Góc giữa hai đường thẳng α lúc này là:

Cách xác định góc giữa hai đường thẳng cực hay, dễ áp dụng

Cách khác: Gọi k1, k2 lần lượt là 2 hệ số góc của 2 đường thẳng d và d’. Góc giữa hai đường thẳng α lúc này là:

Cách xác định góc giữa hai đường thẳng cực hay, dễ áp dụng

Ví dụ: Cho đường thẳng (a): x = -1 +mt; y = 9 +t, và đường thẳng ( b): x + my - 4 = 0. Hỏi có bao nhiêu giá trị của m để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 600.

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

Lời giải

+ Đường thẳng (a) có VTCP \overrightarrow{u}( m, 1) nên có VTPT \overrightarrow{n}( 1; -m) .

+ Đường thẳng (b) có VTPT =\overrightarrow{n'}( 1; m).

+ Để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 600 thì:

Cos600 = Cách xác định góc giữa hai đường thẳng cực hay, dễ áp dụng

⇔ 1 + m2 = 2.|1 - m2| (*)

+ Nếu -1 < m < 1 thì 1 - m2 > 0. Từ (*) suy ra: 1 + m2 = 2 (1 - m2)

⇔ 1+ m2 = 2- 2m2 ⇔ 3m2 = 1

⇔ m2 = 1/3 ⇔ m= ± 1/3 ( thỏa mãn điều kiện) .

+ Nếu m ≥ 1 hoặc m ≤ -1 thì 1- m2 ≤ 0. Từ (*) suy ra:

1 + m2 = 2( m2 - 1) ⇔ 1 + m2 = 2m2 - 2

⇔ m2 = 3 ⇔ m = ±√3.

Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn.

 

3. Cách xác định giá trị các góc

Có nhiều cách để xác định giá trị của một góc, và cách tiếp cận thích hợp thường phụ thuộc vào loại hình học cụ thể mà bạn đang làm việc. Khả năng xác định góc có thể thay đổi tùy thuộc vào thông tin và công cụ bạn có sẵn. Dưới đây là một số phương pháp phổ biến để xác định giá trị của góc:

- Sử dụng tính chất của hình học: Việc xác định giá trị của một góc có thể trở nên đơn giản hơn nếu chúng ta tận dụng tính chất hình học của các hình cơ bản. Điều này đặc biệt hữu ích khi bạn gặp phải các hình học cụ thể như hình vuông, hình chữ nhật hoặc tam giác.

Trong trường hợp của hình vuông, bạn có thể tự tin rằng mọi góc trong hình đều có giá trị bằng chính xác 90 độ. Điều này là kết quả của tính chất cơ bản của hình vuông, mà không cần phải đo hay tính toán.

Hình chữ nhật, một hình học khá phổ biến, cũng mang tính chất đặc biệt. Các góc đối diện trong hình chữ nhật luôn bằng nhau và đều có giá trị 90 độ. Điều này giúp bạn dễ dàng xác định giá trị của các góc trong hình chữ nhật mà không cần phải sử dụng công cụ đo đạc.

Còn với tam giác, bạn có một quy tắc cơ bản là tổng của ba góc trong tam giác luôn bằng 180 độ. Điều này có nghĩa là khi bạn biết giá trị của hai góc trong tam giác, bạn có thể tính toán giá trị của góc còn lại bằng cách sử dụng công thức 180 độ trừ đi tổng của hai góc đã biết.

Với các tính chất hình học này, bạn có thể tiến hành xác định giá trị của các góc trong các hình cơ bản một cách nhanh chóng và hiệu quả, giúp bạn giải quyết các bài toán hình học một cách dễ dàng hơn.

- Sử dụng thước đo góc hoặc êke: Để đo góc một cách chính xác và đáng tin cậy, sử dụng các công cụ đo góc như thước đo góc hoặc êke là lựa chọn thông minh. Những dụng cụ này đã được thiết kế đặc biệt để đo góc với độ chính xác cao, giúp bạn xác định giá trị góc một cách dễ dàng.

Thước đo góc, với hình dạng thường là một chiếc quạt hoặc một nửa hình tròn, là một công cụ hữu ích cho việc đo góc. Thường thì, trên thước đo góc có một thang đo từ 0 độ đến 180 độ, cho phép bạn đo góc từ hai đoạn thẳng tạo nên góc cần đo. Bằng cách đặt thước đo góc hoặc êke chính xác vào hai đoạn thẳng này, bạn có thể đọc giá trị góc trực tiếp trên thước đo.

Các công cụ đo góc này rất hữu ích trong nhiều tình huống khác nhau, từ việc xây dựng và thiết kế đến giải quyết các bài toán hình học. Đặc biệt, với độ chính xác cao, chúng giúp bạn có được kết quả đo đạc chính xác và đáng tin cậy, đồng thời giảm bớt sai số trong quá trình đo góc. Điều này làm cho công việc của bạn trở nên hiệu quả hơn và giúp đảm bảo tính chính xác trong các ứng dụng hình học và khoa học.

Những công cụ đo góc này không chỉ đảm bảo tính chính xác và đáng tin cậy mà còn giúp giải quyết các bài toán hình học và khoa học một cách thuận tiện. Việc sử dụng thước đo góc hoặc êke là một cách thông minh để đảm bảo rằng bạn có được kết quả đo đạc chính xác và đáng tin cậy trong các ứng dụng hình học và khoa học khác nhau

Tùy thuộc vào tình huống cụ thể và dữ liệu bạn có, bạn có thể lựa chọn cách xác định góc phù hợp nhất để giải quyết vấn đề hình học của mình.

Xem thêm bài viết liên quan: Góc giữa hai mặt phẳng: Định nghĩa, cách xác định và Bài tập