Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn và trục nhỏ của Elip

1. Lý thuyết tổng hợp 

- Cho hai điểm cố định F₁ và F₂ và một độ dài không đổi 2a lớn hơn F₁F_2. Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho F₁M + F₂M = 2a

- Các thành phần của Elip: cho elip (E) có phương trình x² / a² + y² / b² = 1

+ Hai tiêu điểm: F₁(-c;0) và F₂(c;0)

+ Bốn đỉnh: A₁(-a;0), A₂ (a;0), B₁(0;-b) và B₂ (0;b)

+ Độ dài trục lớn: A₁A₂ = 2a

+ Độ dài trục nhỏ: B₁B₂ = 2b

+ Tiêu cự: F₁F₂ = 2c

+ Tâm sai: e = c / a <1 với c = 

2. Các công thức

Cho elip (E) có phương trình x² / a² + y² / b² = 1

- Trục lớn của (E) nằm trên Ox: A₁A₂ = 2a

- Trục nhỏ của (E) nằm trên Oy: B₁B₂ = 2b

- Tiêu cự của (E): F₁F₂ = 2c = 

- Tiêu điểm của (E): F₁ (-a;0) và F₂(c;0) với c = 

- Tâm sai của (E): e = c / a <1 với c = 

3. Ví dụ minh họa

Bài 1: Xác định tọa độ dài các trục, tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai của elip (E) có phương trình: x² / 16 + y² / 9 = 1

Lời giải

Xét phương trình elip (E): x² / 16 + y² / 9 = 1. ta có:

a² = 16 => a = 4

b² = 9 => b = 3

=> c = 

Từ đó ta có:

Tiêu điểm của (E): 

Tiêu cự của (E): F1F2 = 

Tâm sai của (E): e = 

Trục lớn của (E) nằm trên Ox: A₁A₂ = 2. 4 = 8

Trục nhỏ của (E) nằm trên Oy: B₁B₂ = 2. 3 = 6

Bài 2: Cho elip có phương trình x² / 100 + y² / 36 = 1. Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, trục lớn, trục nhỏ của elip.

Lời giải:

Xét phương trình elip: x² / 100 + y² / 36 = 1 ta có"

a² = 100 =>  a = 10

b² = 36 => b = 6

=> c = 

Từ đó ta có:

Tiêu điểm của (E): F₁(-8;0) và F₂(8;0)

Tiêu cự của (E): F₁F₂ = 2. 8 = 16

Tâm sai của (E): e = 8 / 10 = 4 / 5

Trục lớn của (E) nằm trên Ox: A₁A₂ = 2.10 = 20

Trục nhỏ của (E) nằm trên Oy: B₁B₂ = 2. 6 = 12

Bài 3. Cho hình elip với phương trình x ² / 36 + y² / 25 = 1. Tìm tiêu điểm, tiêu cự, tâm sa, trục lớn, trục nhỏ của elip.

Lời giải:

Xét phương trình elip: x ² / 36 + y² / 25 = 1, ta có:

a² = 36 => a = 6

b² = 25 => b = 5

=> c = 

Từ đó ta có: 

Tiêu điểm của (E): 

Tiêu cự của (E): F₁F₂ = 

Tâm sai của (E): e = 

Trục lớn của (E) nằm trên Ox: A₁A₂ = 2.6 = 12

Trục nhỏ của (E) nằm trên Oy: B₁B₂ = 2.5 = 10

4. Bài tập áp dụng

Bài 1. Tìm tọa độ các tiêu điểm; tọa độ các đỉnh; độ dài trục lớn và trục nhỏ của các elip sau:

a) x² / 169 + y²/ 25 = 1

b) x² + 4y² = 1

Lời giải:

a) x² / 169 + y² / 25 = 1 <=> x ² / 13² + y² / 5² = 1

Phương trình Elip có dạng: x² / a² + y² / b² = 1

Suy ra: a = 13; b = 5 và c = 

Tọa độ các đỉnh của Elip là: A₁ (-13;0); A₂ (13;0); B₁(0;-5); B₂(0;5)

Tọa độ tiêu điểm của Elip là: F₁(-12;0); F₂₍12;0)

Độ dài trục lớn 2a = 26; độ dài trục nhỏ 2b = 10.

b) x² + 4y² = 1

<=> x ² / 1 +  = 1

Phương trình elip có dạng: x² / a² + y² / b² = 1

Vậy ta có: a = 1; b = 1 / 2 và c = 

Các đỉnh của  Elip là: A₁(-1;0); A₂₍1;0); B₁(0;-1/2); B₂(0;1/2)

Tiêu điểm của Elip là 

Độ dài trục lớn 2a = 2; độ dài trục nhỏ 2b = 1

Bài 2. Elip (E) có độ dài trục bé bằng tiêu cự. Tâm sai của (E) là:
A. 

B. 

C. 1 / 3

D. 1

Phương pháp giải:

Tính tỉ số e = c / a trong đó:

+) 2c là tiêu cự của elip

+) 2a là độ dài trục lớn của elip

+) 2b là độ dài trục bé củ elip

Và ta có a² = b² + c²

Đáp án: 

Elip có độ dài trục bé bằng tiêu cự nên ta có b = c

Mặt khác ta có a² = b², suy ra a² = 2c² hay a = 

Tâm sai của elip là : e = c / a = 

Vậy chọn đáp án A

Bài 3. Cho elip (E) có tiêu cự là 2c, độ dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 2a và 2b. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. c < b < a

B. c < a < b

C. c > b > a

D. c < a và b < a

Phương pháp giải: 

Áp dụng lý thuyết phương trình chính tắc của elip

Phương trình chính tắc của elip có dạng: x² / a² + y² / b² = 1 với a > b > c và a² = b² + c² với 2c là tiêu cự của (E)

Đáp án:

Vì a² = b² + c² và a, b, c > 0 nên ta có: a² > c² <=> a > c. Hiển nhiên b < a. Chọn đáp án D

Bài 4. Cho elip (E) có hai tiêu điểm là F1, F2 và có độ dài trục lớn là 2a. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?

A. 2a = F1F2

B. 2a > F1F2

C. 2a < F1F2

D. 4a = F1F2

Phương pháp giải:

Áp dụng lý thuyết phương trình chính tắc của elip

Phương trình chính tắc của elip có dạng: x² / a² + y² / b² = 1 với a > b > 0 và a² = b² + c² với 2c là tiêu cự của (E)

Lời giải:

Elip (E) có hai tiêu điểm là F1, F2 ta có 2c = F1F2

Vì a² = b² + c² và a, b, c > 0 nên ta có a² >0 <=> a > c. Do đó 2a > F1F2

Chọn đáp án B

Bài 5. Cho elip (E): x² + 4y² - 40 = 0. Chu vi hình chữ nhật cơ sở là:

A. 

B. 10

C.

D, 

Phương pháp giải: Từ phương trình (E) tìm độ dài trục lớn 2a và độ dài trục bé 2b. Chu vi hình chữ nhật cơ sở bằng 2(2a +2b)

Đáp án:

Ta có: (E): x² + 4y² = 40 = 0

<=> x ² + 4y² - 40 = 0 <=> x² / 40 + y² / 40 = 1 

=>  

Chu vi hình chứ nhật cơ sở là: 2(2a + 2b) == 

Chọn đáp án cần chọn là D

Bài 6.  Phương trình chính tắc của elip có tiêu điểm là F1 (-1; 0), F2(1;0) và tâm sai e = 1 / 5 là:

A. x² / 24 + y² / 25 = 1

B. x² / 24 + y² / 25 = -1 

C. x² / 25 + y² / 24 = 1

D. x² / 25 + y² / 24 = -1

Phương pháp giải: 

Phương trình chính tắc của elip có dạng: x² / a² + y² / b² = 1 . Tìm a, b

- Elip có 4 đỉnh là A1 (-a;0), A2 (a;0), B1 (0;-b), B2 (0;b)

- Elip có tiêu cự bằng 2c và ta cũng có a² = b² + c² 

Đáp án:

Elip có hai tiêu điểm là F1(-1;0), F2(1;0)=> c = 1

Elip có tâm sai e = 1/ 5 => c  / a = 1 / 5 => a = 5

Mặt khác ta có b² = a² - c² = 25 -1 = 24

Vậy elip có phương trình là: x² / 25 + y² / 24 = 1

Chọn đáp án C

Bài 7: Cho elip (E): x² / 25 + y² / 9 = 1 và cho các mệnh đề:

1. (E) có các tiêu điểm F1(0;-4) và F2 (0;4)

2. (E) có tỉ số c / a = 4  / 5

3. (E) có đỉnnh A1(-5;0)

4. (E) có độ dài trục nhỏ bằng 3

Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề trên: 

A. 1 và 2

B. 2 và 3

C. 1 và 3

D. 4 và 1

Đáp án: Từ phương trình elip (E): x² / 25 + y² / 9 = 1 ta có : 

Suy ra ta có:

1. (E) có các tiêu điểm F1(-4;0) và F2(4;0) nên (1) sai

2. E có tỉ số c / a = 4 / 5 nên (2) đúng

3. (E) có đỉnh A₁(-5;0) nên (3) đúng

4. (E) có độ dài trục nhỏ bằng 2b = 6 nên (4) sai

Vậy các mệnh đề sai là (1) và (4)

Chọn đáp án D

Bài 8: Phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn là 12 và tiêu cự là 10 là:

A. x² / 36 + y² / 9 = 1

B. x² / 36 + y^{2 /} 25 = 1

C. x² / 36 + y² / 11 = 1

D. x² / 36 + y² / 10 = 1

Đáp án:

Độ dài trục lớn là 12, suy ra 2a = 12 hay a = 6

Tiêu cự là 10, suy ra 2c = 10 hay c = 5

Mặt khác, t có a² = b² + c², suy ra b² = a² - c² = 36 - 25 = 11

Chọn đáp án C

Bạn đọc có thể tham khỏa bài viết:  Đề thi giữa học kì 2 môn Toán 10 sách cánh diều có đáp án