Bộ đề ôn tập Toán lớp 7 có đáp án đầy đủ, chi tiết

1. Bộ đề ôn tập 1

Bài 1. Cho đa thức A(x) = –11x5 + 4x – 12x2 + 11x5 + 13x2 – 7x + 2.

a) Thu gọn, sắp xếp đa thức A(x) theo số mũ giảm dần của biến rồi tìm bậc, hệ số cao nhất của đa thức.

b) Tìm đa thức M(x) sao cho M(x) = A(x).B(x), biết B(x) = x – 1.

c) Tìm nghiệm của đa thức A(x). 

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

A(x) = –11x5 + 4x – 12x2 + 11x5 + 13x2 – 7x + 2

= x2 – 3x + 2.

Đa thức A(x) có bậc là 2 và hệ số cao nhất là 1.

b) M(x) = A(x).B(x)

= (x2 – 3x + 2).(x – 1)

= x.(x2 – 3x + 2) – 1.(x2 – 3x + 2)

= x3 – 3x2 + 2x – x2 + 3x – 2

= x2 – 4x2 + 5x – 2.

c) A(x) = 0

x2 – 3x + 2 = 0

x2 – x – 2x + 2 = 0

x(x – 1) – 2(x – 1) = 0

(x – 1)(x – 2) = 0

x = 1 hoặc x = 2.

Vậy đa thức A(x) có nghiệm là x ∈ {1; 2}.

Bài 2. Ba đội công nhân cùng chuyển một khối lượng gạch như nhau. Thời gian để đội thứ nhất, đội thứ hai và đội thứ ba làm xong công việc lần lượt là 2 giờ, 3 giờ, 4 giờ. Tính số công nhân tham gia làm việc của mỗi đội, biết rằng số công nhân của đội thứ ba ít hơn số công nhân của đội thứ hai là 5 người và năng suất lao động của các công nhân là như nhau.

Lời giải chi tiết:

Gọi số công nhân tham gia làm việc của đội thứ nhất, đội thứ hai, đội thứ ba lần lượt là x, y, z.

Số công nhân của đội thứ ba ít hơn số công nhân của đội thứ hai là 5 người nên y – z = 5.

Với cùng một khối lượng công việc, số công nhân tham gia làm việc và thời gian hoàn thanh công việc của mỗi đội là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.

Do đó, ta có 2x = 3y = 4z suy ra x12=y13=z14.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
x12=y13=z14=y-z13−14=5112=60.

Từ đó suy ra x=60.12, y=60.13=20, z=60.14=15.

Vậy số công nhân tham gia làm việc của đội thứ nhất, đội thứ hai, đội thứ ba lần lượt là 30 người, 20 người, 15 người.

Bài 3. Chọn ngẫu nhiên một số trong tập hợp M = {2; 3; 5; 6; 8; 9}.

a) Trong các biến cố sau, biến cố nào là biến cố chắc chắn? Biến cố nào là biến cố không thể và biến cố nào là biến cố ngẫu nhiên?

A: “Số được chọn là số nguyên tố”;

B: “Số được chọn là số có một chữ số”;

C: “Số được chọn là số tròn chục”.

b) Tính xác suất của biến cố A.

Lời giải chi tiết

 a) Tập hợp M gồm có số nguyên tố và hợp số nên biến cố A là biến cố ngẫu nhiên.

Trong tập hợp M, tất cả các số đều là số có một chữ số nên biến cố B là biến cố chắc chắn.

Trong tập hợp M, không có số nào là số tròn chục nên biến cố C là biến cố không thể.

b) Trong tập hợp M gồm 6 số, có 3 số là số nguyên tố, đó là số 2; 3; 5.

Xác suất của biến cố A là: 36=12.

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD (D∈AC). Từ D kẻ DH vuông góc với BC.

a) Chứng minh ΔABD = ΔHBD.

b) So sánh AD và DC.

c) Gọi K là giao điểm của đường thẳng AB và DH, I là trung điểm của KC. Chứng minh 3 điểm B, D, I thẳng hàng.

Lời giải chi tiết 

a) Xét DABD và ΔHBD có:
BHD^=BAD^=90°,

BD là cạnh chung,

ABD^=HBD^ (do BD là tia phân giác của ABD^).

Do đó ΔABD = ΔHBD (cạnh huyền – góc nhọn).

b) Từ ΔABD = ΔHBD (câu a) suy ra AD = HD (hai cạnh tương ứng)

Xét ΔDHC vuông tại H có DC là cạnh huyền nên DC là cạnh lớn nhất

Do đó DC > HD nên DC > AD.

c) Xét ΔBKC có CA ⊥ BK, KH ⊥ BC và CA cắt KH tại D

Do đó D là trực tâm của DBKC, nên BD ⊥ KC (1)

Gọi J là giao điểm của BD và KC.

Xét Δ∆BKJ và Δ∆BCJ có:
BJK^=BJC^=90°,

BJ là cạnh chung,

KBJ^=CBJ^ (do BJ là tia phân giác của ABD
^).

Do đó ΔBKJ = ΔBCJ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra KJ = CJ (hai cạnh tương ứng)

Hay J là trung điểm của KC.

Mà theo bài I là trung điểm của KC nên I và J trùng nhau.

Do đó ba điểm B, D, I thẳng hàng.

Bài 5. Tìm các giá trị nguyên của n để 2n2 – n + 2 chia hết cho 2n + 1.

Lời giải chi tiết

Thực hiện phép chia đa thức 2n2 – n + 2 cho đa thức 2n + 1 như sau:

Để 2n2 – n + 2 chia hết cho 2n + 1 thì (2n + 1) ∈ Ư(3) = {1; ‒1; 3; ‒3}.

Ta có bảng sau:

Vậy n ∈ {–2; –1; 0; 1}.

2. Bộ đề ôn tập 2

Bài 1. (1,0 điểm) Tìm x, biết:

a) x−13=12; 

b) 5x(x – 3) = (x – 2)(5x – 1) – 5.

Lời giải chi tiết 

a) x−13=12

2.(x – 1) = 3.1

2x – 2 = 3

2x = 5

x=52

Vậy x=52.

b) 5x(x – 3) = (x – 2)(5x – 1) – 5

5x2 – 15x = 5x2 – x – 10x + 2 – 5

–4x = –3

x=34

Vậy x=34.

Bài 2. Cho hai đa thức A(x) = x – 2x2 + 3x5 + x4 + x + x2;

B(x) = –2x2 + x – 2 – x4 + 3x2 – 3x5.

a) Thu gọn và sắp xếp hai đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Tìm đa thức M(x) sao cho B(x) = A(x) + M(x). Tìm bậc và hệ số cao nhất của đa thức M(x).

c) Tìm nghiệm của đa thức N(x) biết A(x) = N(x) – B(x).

Lời giải chi tiết 

a) A(x) = x – 2x2 + 3x5 + x4 + x + x2

= 3x5 + x4 – x2 + 2x.

B(x) = –2x2 + x – 2 – x4 + 3x2 – 3x5

= – 3x5 – x4 + x2 + x – 2

b) B(x) = A(x) + M(x)

Suy ra M(x) = B(x) – A(x)

M(x) = (– 3x5 – x4 + x2 + x – 2) – (3x5 + x4 – x2 + 2x)

= – 3x5 – x4 + x2 + x – 2 – 3x5 – x4 + x2 – 2x

= –6x5 – 2x4 + 2x2 – x – 2.

Đa thức M(x) có bậc là 5, hệ số cao nhất là –6.

c) A(x) = N(x) – B(x)

Suy ra N(x) = A(x) + B(x)

N(x) = (3x5 + x4 – x2 + 2x) + (– 3x5 – x4 + x2 + x – 2)

= 3x5 + x4 – x2 + 2x – 3x5 – x4 + x2 + x – 2

= – x – 2.

N(x) = 0

Suy ra – x – 2 nên x = – 2.

Vậy đa thức N(x) có nghiệm là x = – 2.

Bài 3.  Ba phân xưởng in có tổng cộng có 47 máy in (có cùng công suất in) và mỗi phân xưởng được giao in một số trang in bằng nhau. Phân xưởng thứ nhất hoàn thành công việc trong 3 ngày, phân xưởng thứ hai trong 4 ngày và phân cưởng thứ ba trong 5 ngày. Hỏi mỗi phân xưởng có bao nhiêu máy in?

Lời giải chi tiết:

Gọi x, y, z lần lượt là số máy in của các phân xưởng thứ nhất, thứ hai, thứ ba.

Tổng số máy của ba phân xưởng là x + y + z = 47.

Vì số ngày hoàn thành công việc tỉ lệ nghịch với số máy nên ta có:
x13=y14=z15.

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: x13=y14=z15=x+y+z13+14+15=474760=60

Suy ra x=60.13=20;y=60.14=15;z=60.15=12. .

Vậy số máy in của ba phân xưởng lần lượt là 20; 15; 12 (máy in).

Bài 4. Một chiếc hộp kín có chứa 5 quả bóng có kích thước và khối lượng như nhau, và được ghi lần lượt các số 5; 10; 15; 20; 25. Lấy ra ngẫu nhiên 1 quả bóng từ hộp. Xét các biến cố sau:

A: “Quả bóng lấy ra ghi số nguyên tố”;

B: “Quả bóng lấy ra ghi số chia hết cho 5”;

C: “Quả bóng lấy ra ghi số chia hết cho 6”.

D: “Quả bóng lấy ra ghi số tròn chục”.

a) Trong các biến cố trên, chỉ ra biến cố nào là chắc chắn, không thể.

b) Tính xác suất của các biến cố A và D.

Lời giải chi tiết

a) Biến cố B là biến cố chắc chắn, biến cố C là biến cố không thể.

b) Vì 5 quả bóng có kích thước và khối lượng như nhau nên mỗi quả bóng đều có cùng khả năng được chọn.

• Trong 5 quả bóng ghi lần lượt các số 5; 10; 15; 20; 25, chỉ có 1 quả bóng ghi số nguyên tố là 5. Do đó xác xuất của biến cố A là P(A)=15 .

• Trong 5 quả bóng ghi lần lượt các số 5; 10; 15; 20; 25, có 2 quả bóng ghi số tròn chục là 10; 20. Do đó xác xuất của biến cố D là P(A)=25.

Bài 5. (2,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA. Đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt cạnh AC tại M, cắt tia BA tại N.

a) So sánh các góc của tam giác ABC.

b) Chứng minh DABM = DDBM. Từ đó suy ra MA = MD.

c) Tam giác MNC là tam giác gì? Tại sao?

d) Gọi I là trung điểm của CN. Chứng minh ba điểm B, M, I thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

a) Tam giác ABC là tam giác vuông tại A nên cạnh huyền BC là cạnh lớn nhất.

Mà AB < AC nên AB < AC < BC.

Suy ra C^<B^<A^ (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác).

b) Xét Δ∆ABM và Δ∆DBM có:

BAM^=BDM^=90°;

BA = BD (giả thiết);

BM là cạnh chung

Do đó Δ∆ABM = Δ∆DBM (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra MA = MD (hai cạnh tương ứng).

c) Xét Δ∆ANM và Δ∆DCM có:
NAM^=CDM^=90°;

MA = MD (chứng minh câu b);

AMN^=DMC^ (hai góc đối đỉnh).

Do đó Δ∆ANM = Δ∆DCM (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)

Suy ra MN = MC (hai cạnh tương ứng).

Tam giác MNC có MN = MC nên là tam giác cân tại M.

d) Do Δ∆MNC cân tại M có I là trung điểm của NC nên MI là đường trung tuyến của Δ∆MNC.

Khi đó MI đồng thời là đường cao của DMNC hay MI ⊥ NC (1)

Xét Δ∆BNC có hai đường cao CA, ND cắt nhau tại M nên M là trực tâm của DBNC.

Suy ra BM ⊥ NC (2)

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm B, M, I thẳng hàng.

Bài 6. (0,5 điểm) Tìm giá trị nguyên dương của x để đa thức x3 – 3x2 – 3x – 1 chia hết cho đa thức x2 + x + 1.

Lời giải chi tiết:

Thực hiện phép chia đa thức như sau:Để đa thức x3 – 3x2 – 3x – 1 chia hết cho đa thức x2 + x + 1 thì 3 ⋮ (x2 + x + 1).

Tức là x2 + x + 1 ∈ Ư(3) = {–3; 3; –1; 1}.

Do x > 0 nên x2 + x + 1 > 1

Do đó x2 + x + 1 = 3

x2 + x – 2 = 0

x2 – x + 2x – 2 = 0

x(x – 1) + 2(x – 1) = 0

(x – 1)(x + 2) = 0

Suy ra x = 1 (thỏa mãn) hoặc x = – 2 (loại).

Vậy x = 1 thì đa thức x3 – 3x2 – 3x – 1 chia hết cho đa thức x2 + x + 1.