Hàm mũ (exponential function) là gì ?

1. Lý thuyết về hàm mũ

1.1. Kiến thức về luỹ thừa và các tính chất liên quan đến hàm mũ

Vì định nghĩa và tính chất của luỹ thừa có liên quan trực tiếp đến hàm mũ, hay có thể nói hàm số mũ thuộc phạm trù của luỹ thừa (luỹ thừa phát triển được thành 2 dạng hàm số đó là hàm số luỹ thừa và hàm số mũ). Cho nên trước khi đi vào chi tiết về hàm số mũ, ta cần ôn lại kiến thức về luỹ thừa để vận dụng thật tốt.

Định nghĩa về luỹ thừa: Luỹ thừa được hiểu đơn giản là một phép toán được viết dưới dạng an, bao gồm hai số là cơ số a và số mũ hoặc lũy thừa n, và được phát âm là “a lũy thừa n". Khi n là một số nguyên dương, lũy thừa tương ứng với phép nhân lặp của cơ số (thừa số). Các tính chất của luỹ thừa được ứng dụng trong hàm mũ:

Tính chất về đẳng thức: Cho a ≠ 0; b ≠ 0; m, n ∈ R, ta có:

a) am . an  = am+n

b) am /an = am-n

c) (am)n = am.n

d) (a.b)m = am . bm

e) (a/b)m = am/bm

Tính chất về bất đẳng thức:

-  So sánh cùng cơ số: Cho m, n ∈ R. Khi đó:

+ Trường hợp 1: Với a > 1 thì am > an  => m > n

+ Trường hợp 2: Với 0 < a < 1 thì am > an => m < n

- So sánh cùng số mũ:

+ Trường hợp 1: Với số mũ dương n > 0: a > b > 0 => an > bn

+ Trường hơp 2: Với số mũ âm n < 0: a > b > 0=>  an < bn

1.2. Định nghĩa về hàm mũ

Trong toán học, hàm mũ là hàm số có dạng y = ax, với cơ số a là số dương khác 1. Ví dụ: Các hàm số sau là hàm số mũ: y = 2x, y = (3/2)x

Nếu theo đạo hàm, hàm số mũ sẽ có công thức phụ thuộc vào 2 định lý dưới đây:

Hàm mũ (exponential function) là hàm số trong đó lượng biến đổi là số mũ của một số cố định. Bởi vậy, ax và (a+b)x là những hàm mũ với x là số mũ. Giá trị ax được đọc là a mũ x (hay lũy thừa x) và có ý nghĩa là a được nhân với chính nó bằng số lần mà mũ chỉ ra. Trong hàm mũ y = ax nếu a = 2 và x = 3, y sẽ bằng 8 (tức 2x2x2).

Hàm mũ được sử dụng nhiều trong vệc mô tả đường lối thay đổi theo thời gian của các biến số kinh tế. Chẳng hạn, nền kinh tế tăng trưởng với tốc độ không đôi (hay tăng trưởng kép) có mức thu nhập tăng với số mũ bằng số thời kỳ tăng trưởng

Lưu ý: Hàm mũ có thể biến đổi thành hàm logarit và ngược lại.

Về hàm logarit: Cho một số thực dương a≠1. Hàm số  có dạng y = logax được gọi là hàm số Logarit cơ số a

Đạo hàm của hàm số Logarit: y= logax (với điều kiện a>0 và a≠1) có đạo hàm với mọi x > 0 và: 

Khảo sát hàm số Logarit: 

1.3. Tính chất và đạo hàm của hàm mũ

Về tính chất, cần lưu ý ghi nhớ tính chất để áp dụng thành thạo trong bước khảo sát vẽ đồ thị hàm số mũ và logarit nói chung và hàm số mũ nói riêng. Ta có bảng tính chất của hàm số mũ như sau: Xét hàm số y = ax với (a>0,a ≠ 1).

-  Tập xác định: Hàm số mũ xác định với mọi x∈R nên tập xác định là D=R.

- Tập giá trị:  Hàm số mũ luôn mang giá trị dương, hay tập giá trị của hàm số mũ là T=(0,+∞),

- Tính đơn điệu:

+  Khi a>1 thì hàm số y = ax đồng biến, khi đó ta luôn có:

af(x) > ag(x) ⇔ f(x) > g(x).

+  Khi 0<a<1 thì hàm số y=ax nghịch biến, khi đó ta luôn có:

af(x) > ag(x) ⇔ f(x) < g(x).

Về đạo hàm: (ax)′ = ax . ln a ⇒ (au)′ = u′ . au. ln a

(ex)′ = ex ⇒ (eu)′= eu . u′

1.4. Đồ thị hàm số của hàm mũ

Nhận trục hoành làm đường tiệm cận ngang: 

Các bước vẽ đồ thị hàm số mũ :

Bước 1: Khảo sát hàm số mũ.

Bước 2: Xác định tiệm cận bằng cách lập bảng biến thiên.

Bước 3: Vẽ đồ thị.

Cần lưu ý cơ số a để xác định hàm số nghịch biến hay đồng biến và chiều của đồ thị.

2. Bài tập

Bài tập 1: Cho 3 số a,b,c > 0, a ≠ 1,b ≠ 1,c ≠ 1. Đồ thị các hàm số y = ax , y = bx, y = cx được cho trong hình vẽ dưới. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. b < c < a.              B. a < c < b.                 C. a < b <c.                  D. c < a <b.

Lời giải:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số y = bx, y = cx là các hàm số đồng biến nên b, c>1

Hàm số y = ax  là hàm nghịch biến nên 0 < a < 1

Với x=100 ta thấy b100 > c100 => b > c => b > c > 1 > a > 0.

=> Chọn đáp án B

Bài tập 2: Cho hàm số y = eax2+bx+c đạt cực trị tại x = 1 và đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng e. Tính giá trị của hàm số tại x=2.

Lời giải:

+ Cắt Oy tại y=e nên c=1.

+ y'=(ax+b) eax2+bx+c . Mà y'(1)=0 ⇔2a+b=0

+ Khi đó y(2) = e4a+2b+c = e.

Bài tập 3: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = (3x2+2m)5 đạt giá trị lớn nhất bằng 32 trên đoạn [2;3].

Lời giải:

Ta có y' = 30x(3x2+2m)4 ≥ 0, ∀ x ∈ [2;3] ⇒ Hàm số đạt GTLN tại x = 3

⇒ y(3) = 32 ⇔ (27+2m)5 = 32 ⇔ m = -25/2

Bài tập 4: Đồ thị hình bên là của hàm số nào?

A. y=(√3)x.             B. y=(1/2)x              C. y=log1/3x               D. y=(1/3)x

Lời giải:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

Hàm số có TXĐ: D=R , tập giá trị T=(0;+∞) và hàm số nghịch biến trên R (loại A và C).

Đồ thị hàm số đi qua điểm (−1;3)(−1;3) (loại B). 

=>Đáp án đúng là: Đáp án D.

Bài tập 5: Cho hai hàm số y = ax , y = bx, y = cx với a,b là hai số thực dương khác 1, lần lượt có đồ thị là (C1) và (C2) như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. 0<a<1<b.   

B. 0<b<1<a.

C. 0<b<a<1.

D. 0<a<b<1.

Lời giải:

Dựa vào đồ thị suy ra hàm số y = ax là hàm đồng biến, hàm số y = bx là hàm nghịch biến

Suy ra a>1 và 0<b<1. 

=> Đáp án đúng là: Đáp án B.

Bài tập 6: Cho đồ thị hàm số y = ax , y = logbx (như hình vẽ). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. 0<b<1<a

B. 0<a<1<b

C. a>1 và b>1

D. 0<a<1 và 0<b<1

Lời giải:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy y = ax  là hàm nghịch biến nên 0<a1.

Do đó 0<a<1<b. 

=> Đáp án đúng là: Đáp án B.

Bài tập 7: Cho hàm số y = logax và y = logbx  có đồ thị như hình vẽ bên. Đường thẳng x=7 cắt trục hoành, đồ thị hàm số số y = logax và y = logbx  lần lượt tại H,M và N. Biết rằng HM=MN. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. a = 7b.                                      B. a = b2.                              C. a = b7.                                     D. a = 2b.

Lời giải:

Dựa vào hình vẽ ta thấy HM=MN⇔NH=2MH⇔ logb7 = 2loga7 ⇔ 1/ log7b = 2/ log7a ⇔ a = b2

=> Đáp án đúng là: Đáp án B.

Bài tập 8: Cho hàm số f(x)=x ln x.  Một trong bốn đồ thị cho trong bốn phương án A, B, C, D dưới đây là đồ thị của hàm số y=f′(x). Tìm đồ thị đó.

Lời giải:

Với tập xác định cho cả đạo hàm là D=(0;+∞).

Loại D vì có phần đồ thị thuộc khoảng (−∞;0).(−∞;0). Loại A vì đồ thị đi qua điểm (0;0.)(0;0.)

f(x)=x ln x→f′(x)=1+ln x. Mặt khác: f′(1)=1≠0→B không thỏa.

=> Đáp án đúng là: Đáp án C

 Bài tập 9: Trong tất cả các cặp (x; y) thỏa mãn logx2+y2+2(4x+4y-4)≥1 . Tìm m để tồn tại duy nhất cặp (x; y) sao cho x2+y2+2x-2y+2-m=0 .

Lời giải:

Bạn có thể tham khảo thêm bài viết sau: Hàm số chẵn là gì? Hàm số lẻ là gì? Cách xác định tính chẵn lẻ của hàm số của Luật Minh Khuê

Nếu còn vướng mắc, chưa rõ về chủ đề hàm mũ, bạn vui lòng liên hệ đến tổng đài điện thoại, gọi số: 1900.6162 hoặc liên hệ quan Email:  lienhe@luatminhkhue.vn để được giải đáp. Đội ngũ chuyên gia pháp lý của Công ty luật Minh Khuê luôn sẵn sàng lắng nghe và giải đáp mọi vướng mắc! Rất mong nhận được sự hợp tác! Trân trọng./.