Đề thi vào lớp 10 môn Toán có đáp án năm học 2022-2023 - Đề số 1
Bài 1: (2 điểm) Cho biểu thức:
với x ≥ 0, x ≠ 9, x ≠ 4
a) Tính giá trị biểu thức A khi x = 3 - 2√2
b) Rút gọn biểu thức B
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = A:B
Bài 2: (2 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình Theo kế hoạch, một tổ công nhân phải làm một số sản phẩm trong một thời gian nhất định. Nếu mỗi ngày họ làm tăng thêm 5 sản phẩm so với dự định thì sẽ hoàn thành kế hoạch trước thời hạn 4 ngày. Nếu mỗi ngày họ làm ít hơn 5 sản phẩm so với dự định thì sẽ hoàn thành kế hoạch châm hơn thời hạn 5 ngày. Tính thời gian và số sản phẩm phải làm theo kế hoạch.
Bài 3: (2 điểm)
1) Giải phương trình 2x4 + x2 - 6 = 0
2) Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = mx + 2 a) Với m = -1 : vẽ parabol (P) và đường thẳng (d) trên cùng một hệ trục tọa độ. Tìm tọa độ các giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d).
b) Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 sao cho x1 - 2x2 = 5
Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm (O) với dây AB cố định không phải đường kính. Gọi C là điểm thuộc cung lớn AB sao cho tam giác ABC nhọn. M; N lần lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ AB; AC. Gọi I là giao điểm của BN và CM. Dây MN cắt AB và AC lần lượt tại H và K.
a) Chứng minh tứ giác BMHI nội tiếp
b) Chứng minh MK.MN = MI.MC
c) Chứng minh tứ giác AKI cân tại K và tứ giác AHIK là hình thoi.
Bài 5: (0,5 điểm) Cho a, b là 2 số thực dương thỏa mãn điều kiện ab + 4 ≤ 2b.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Đáp án đề số 1
Bài 1:
a) Ta có x = 3 - 2√2 = 2 - 2√2.1 + 1 = (√2 - 1)2
⇒ √x = √(√2 - 1)2 = |√2 - 1| = √2 - 1 (vì √2 > 1)
Thay √x = √2 - 1 vào biểu thức A ta được:
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương 1 + √x và 3/(1 + √x)
Dấu "=" xảy ra khi:
⇔ 1 + √x = √3 (do 1 + √x > 0)
⇔ √x = √3 - 1 ⇔ x = 4 - 2√3
Vậy GTNN của P là 2√3 - 4 đạt được khi x = 4 - 2√3
Bài 2:
Gọi số sản phẩm cần làm theo dự định trong một ngày là x (sản phẩm/ ngày) (x > 5) Thời gian dự định làm là y (ngày) (y > 4)
=> Số sản phẩm cần làm là xy (sản phẩm) Nếu mỗi ngày họ làm tăng thêm 5 sản phẩm so với dự định thì sẽ hoàn thành kế hoạch trước thời hạn 4 ngày nên ta có phương trình:
(x + 5)(y - 4) = xy ⇔ -4x + 5y = 20 (1)
Nếu mỗi ngày họ làm ít hơn 5 sản phẩm so với dự định thì sẽ hoàn thành kế hoạch châm hơn thời hạn 5 ngày nên ta có phương trình:
(x - 5)(y + 5) = xy ⇔ 5x - 5y = 25 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Khi đó số sản phẩm cần làm là: x.y = 45.40 = 1800 (sản phẩm)
Vậy số sản phẩm cần làm là 1800 sản phẩm Số ngày dự định làm là 40 ngày.
Bài 3:
1) 2x4 + x2 - 6 = 0
Đặt x2 = t (t ≥ 0), phương trình trở thành: 2t2 + t - 6 = 0
Δ = 1-4.2.(-6) = 49
=> Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
t1 = (-1 + 7)/(2.2) = 3/2
t2 = (-1 - 7)/(2.2) = -2
Do t>= 0 nên t = 3/2
x2 = 3/2 -> x = +- 3√2/2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 3√2/2 hoặc x = - 3√2/2
2)
a) Với m = -1, (d): y = - x + 2 (P): y = x2
Bảng giá trị:
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| y = x2 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
Đồ thị (P): y = x2 là 1 đường parabol nằm phía trên trục hoành, nhận trục Oy làm trục đối xứng và nhận điểm O (0;0) làm đỉnh y = - x + 2 Bảng giá trị:
| x | 0 | 2 |
| y = -x + 2 | 2 | 0 |
Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: x2 = -x + 2
⇔ x2 + x - 2 = 0
=> Phương trình có 2 nghiệm x = 1; x = - 2
Khi đó tọa độ giao điểm của (P) và (d) là (1; 1) và (-2; 4)
b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: x2 = mx + 2
⇔ x2 - mx - 2 = 0 Δ = m2 - 4.(-2) = m2 + 8 > 0 ∀m
=> Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. Theo hệ thức Vi-et ta có:
x1 + x2 = m và x1.x2 = -2
Theo bài ra: x1 - 2x2 = 5 ⇔ x1 = 2x2 + 5
=> (2x2 + 5) x2 = -2
⇔ 2x22 + 5x2 + 2 = 0
Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn điều kiện đề bài là m = -1; m = 7/2
Bài 4:
a) Xét tứ giác HMBI có:
∠HMI = ∠HBI (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau AN = CN)
Mà 2 góc này cùng nhìn cạnh HI
=> Tứ giác BMHI nội tiếp
b) Xét ΔMNI và ΔMKC có:
∠KMC là góc chung ∠MNI = ∠KCM (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau AM = BM)
=> ΔMNI ∼ ΔMCK
=> MN/MC = MI/MK => MN.MK = MC.MI
c) Xét tứ giác NKIC có:
∠KNI = ∠KCI (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau AM = MB)
Mà 2 góc này cùng nhìn cạnh KI
=> Tứ giác NKIC là tứ giác nội tiếp
=> ∠NKI + ∠NCI = 180° (1)
Xét đường tròn (O) có:
∠ANK + ∠NAK = ∠ACM + ∠NCA = ∠NCI (2)
Xét tam giác AKN có:
∠ANK + ∠NAK + ∠NKA = 180° (3)
Từ (1), (2), (3) => ∠NKI = ∠NKA
Xét tam giác IKN và tam giác AKN có:
∠NKI = ∠NKA KN là cạnh chung
∠KNI = ∠KNA (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)
=> ΔIKN = ΔAKN
=> IK=AK
=>ΔAKI cân tại K Tứ giác NKIC là tứ giác nội tiếp
Góc KIN = góc KCN (2 góc nội tiếp cùng chắn cung KN)
Góc IKC = góc BNC (2 góc nội tiếp cùng chắn cung IC) (*)
Mặt khác ∠KCN = ∠ABN (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AN của (O))
∠BAC = ∠BNC (2 góc nội tiếp cùng chắc cung BC của (O))
=> Góc KIN = góc ABN, Góc BAC = góc IKC
=> AH // KI và AK // HI
=> Tứ giác AHIK là hình bình hành
Mà IK = AK
=> Tứ giác AHIK là hình thoi.
Bài 5: 2b ≥ ab + 4 ≥ 4√ab (Theo BDT Cosi)
=> a/b <= 1/4
Đặt a/b = t; t <= 1/4 Ta có:
P = (ab)/(a2 + 2b2)
=> 1/P = (a2 + 2b2)/ab = a/b + 2b/a = t + 2/t = (t + 1/16t) + 31/16t
Vậy GTLN của P là 4/33 khi b = 4a và ab + 4 <= 2b => a>=1 và b = 4a
Đề thi vào lớp 10 môn Toán có đáp án năm học 2022-2023 - Đề số 2
Bài 1: (2 điểm) Cho biểu thức
(ĐKXĐ: x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ 9 )
a) Tính giá trị của biểu thức M khi x = 9
b) Rút gọn biểu thức N
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 2: (2 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình Hai người cùng làm chung một công việc trong 7 giờ 12 phút thì xong công việc. Nếu mỗi người làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc chậm hơn người thứ hai là 6 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao lâu để hoàn thành công việc.
Bài 3: (2 điểm)
1) Giải hệ phương trình:
2) Cho phương trình x2 + (m + 2)x + 2m = 0 (*)
a) Chứng minh phương trình (*) luôn có hai nghiệm x1, x2 với mọi m
b) Tìm biểu thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn tại A. Lấy điểm M thuộc tia Ax, kẻ tiếp tuyến MC với đường tròn (O) tại C (C khác A). Tiếp tuyến của đường tròn tại B cắt AC tại D và cắt MC tại F. Nối OM cắt AC tại E.
1) Chứng minh tứ giác OBDE nội tiếp
2) Chứng minh AC. AD = 4R2
3) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔMOF
Bài 5: (0,5 điểm) Giải phương trình:
>> Xem thêm: Chuyên đề vi-et luyện thi vào lớp 10 môn toán đầy đủ nhất
Đáp án đề số 2
Bài 1:
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm √x + 3 và 25 / √x + 3 ta được:
Dấu "=" xảy ra khi:
√x + 3 = 25/√x + 3
⇔ (√x + 3)2 = 25
⇔ √x + 3 = 5 (do √x + 3 > 0)
⇔ √x = 2 ⇔ x = 4
Vậy GTNN của P = 16, đạt được khi x = 4
Bài 2:
Đổi 7 giờ 12 phút = 36/5 giờ
Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là x (giờ) (x > 36/5)
Thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là y (giờ) (y > 36/5)
=> Trong 1 giờ, người thứ nhất làm được 1/x giờ
Trong 1 giờ, người thứ nhất làm được công việc 1/y giờ
Cả 2 người làm chung thì làm xong trong 7 giờ 12 phút nên ta có phương trình:
1/x + 1/y = 5/36 (1)
Người thứ nhất làm một mình hoàn thành công việc chậm hơn người thứ hai là 6 giờ nên ta có phương trình: x - y = 6 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Giải phương tình (*)
Đối chiếu với ĐK thì y = 12 => x = y + 6 = 18
Vậy người thứ nhất làm 1 mình thì hoàn thành công việc trong 18 giờ. Người thứ hai làm 1 mình thì hoàn thành công việc trong 12 giờ.
Bài 3:
Khi đó hệ phương trình trở thành:
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x, y) = (3/2, 3)
2) x2 + (m + 2)x + 2m = 0 (*)
a) Δ = (m + 2)2 - 4.2m = m2 + 4m + 4 - 8m = (m - 2)2 ≥ 0 ∀m
=> phương trình (*) luôn có hai nghiệm x1, x2 với mọi m
b) Theo hệ thức Vi- ét, ta có:
x1 + x2 = -m - 2 và x1.x2 = 2m
=> 2(x1 + x2) + x1.x2 = -2(m + 2) + 2m = -4
Vậy 2(x1 + x2) + x1.x2 = -4 là hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào m
Bài 4:
a) M là giao điểm của 2 tiếp tuyến MC và MA
=> MO là đường trung trực của đoạn thẳng AC
=>MO ⊥ AC
Xét tứ giác OBDE có:
∠OED = 90° (MO ⊥ AC)
∠OBD = 90° (BD là tiếp tuyến của (O))
=> ∠OED + ∠OBD = 180°
=> Tứ giác OBDE là tứ giác nội tiếp
b) Xét tam giác ABD vuông tại D có BC là đường cao
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông:
AC.AD = AB2 = (2R)2 = 4R2
Vậy AC.AD = 4R2
c) 2 tiếp tuyến MC và Ma cắt nhau tại M
=> OM là tia phân giác của ∠COA
=> ∠COM = 1/2 góc COA
2 tiếp tuyến CF và FB cắt nhau tại F
=> OF là tia phân giác của ∠COB => ∠COF = 1/2 góc COB
Khi đó:
Tam giác MOF vuông tại O
=> Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MOF là trung điểm I của MF Tam giác MIO cân tại I
=> ∠IOM = ∠IMO
Mặt khác ta có: ∠AMO = ∠IMO (do MO là tia phân giác ∠AMI )
=> ∠AMO = ∠IOM (1)
Tam giác MAO vuông tại A
=> ∠AMO + ∠AOM = 90°
(2) Từ (1) và (2) => ∠IOM + ∠AOM =90° ⇔ ∠AOI = 90° hay AO ⊥ OI
=> AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MOF
Bài 5:
ĐKXĐ: x>= 2
Khi đó, phương trình đã cho trở thành: a = - a2 + 2
⇔ a2 + a - 2 = 0
⇔ a = 1; a = -2
Do a < 0 nên a = - 2
Với a = -2, ta có:
Vậy phương trình có nghiệm x = 2.
Trên đây Luật Minh Khuê chia sẻ tới các bạn mẫu 2 đề thi vào lớp 10 có đáp án năm học 2022 - 2023. Hy vọng bài viết hữu ích đối với các em học sinh lớp 9 giúp em chuẩn bị thật tốt cho kỳ thi tuyển sinh sắp tới. Chúc các em học tập tốt!
