Mục lục bài viết

1. Phương pháp giải phương trình bậc hai một ẩn

- Phương trình bậc hai một ẩn có dạng ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).

Để giải phương trình ta làm như sau

B1: Xác định các hệ số a, b, c

B2: Tính ∆ = b2 - 4ac

+ Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = -b/ 2a

+ Nếu ∆ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 = (-b + \sqrt{\bigtriangleup }) / 2a; x2 = (-b - \sqrt{\bigtriangleup }) / 2a

- Công thức nghiệm thu gọn:

Dùng khi hệ số b = 2bꞌ Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có ∆ꞌ = (bꞌ)2 - ac (b = 2bꞌ)

+ Nếu ∆ꞌ < 0 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu ∆ꞌ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = -b'/a

+ Nếu ∆ꞌ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x1 = (-b' + \sqrt{\bigtriangleup }) / a; x2 = (-b' - \sqrt{\bigtriangleup }) / a

- Nếu hệ số b = 0 thì phương trình có dạng: ax2 + c = 0 (2)

Để giải phương trình (2) ngoài cách dùng ∆ hoặc ∆ꞌ ở trên ta có thể làm như sau:

+ Nếu ac > 0 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu ac = 0 thì phương trình có nghiệm kép x = 0

+ Nếu ac < 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: x =  \sqrt{-c/a } ; x = -\sqrt{-c/a }

- Nếu hệ số c = 0 thì phương trình có dạng: ax2 + bx = 0 (3)

Để giải phương trình (3) ngoài cách dùng ∆ hoặc ∆ꞌ ở trên ta có thể làm như sau:

ax2 + bx = 0 => x.(ax + b) = 0 => x = 0 hoặc x = -b/a

2. Một số bài tập liên quan đến phương trình bậc hai một ẩn

Câu 1: Một nghiệm của phương trình 3x2 + 5x – 2 = 0 là

A. -2

B. -1

C. -5

D. 0

Câu 2: Số nghiệm của phương trình 3x2 - 6x + 3 = 0 là

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

Câu 3. Giả sử x1, x2 (x1 > x2) là hai nghiệm của phương trình 5x2 - 6x + 1 = 0. Tính 2x1 + 5x2

A. 6

B. 5

C. 4

D. 3

Câu 4. Số thực nào sau đây là nghiệm của phương trình x2 - x + 8 = 0

A. 2

B. 10

C. -15

D. Không có

Câu 5: Giả sử x1 < x2 là hai nghiệm của phương trình x2 -7x - 8 = 0. Tính 2x1

A. -2

B. 1

C. -1

D. 6

Câu 6. Phương trình nào dưới đây là phương trình bậc hai một ẩn

A. 2x2 - x3 + 1 = 0

B. x2 - 2018 = 0

C. x + 1/x - 4 = 0

D. 2x - 1 = 0

Câu 7. Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức ∆ = b2 – 4ac. Phương trình đã cho vô nghiệm khi:

A. ∆ < 0

B. ∆ = 0

C. ∆ ≥ 0

D. ∆ ≤ 0

Câu 8. Không dùng công thức nghiệm, tính tổng các nghiệm của phương trình 6x2 – 7x = 0

A. -7/6

B. 7/6

C. 6/7

D. -6/7

Câu 9. Không dùng công thức nghiệm, tính tích các nghiệm của phương trình 3x2 – 10x + 3 = 0

A. 3

B. 10/3

C. 1

D. -1

Câu 10. Không dùng công thức nghiệm, tìm số nghiệm của phương trình −4x2 + 9 = 0

A. 0

B. 1

C. 3

D. 2

Câu 11. Tìm tích các giá trị của m để phương trình 4mx2 − x – 14m2 = 0 có nghiệm x = 2

A. 1/7

B. 2/7

C. 6/7

D. 8/7

Câu 12. Tìm tổng các giá trị của m để phương trình (m – 2)x2 – (m2 + 1)x + 3m = 0 có nghiệm x = −3

A. −5

B. −4

C. 4

D. 6

Câu 13. Tính biệt thức ∆ từ đó tìm số nghiệm của phương trình: 9x2 − 15x + 3 = 0

A. ∆ = 117 và phương trình có nghiệm kép

B. ∆ = − 117 và phương trình vô nghiệm

C. ∆ = 117 và phương trình có hai nghiệm phân biệt

D. ∆ = − 117 và phương trình có hai nghiệm phân biệt

Câu 14. Tính biệt thức ∆ từ đó tìm số nghiệm của phương trình: −13x2 + 22x − 13 = 0

A. ∆ = 654 và phương trình có nghiệm kép

B. ∆ = −192 và phương trình vô nghiệm

C. ∆ = − 654 và phương trình vô nghiệm

D. ∆ = − 654 và phương trình có hai nghiệm phân biệt

3. Hướng dẫn giải bài tập phương trình bậc hai một ẩn

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Đáp án A C D D A B A B C D A B C B

Câu 1.

Ta có: a = 3; b = 5; c = -2 ⇒ ∆ = b2 – 4ac = 52 – 4.3.(-2) = 49 > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

x1 = (-5 + \sqrt{49} )/ 6 = 1/3 

x2 = (-5 - \sqrt{49} )/ 6 = -2

Câu 2.

Ta có: a = 3; bꞌ = -3; c = 3 ⇒ ∆ꞌ = (bꞌ)2 - ac = (-3)2 – 3.3 = 9 - 9 = 0

Suy ra phương trình có một nghiệm

Câu 3. 

Ta có: a = 5; bꞌ = -3; c = 1 ⇒ ∆ꞌ =(bꞌ)2 - ac = (-3)2 – 5.1 = 9 - 5 = 4 > 0

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = (3 + \sqrt{4} ) / 5 = 1; x2 = (3 - \sqrt{4}) / 5 = 1/5

Vậy 2x1 + 5x2 = 2.1 + 5. 1/5 = 3

Câu 4. 

Ta có: a = 1; b = -1; c = 8 ⇒ ∆ = b2 – 4ac = (-1)2 – 4.1.8 = -31 < 0

Vậy phương trình vô nghiệm.

Câu 5.

Ta có: a = 1; b = -7; c = -8 ⇒ ∆ = b2 – 4ac = (-7)2 – 4.1.(-8) = 81 > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x = (7 + \sqrt{81}) / 2 = 8 ; x + (7 - \sqrt{81}) / 2 = -1

Suy ra, x1 = -1 do đó 2x1 = -2

Câu 6.

Phương trình bậc hai một ẩn (hay gọi tắt là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) trong đó a, b, c là các số thực cho trước, x là ẩn số. Đáp án cần chọn là: B

Câu 7.

Xét phương trình bậc hai một ẩn ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) và biệt thức ∆ = b2 – 4ac

TH1: Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm

TH2. Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = -b/ 2a

TH3: Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = (-b + \sqrt{\bigtriangleup })/ 2a ; x2 = (-b - \sqrt{\bigtriangleup }) / 2a

Đáp án cần chọn là A.

Câu 8.

Ta có: 6x2 - 7x = 0 <=> x. (6x - 7) = 0 <=> x = 0 hoặc x = 7/6

Nên tổng các nghiệm của phương trình là: 0 + 7/6 = 7/6

Câu 9.

Ta có: 3x2 - 10x + 3 = 0

<=> 3x2 - 9x - x + 3 = 0

<=> 3x. (x - 3) - (x - 3) = 0

<=> (3x -1). (x - 3) = 0

<=> 3x - 1 = 0 hoặc x - 3 = 0

<=> x = 1/3 hoặc x = 3

Nên tích các nghiệm của phương trình là 1/3 . 3 = 1

Câu 10.

Ta có: -4x2 + 9 = 0

<=> 4x2 = 9

<=> x2 = 9/4

<=> x = 3/2 hoặc x = -3/2

Vậy phương trình có hai nghiệm: x = 3/2; x = -3/2

Câu 11. 

Thay x = 2 vào phương trình 4mx2 - x - 10m2 = 0, ta có:

4m.22 - 2 - 14m2 = 0

<=> 14m2 - 16m + 2 = 0

<=> (14m - 2). (m - 1) = 0

<=> m = 1/7 hoặc m = 1

Suy ra tích các giá trị của m là 1/7. 1 = 1/7

Câu 12.

Thay x = -3 vào phương trình (m - 2)x2 - (m2 + 1)x + 3m = 0, ta có:

(m - 2).(-3)2 - (m2 + 1).(-3) + 3m = 0

<=> 9m - 18 + 3m2 + 3 + 3m = 0

<=> 3m2 + 12m - 15 = 0

<=> m2 + 4m - 5 = 0

<=> m2 - m + 5m - 5 = 0

<=> m. (m - 1) + 5.(m - 1) = 0

<=> (m - 1).(m + 5) = 0

<=> m = 1 hoặc m = -5

Suy ra tổng các giá trị của m là (-5) + 1 = -4

Câu 13. 

Ta có: 9x2 − 15x + 3 = 0 (a = 9; b = −15; c = 3)

⇒ ∆ = b2 – 4ac = (−15)2 – 4.9.3 = 117 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Câu 14..

Ta có: −13x2 + 22x − 13 = 0 (a = −13; b = 22; x = −13)

⇒ ∆ = b2 – 4ac = 222 – 4.(−13). (−13) = −192 < 0 nên phương trình vô nghiệm.

=> Bạn đọc có thể tham khảo thêm bài viết Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 x2 thỏa mãn điều kiện đã cho