Mục lục bài viết

1. Lý thuyết cần nhớ
2. Các dạng bài tập đường trung trực của đoạn thẳng
3. Bài tập vận dụng

1. Lý thuyết cần nhớ

1. Định nghĩa

- Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng ấy

Bài tập Đường trung trực của một đoạn thẳng có đáp án

Quan sát hình vẽ trên ta có:

- Đoạn thẳng AB với trung điểm I của đoạn thẳng AB

- Đường thẳng d vuông góc với AB tại I

DO đó đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB
Ví dụ:

Bài tập Đường trung trực của một đoạn thẳng có đáp án

Hướng dẫn giải:

- quan sát hình 1 ta thấy:

Đường thẳng a vuông góc với AB tại C nhưng đường thẳng a không đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB

Do đó đường thẳng a không là đường trung trực của đoạn thẳng AB

- Quan sát hình 2 ta thấy:

Đường thẳng b vuông góc với DE tại F và đường thẳng b đi qua trung điểm F của đoạn thẳng DE

Do đó ta có đường thẳng b là đường trung trực của đoạn thẳng DE

- Quan sát hình 3 ta thấy:

Đường thẳng c đi qua trung điểm I của đoạn thẳng GH nhưng đường thẳng c không vuông góc với đoạn thẳng GH

Do đó thì đường thẳng c không là đường trung trực của đoạn thẳng GH

2. Các dạng bài tập đường trung trực của đoạn thẳng

Dạng 1: Vận dụng tính chất của đường trung trực

Sử dụng định lý 1: " Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng ấy"

Dạng 2: Chứng minh một điểm thuộc đường trung trực. Chứng minh một đường thẳng là đường trung trực của một đoạn thẳng

- Để chứng minh điểm M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng Ab thì ta dừng định lý 2" Điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó" hoặc dùng định nghĩa đường trung trực

- Để chứng minh đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng AB thì ta chứng minh d chứa hai điểm cách đều A và B hoặc dùng định nghĩa đường trung trực

Dạng 3: Xác định vị trí của điểm thỏa mãn yêu cầu đề bài

Sử dụng định lý 2: "điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó" để xác định một điểm nằm trên một đường trung trực của đoạn thẳng

Dạng 4: Sử dụng tính chất đường trung trực vào bài toán về cực trị

- Sử dụng tính chất đường trung trực để thay đổi độ dài một đoạn thẳng độ dài một đoạn thẳng khác bằng nó

- Sử dụng bất đẳng thức tam giác để tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất

3. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho $\widehat{xOy} = 30^{o}$ . Trên tia Ox lấy điểm E trên tia Oy lấy điểm F. Lấy điểm D sao cho OF là đường trung trực của ED

a. Chứng minh $\widehat{OFE} = \widehat{OFD }$

b. Chứng minh $\Delta$ OED đều

Lời giải chi tiết

Bài tập Đường trung trực của một đoạn thẳng có đáp án

Vì OF là đường trung trực của ED theo giả thiết

Nên OE = OD và FE = FD tính chất đường trung trực của đoạn thẳng

Xét $\Delta$ OEF và $\Delta$ ODF ta có:

OE = OD (chứng minh trên)

FE = FD (chứng minh trên)

OF là cạnh chung

Do đó: $\Delta$ OEF = $\Delta$ ODF (c.c.c)

Suy ra: $\widehat{OFE} = \widehat{OFD}$ (Hai góc tương ứng)

Vậy $\widehat{OFE} = \widehat{OFD}$

b. Theo phần a ta có:

$\Delta$ OEF = $\Delta$ ODF nên $\widehat{EOF} = \widehat{DOF} =30^{O}$ (hai góc tương ứng)

Ta lại có: $\widehat{EOD} = \widehat{EOF} + \widehat{FOD} = 30^{O} + 30^{O} = 60^{0}$

Xét: $\Delta$ OED cân tại O có: $\widehat{EOD} = 60^{o }$ (chứng minh trên)

Do đó: $\Delta$ OED đều

Vậy $\Delta$ OED là tam giác đều

Câu 2: Cho đoạn thẳng AB. Dựng các tam giác PAD cân tại P và tam giác QAB cân tại Q như hình sau:

Bài tập Đường trung trực của một đoạn thẳng có đáp án

Chọn khẳng định đúng nhất

A. PQ đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB

B. PQ vuông góc với AB

C. PQ không vuông góc với AB

D. PQ là đường trung trực của đoạn thẳng AB

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng: D

Ta có: $\Delta$ PAB cân tại P nên PA = PB

Suy ra P thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB (1)

Tương tự ta có $\Delta$ QAB cân tại Q nên QA = QB

Suy ra Q thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB (2)

Từ 1, 2 ta suy ra được PQ là đường trung trực của đoạn thẳng AB

Vì đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng ấy

Nên đáp án đúng nhất là đáp án D

Câu 3: Nếu một tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực thì tam giác đó là tam giác gì?

A. tam giác vuông

B. tam giác vuông

C. tam giác đều

D. tam giác vuông cân

Bài tập Đường trung trực của một đoạn thẳng có đáp án

Lời giải chi tiết:

Giả sử tam giác ABC có AM là trung tuyến đồng thời là đường trung trực. Ta sẽ chứng minh tam giác ABC là tam giác cân. Thật vậy, vì AM là trung tuyến của tam giác ABC theo giả thiết

Suy ra: BM = MC (theo tính chất trung tuyến)

Vì AM là trung trực của BC

SUy ra: AM vuông góc với BC

Xét tam giác vuông ABM và tam giác ACM có:

BM = Cm theo chứng minh trên

AM: chung

Do đó: $\Delta$ ABM = $\Delta$ ACm (2 cạnh góc vuông)

Suy ra: AB = AC theo 2 cạnh tương ứng

Suy ra: $\Delta$ ABC cân tại A

Chọn đáp án đúng là B

Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, có góc C = 30^o đường trung trực của Bc cắt Ac tại M. Em hãy chọn câu đúng:

A. BM là đường trung tuyến của tam giác ABC

B. BM = AB

C. BM là phân giác của góc ABC

D. BM là đường trung trực của tam giác ABC

Bài tập Đường trung trực của một đoạn thẳng có đáp án

Lời giải chi tiết:

Vì M thuộc đường trung trực của Bc

Suy ra: BM = MC (tính chất điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng)

$\Delta$ BMC cân tại M (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

Suy ra: $\widehat{MBC} = \widehat{C} = 30^{o}$ (tính chất tam giác cân)

Xét tam giác ABC có: $\widehat{A} + \widehat{ABC} + \widehat{C} = 180^{o}$ (định lý tổng 3 góc trong tam giác)

Suy ra: $\widehat{ABC} = 180^{o} - \widehat{C} - \widehat{A} = 180^{o} - 30^{o} - 90^{o}$ = 60^o

^{Suy ra:}

^{Suy ra BM là phân giác của}

Đáp án đúng là đáp án C

Câu 6: Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ A kẻ AH vuông góc với BC tại H. Trên tại đối của tia HA lấy điểm D sao cho HA = HD. Khi đó ta có:

A. tam giác BCD là tam giác nhọn

B. tam giác BCD là tam giác vuông tại B

C. tam giác BCD là tam giác vuông tại D

D. tam giác BCD là tam giác vuông tại C

Lời giải chi tiết:

Bài tập Đường trung trực của một đoạn thẳng có đáp án

Ta có D thuộc tia đối với tia HA nên H nằm giữa hai điểm A và D

Mà HA = HD nên H là trung điểm của AD

Mặt khác ta có BC vuông góc với AD tại H (do AH vuông góc với BC)

Do đó ta có BC là đường trung trực của đoạn thẳng AD

Suy ra: BA = BD; CA = CD

Tính chất điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng

Xét tam giác ABC và tam giác DBC có:

BA = BD; CA = CM theo chứng minh trên

BC: cạnh chung

Do đó ta có: $\Delta$ ABC = $\Delta$ ABC (c.c.c)

Suy ra: $\widehat{BDC} = \widehat{BAC} = 90^{o}$ ( hai góc tương ứng)

Vậy tam giác BDC vuông tại D

Đáp án đúng là C

Câu 7: Cho đoạn thẳng Ab. Gọi O là trung điểm của AB. TRong hai nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB lấy hai điểm M và N sao cho MA = MB và NA = NB

A. đường thẳng MN đi qua O

B. đường thẳng MN vuông góc với AB

C. đường thẳng MN vuông góc với AB tại O

D. đường thẳng MN song song với AB

Lời giải chi tiết:

Bài tập Đường trung trực của một đoạn thẳng có đáp án

Ta có: MA = MB nên M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB

Tương tự NA = NB nên N thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB\

Suy ra: MN là đường trung trực của đoạn thẳng AB

Mà O là trung điểm của AB

Vậy MN vuông góc với AB tại O

Đáp án đúng là đáp án C

Câu 8: Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng 12 cm. Gọi I là trung điểm của AB. Điểm M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB sao cho MA = 10 cm. Chọn câu sai trong các câu sau đây:

A. MB = 10 cm

B. MI = 8 cm

C. $\widehat{MAI} = \widehat{MBI}$

D. MA = MB = MI

Bài tập Đường trung trực của một đoạn thẳng có đáp án

I là trung điểm của AB

Nên IA = IB = 1/2 AB = 1/2. 12 = 6 cm

M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB nên MA = MB = 10 cm

MI là đường trung trực của AB nên MI vuông góc với AB

SUy ra tam giác AMI vuông tại I

Áp dụng định lý Py ta go ta có:

MA²= MI²+AI ²

^{Suy ra: MI = MA - AI}

Suy ra: 10 $^{2}$ - 6 $^{2}$ = 64

Suy ra: MI = 8 cm

Ta có: MA = MB; AI = BI

MI: cạnh chung

Do đó: Tam giác AMI = tam giác BMI (c.c.c)

Suy ra: $\widehat{AMI} = \widehat{MBI}$

Vậy A, B, C đúng và D sai do MA = MB khác MI

Bạn đọc có thể tham khảo bài viết sau: Các dạng toán nâng cao lớp 7

Bài viết trên luật Minh Khuê đã gửi tới bạn đọc chi tiết về vấn đề: Bài tập về đường trung trực của đường thẳng. Cảm ơn bạn đọc đã theo dõi chi tiết về nội dung bài viết.