Mục lục bài viết

1. Một số kiến thức lý thuyết về đa thức một biến

- Khái niệm về đa thức một biến: Đa thức một biến là tổng của các đơn thức một biến. Mỗi số được coi là một đa thức một biến.

- Bậc của đa thức một biến là số mũ lớn nhất của biến trong đa thức đó. 

- Trong một đa thức một biến đã thu gọn, hệ số của lũy thừa bậc 0 gọi là hệ số tự do, hệ số của lũy thừa bậc cao nhất gọi là hệ số cao nhất.

- Giá trị của đa thức f(x) tại x = a được kí hiệu là f(a) có được bằng cách thay x = a vào đa thức f(x) rồi thu gọn lại.

 

2. Hướng dẫn giải bài tập Toán lớp 7 về đa thức một biến

Câu 1. Mỗi số thực có phải một đa thức không? Tại sao?

Phương pháp giải: Một đơn thức cũng là một đa thức

Lời giải chi tiết: Vì một số thực là một đơn thức. Mà 1 đơn thức cũng là một đa thức nên mỗi số thực cũng là một đa thức.

Câu 2. Hãy liệt kê các hạng tử của đa thức B = 2x^{4} − 3x^{2} + x + 1.

Phương pháp giải: Đa thức là tổng của các đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức

Lời giải chi tiết: Các hạng tử của B là: 2x^{4}; -3x^{2}; x ; 1.

Câu 3. Thu gọn đa thức: P = 2x^{3} − 5x^{2} + 4x^{3} + 4x + 9 + x

Phương pháp giải: Cộng, trừ các đơn thức cùng bậc để thu được đa thức thu gọn không chứa hai đơn thức nào cùng bậc

Lời giải chi tiết: P = 2x^{3} − 5x^{2} + 4x^{3} + 4x + 9 + x = (2x^{3} + 4x^{3}) − 5x^{2} + (4x + x) + 9 = 6x^{3} − 5x^{2} + 5x + 9

Câu 4. Thu gọn ( nếu cần) và sắp xếp mỗi đa thức sau theo lũy thừa giảm dần của biến:

a) A = 3x − 4x^{4} + x^{3} ;

b) B = −2x^{3} − 5x^{2} + 2x^{3} + 4x + x^{2} − 5

c) C = x^{5} − \frac{1}{2}x^{3} + \frac{3}{4}x − x^{5} + 6x^{2} − 2

Phương pháp giải:

Bước 1: Đưa đa thức về dạng thu gọn

Bước 2: Sắp xếp các hạng tử của đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến

Lời giải chi tiết:

a) A = 3x − 4x^{4} + x^{3} = −4x^{4} + x^{3} + 3x

b ) B = −2x^{3} − 5x^{2} + 2x^{3} + 4x + x^{2} − 5 = ( −2x^{3} + 2x^{3} ) + ( −5x^{2} + x^{2} ) + 4x − 5 = 0 + (−4x^{2}) + 4x − 5 = − 4x^{2} + 4x − 5

c) C = x^{5} − \frac{1}{2}x^{3} + \frac{3}{4}x − x^{5} + 6x^{2} − 2 = (x^{5} − x^{5}) − \frac{1}{2}x^{3} + 6x^{2} + \frac{3}{4}x − 2 = − \frac{1}{2}x^{3} + 6x^{2} + \frac{3}{4}x − 2

Câu 5. Xét đa thức P = − 3x^{4} + 5x^{2} − 2x + 1. Đó là một đa thức thu gọn. Hãy quan sát các hạng tử ( các đơn thức) của đa thức P và trả lời các câu hỏi sau: Trong P, bậc của hạng tử 5x^{2} là 2 (số mũ của x^{2}). Hãy xác định bậc của các hạng tử trong P.

Phương pháp giải: Bậc của hạng tử là số mũ của lũy thừa của biến

Lời giải chi tiết: Bậc của hạng tử -3x^{4} là 4 (số mũ của x^{4});  Bậc của hạng tử -2x là 1 (số mũ của x);  Bậc của 1 là 0.

Câu 6. Xét đa thức P = − 3x^{4} + 5x^{2} − 2x + 1 . Đó là một đa thức thu gọn. Hãy quan sát các hạng tử ( các đơn thức) của đa thức P và trả lời các câu hỏi sau: Trong P, hạng tử nào có bậc cao nhất? Tìm hệ số và bậc của hạng tử đó.

Phương pháp giải: Tìm hạng tử có lũy thừa của biến có bậc cao nhất + Hệ số của hạng tử là số thực trong đơn thức đó + Bậc của hạng tử là số mũ của lũy thừa của biến

Lời giải chi tiết: Trong P, hạng tử -3x^{4} có bậc cao nhất. Hạng tử này có: Hệ số: -3; Bậc: 4

Câu 7. Xét đa thức P = −3x^{4} + 5x^{2} − 2x + 1 . Đó là một đa thức thu gọn. Hãy quan sát các hạng tử ( các đơn thức) của đa thức P và trả lời các câu hỏi sau: Trong P, hạng tử nào có bậc bằng 0?

Phương pháp giải: Bậc của hạng tử là số mũ của lũy thừa của biến. Hạng tử chỉ gồm số thực khác 0 có bậc là 0

Lời giải chi tiết: Trong P, hạng tử 1 có bậc bằng 0.

Câu 8. Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức sau:

a) 5x^{2} - 2x + 1 - 3x^{4};

b) 1,5x^{2} - 3,4x^{4} + 0,5x^{2} - 1.

Phương pháp giải:

Bước 1: Thu gọn đa thức

Bước 2: Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức

+ Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất

+ Hệ số cao nhất là hệ số của hạng tử có bậc cao nhất

+ Hệ số tự do là hệ số của hạng tử bậc 0.

Lời giải chi tiết:

a) 5x^{2} - 2x + 1 - 3x^{4} = -3x^{4} + 5x^{2} - 2x + 1

+ Bậc của đa thức là: 4

+ Hệ số cao nhất là: -3

+ Hệ số tự do là: 1

b) 1,5x^{2} - 3,4x^{4} + 0,5x^{2} - 1 = -3,4x^{4} + (1,5x^{2} + 0,5x^{2}) - 1 = -3,4x^{4} + 2x^{2} - 1

+ Bậc của đa thức là: 4

+ Hệ số cao nhất là: -3,4

+ Hệ số tự do là: -1

Câu 9. Xét đa thức G(x) = x^{2} – 4. Giá trị của biểu thức G(x) tại x = 3 còn gọi là giá trị của đa thức G(x) tại x = 3 và được kí hiệu là G(3). Như vậy, ta có: G(3) = 32 - 4 = 5.  Tính các giá trị G(-2); G(1); G(0); G(1); G(2).

Phương pháp giải: Thay từng giá trị của x vào đa thức x^{2} – 4

Lời giải chi tiết:

G(-2) = (-2)^{2} – 4 = 4 – 4 = 0;

G(1) = 1^{2} – 4 = 1 – 4 = -3;

G(0) = 0^{2} – 4 = 0 – 4 = -4;

G(1) = 1^{2} – 4 = 1 - 4 = -3;

G(2) = 2^{2} – 4 = 4 – 4 = 0

Câu 10. Tìm đa thức f(x) = ax + b biết f(0) = 1 và f(-2) = 14

Lời giải chi tiết:

f(0) = a.0 + b = b = 1 => b = 1

f(-2) = a.(-2) + b = 14, thay b = 1 ta có: a.(-2) + 1 = 14 => a = \frac{-13}{2}

Vậy đa thức cần tìm là: f(x) = \frac{-13}{2}x + 1

 

3. Một số bài tập trắc nghiệm Toán lớp 7 về đa thức một biến

Câu 1. Cho đa thức sau f(x) = 2x^{2} + 12x + 10. Trong các số sau, số nào là nghiệm của đa thức đã cho:

A. -9

B. 1

C. -1

D. -4

Câu 2. Cho đa thức sau f(x) = 2x^{2} + 5x + 2. Trong các số sau, số nào là nghiệm của đa thức đã cho:

A. 2

B. 1

C. -1

D. -2

Câu 3. Cho các giá trị của x là 0; -1; 1; 2; -2. Giá trị nào của x là nghiệm của đa thức P(x) = x^{2} + x - 2

A. x = 1; x = -2

B. x = 0; x = -1; x = -2

C. x = 1; x = 2

D. x = 1; x = -2; x = 2

Câu 4. Cho các giá trị của x là 0; -1; 1; \frac{-7}{3}. Giá trị nào của x là nghiệm của đa thức P(x) = 3x^{2} - 10x + 7 

A. x = 1

B. x = 0

C. x = 1; x = -1

D. x = 1; x = \frac{-7}{3}

Câu 5. Tập nghiệm của đa thức f(x) = (x + 14)(x - 4) là:

A. {4;14}

B. {-4;14}

C. {-4; -14}

D. {4; -14}

Câu 6. Cho đa thức sau: f(x) = x^{2} + 5x - 6. Các nghiệm của đa thức đã cho:

A. 2 và 3

B. 1 và -6

C. -3 và -6

D. -3 và 8

Câu 7. Cho đa thức sau: f(x) = x^{2} - 10x + 9. Các nghiệm của đa thức đã cho:

A. 4 và 6

B. 1 và 9

C. -3 và -7

D. 2 và 8

Câu 8. Tổng các nghiệm của đa thức x^{2} - 16 là:

A. -16

B. 8

C. 4

D. 0

Câu 9. Hiệu giữa nghiệm lớn và nghiệm nhỏ của đa thức 2x^{2} - 18 là:

A. 6

B. 18

C. -6

D. 0

Câu 10. Số nghiệm của đa thức x^{3} + 27

A. 1

B. 2

C. 0

D. 3

Đáp án:

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Đáp án C D A A D B B D A A

=> Ngoài ra, quý bạn đọc có thể tham khảo thêm bài viết Các dạng toán nâng cao lớp 7 có đáp án mới nhất năm 2024.