1. Lý thuyết đại lượng tỉ lệ nghịch (toán lớp 7)
Định nghĩa tỉ lệ nghịch
Tỉ lệ nghịch là một mối quan hệ giữa hai đại lượng trong đó khi một đại lượng tăng, thì đại lượng kia giảm theo cách cố định và ngược lại, khi một đại lượng giảm, đại lượng kia tăng theo cách cố định. Điều này có nghĩa là khi bạn nhân lên giá trị của một đại lượng, giá trị của đại lượng kia sẽ bị chia đi một lượng cố định, và ngược lại.
Một cách toán học để diễn đạt mối quan hệ tỉ lệ nghịch giữa hai đại lượng x và y là:
xy=k
Ở đây, x và y là hai đại lượng có mối quan hệ tỉ lệ nghịch, và k là một hằng số không đổi. Khi giá trị của x tăng lên, giá trị của y sẽ giảm theo cách cố định sao cho tích của họ (xy) vẫn bằng k. Ngược lại, khi giá trị của x giảm, giá trị của y sẽ tăng để duy trì tích (xy) là một hằng số không đổi.
Tính chất của đại lượng tỉ lệ nghịch
Tích bằng một hằng số không đổi: Đặc điểm quan trọng nhất của đại lượng tỉ lệ nghịch là tích của chúng luôn bằng một hằng số không đổi. Nếu x và y tỉ lệ nghịch với nhau theo một hằng số k, thì xy=k. Điều này đồng nghĩa với việc khi x tăng, y giảm sao cho tích của họ vẫn luôn bằng k, và ngược lại.
Thay đổi định phần tử: Nếu bạn nhân hoặc chia một đại lượng trong một tỉ lệ nghịch với một hằng số, thì bạn phải thay đổi đại lượng còn lại một cách tương ứng để duy trì tích không đổi. Ví dụ, nếu xy=k, thì 2x và 0.5y cũng sẽ tỉ lệ nghịch với nhau, và tích của chúng vẫn là
k.
Kết hợp với tỉ lệ thuận: Đại lượng tỉ lệ nghịch có thể kết hợp với đại lượng tỉ lệ thuận trong một mối quan hệ phức tạp hơn.
Tính chất tỉ lệ nghịch thường được sử dụng để mô hình hóa nhiều hiện tượng thực tế, như tốc độ phản ứng hóa học, luồng khí qua một rỗ hấp thụ, hoặc quá trình truyền tải dữ liệu.
2. Các dạng toán thường gặp về đại lượng tỉ lệ nghịch
Dạng 1: Nhận biết hai đại lượng cho trước có tỉ lệ nghịch với nhau không
Cách giải: Ta dựa vào bảng giá trị để có thể nhận biết được 2 đại lượng có tỉ lệ nghịch với nhau không bằng cách ta tính các tỉ số x.y. Nếu giá trị cho cùng một kết quả giống nhau thì x, y tỉ lệ nghịch và ngược lại.
Ví dụ: Hãy xác định các đại lượng đã cho dưới đây có phải là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau hay không? Và hãy xác định hệ số tỉ lệ nếu chúng có tỉ lệ nghịch với nhau
a) Hình chữ nhật có chiều dài x và chiều rộng y và hình chữ nhật này có diện tích bằng a (với a là hằng số cho trước)
b) Trên cùng quãng đường S có 2 đại lượng là vận tốc v và thời gian t.
c) Diện tích S và bán kính R của hình tròn.
d) Năng suất lao động n và thời gian thực hiện t để có thể làm xong một công việc a.
Hướng dẫn giải:
a) Ta có như sau: x.y=a ( a là hằng số)
⇒x=a/y
Như vậy đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau theo hằng số tỉ lệ là a.
b) Công thức tính quãng đường được tính là S= v.t
=> v=S/t
Như vậy vận tốc v và thời gian t tỉ lệ nghịch với nhau theo hằng số tỉ lệ là S.
c) S=π.R2
=> S không tỷ lệ nghịch với R mà ngược lại tỉ lệ thuận với R2
d) n.t=a(với a là hằng số)
Như vậy năng suất lao động n tỉ lệ nghịch với thời gian t theo hằng số tỉ lệ a.
Dạng 2: Tính hệ số tỉ lệ, biểu diễn đại lượng x theo y, tìm x khi biết y hoặc tìm y khi biết x
Cách giải:
Ta có hệ số tỉ lệ nghịch là k = x.y. Sau khi tính được tỉ số k ta thực hiện thay vào biểu thức y = k/x hoặc x = k/y để tìm được mỗi quan hệ giữa x và y.
Sau khi đã biểu diễn mỗi quan hệ x và y thì ta dựa vào đó để tính y khi biết x. Và ngược lại để điền vào ô dữ liệu theo yêu cầu bài toán.
Dạng 3: Cho x và y là hai đại lượng là tỉ lệ nghịch với nhau. Hoàn thành bảng số liệu
Cách giải:
Hãy tính k và thực hiện biểu diễn x theo y (hoặc là y theo x)
Thay các giá trị tương ứng để hoàn thành bảng số liệu.
3. Bài tập về đại lượng tỉ lệ nghịch
Bài tập 1: Một bồn chứa nước đầy đủ có thể đổ ra một cái bồn khác thông qua một ống cống. Nếu thời gian để đổ bồn thứ nhất là 2 giờ, thời gian để đổ bồn thứ hai có thể giảm xuống còn 1 giờ bằng cách mở thêm một ống cống. Biểu thức nào mô tả mối quan hệ tỉ lệ nghịch giữa số ống cống mở và thời gian để đổ bồn thứ hai?
Bài tập 2: Một chiếc xe ô tô đang di chuyển với tốc độ cố định và thời gian để đi từ điểm A đến điểm B là 4 giờ. Nếu tốc độ của xe tăng gấp đôi, thời gian để đi cùng một khoảng cách sẽ là bao nhiêu? Biểu thức nào mô tả mối quan hệ tỉ lệ nghịch giữa tốc độ và thời gian?
Bài tập 3: Một nhóm công nhân có thể hoàn thành một công việc trong 10 ngày nếu làm việc 8 tiếng mỗi ngày. Biểu thức nào mô tả mối quan hệ tỉ lệ nghịch giữa số công nhân và số ngày cần để hoàn thành công việc nếu họ làm việc 8 tiếng mỗi ngày?
Bài tập 4: Một bếp điện tử có thể nấu một bữa ăn trong 30 phút nếu được thiết lập ở mức nhiệt độ cao. Nếu bạn giảm nhiệt độ xuống một nửa, thời gian để nấu bữa ăn sẽ là bao nhiêu? Biểu thức nào mô tả mối quan hệ tỉ lệ nghịch giữa nhiệt độ và thời gian nấu?
Bài tập 5: Một máy ép trái cây có thể ép 40 quả cam trong 10 phút. Biểu thức nào mô tả mối quan hệ tỉ lệ nghịch giữa số quả cam và thời gian cần để ép chúng?
Bài tập 6: Trong một hộp đựng một lượng cố định của một khí, áp suất của khí tăng lên khi thể tích giảm. Nếu bạn biết rằng khi thể tích giảm đi 30%, áp suất tăng lên 50%, hãy tính hằng số tỉ lệ và viết phương trình mô tả mối quan hệ tỉ lệ nghịch giữa áp suất (P) và thể tích (V).
Bài tập 72: Một xe điện cần thời gian để sạc đầy pin tỉ lệ nghịch với công suất của bộ sạc. Nếu việc sạc đầy pin mất 4 giờ khi sử dụng một bộ sạc công suất 30 W, thì thời gian cần để sạc đầy pin sẽ là bao lâu khi sử dụng một bộ sạc công suất 60 W? Hãy sử dụng mối quan hệ tỉ lệ nghịch giữa thời gian (t) và công suất (P) để giải quyết bài toán này.
Bài tập 8: Một đội xây dựng làm việc để xây dựng một tòa nhà. Nếu có 8 công nhân, công việc sẽ hoàn thành trong vòng 10 tuần. Hãy tính toán bao lâu mà công việc sẽ hoàn thành nếu có 12 công nhân làm việc cùng một lúc. Sử dụng mối quan hệ tỉ lệ nghịch giữa thời gian (t) và số lượng công nhân (n).
Bài tập 9: Nước tiêu thụ để tưới một khu vườn tỉ lệ nghịch với diện tích của khu vườn. Nếu một khu vườn cần 2000 lít nước để tưới mỗi tuần và có diện tích là 100 m², thì bao nhiêu nước cần để tưới một khu vườn có diện tích 150 m²? Sử dụng mối quan hệ tỉ lệ nghịch giữa lượng nước (N) và diện tích (A).
Bài tập 10: Tốc độ truyền dữ liệu qua một mạng internet tỉ lệ nghịch với độ dày của tường ngăn. Nếu bạn có tốc độ truyền dữ liệu là 10 Mbps khi không có tường ngăn và tốc độ giảm còn 5 Mbps khi có một tường ngăn, hãy tính độ dày của tường ngăn. Sử dụng mối quan hệ tỉ lệ nghịch giữa tốc độ truyền dữ liệu (V) và độ dày của tường ngăn (D).
Bài tập 11: Một ô tô đi với vận tốc 50 km/h với quãng đường từ A đến B và ngược lại từ B trở về A với vận tốc 45 km/h. Tổng thời gian cả đi lẫn về tính được là 6 giờ 20 phút. Hãy tính thời gian về ,thời gian đi và độ dài quãng đường AB.
Bài tập 12: Để có thể đặt một đoạn đường sắt ta phải dùng đến 480 thanh day có chiều dài là 8 m. Hỏi rằng nếu thay thanh day 8m bằng những thanh day dài 5 m thì cần bao nhiêu thanh day?
Quý khách có thể tham khảo thêm bài viết như sau: Đề thi cuối kì 1 Toán 7 Kết nối tri thức có đáp án năm 2023-2024
