Bài tập về Nghiệm của đa thức một biến

1. Lý thuyết về nghiệm đa thức của một biến

Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Kiểm tra xem x=a có là nghiệm của đa thức P(x) hay không?

Phương pháp: Ta tính P (a) , nếu P (a) = 0 thì x = a là nghiệm của đa thức P (x).

Dạng 2: Tìm nghiệm của đa thức

Phương pháp: Để tìm nghiệm của đa thức P (x), ta tìm giá trị của x sao cho P (x) = 0.

Dạng 3: Chứng minh đa thức không có nghiệm

Phương pháp: Để chứng minh đa thức P (x) không có nghiệm, ta chứng minh P (x) nhận giá trị khác 0 tại mọi giá trị của x .

Phương pháp giải

Xác định một số có là nghiệm của đa thức hay không

Để xác định a có là một nghiệm của đa thức P(x) hay không, ta tính P(a):

- Nếu P(a) = 0 thì a là nghiệm của P(x)

- Nếu P(a) ≠ 0 thì a không là nghiệm của P(x)

Ví dụ 1: Kiểm tra xem -1; 1; 2; -2 có phải là các nghiệm của đa thức

P(x) = x³−x²−4x+4 hay không.

Hướng dẫn:

Ta có: P(-1) = (−1)³−(−1)²−4.(−1)+4 = 6 ≠ 0

P(1) = 1³−1²−4.1+4 = 0

P(2) = 2³−2²−4.2+4 = 0

P(-2) = (−2)³−(−2)²−4.(−2)+4 = 0

Vậy các số 1; 2; -2 là nghiệm của P(x) còn -1 không là nghiệm của P(x)

Tìm nghiệm của đa thức cho trước

Để tìm nghiệm của đa thức P(x), ta cần tìm giá trị của x sao cho P(x) = 0.

Chú ý đa thức bậc n có không quá n nghiệm

Để chứng tỏ đa thức P(x) không có nghiệm, ta chứng minh P(x) nhận giá trị khác 0 với mọi giá trị của x.

Ví dụ 2: Tìm nghiệm của mỗi đa thức sau:

a) P(x) = 3x + 1

b) Q(x) = x²−x

c) R(x) = x²−5

Hướng dẫn:

a) Xét P(x) = 0

⇒ 3x + 1 = 0 ⇔x=−1/3

Vậy P(x) có một nghiệm là x=−1/3

b) Xét Q(x) = 0

⇒x²−x=0⇔x(x−2)=0⇔x = 0 hoặc x = 1

Vậy Q(x) có hai nghiệm là 0 và 1.

c) Xét R(x) = 0

⇒x²−5=0⇔x=5–√ hoặc x=−5–√

Vậy R(x) có 2 nghiệm là 5–√ và -5–√

Xác định đa thức thỏa mãn điều kiện cho trước

Đa thức bậc nhất có dạng ax + b (a ≠ 0)

Đa thức bậc hai có dạng ax²+bx+c (a ≠ 0)

Đa thức bậc n có dạng aⁿxⁿ+a_{n - 1} x^n-1+...+a1x+a0 (a ≠ 0)

Để xác định đa thức ta cần phải xác định được các hệ số của đa thức.

Ví dụ 3: Xác định đa thức bậc nhất P(x), biết P(1) = 1; P(0) = -1.

Hướng dẫn:

Đa thức bậc nhất P(x) có dạng P(x) = ax + b (a ≠ 0)

Có: P(0) = a.0 + b = b = -1

P(1) = a + b = 1. Mà b = -1 nên a = 2

Vậy đa thức cần tìm là P(x) = 2x - 1

2. Một số bài tập về nghiệm của đa thức một biến

Bài tập về xác định một số có là nghiệm của đa thức hay không

1. Cho đa thức Q(x) = x⁵+2x⁴+2x³−2x²−x⁵−x⁴+x²−5

Số 1 có là nghiệm của Q(x) hay không?

2. Chứng minh rằng: Nếu x0 là một nghiệm của P(x) = ax + b (a và b đều khác 0) thì 1/x0 là một nghiệm của Q(x) = bx + a.

3. Chứng minh rằng: Nếu x1, x2 là hai nghiệm khác nhau của đa thức P(x) = ax²+bx+c (a ≠0) thì P(x) = a(x-x1)(x-x2)

4. Xét đa thức P(x) = ax²+bx+c. Chứng minh rằng:

a) Nếu a + b + c = 0 thì x = 1 là một nghiệm của P(x)

b) Nếu a - b + c = 0 thì x = -1 là một nghiệm của P(x)

Áp dụng: Hãy tìm một nghiệm của các đa thức sau:

A(x) = (5–√−1)x²−5–√x+1

B(x) = (1+3–√)x²+x−3–√

Bài giải:

1. Q(x) = x⁵+2x⁴+2x³−2x²−x_⁵−x⁴+x−5

Ta có: Q(1) = 1⁵+2.1⁴+2.1³−2.1²−1⁵−1⁴+1²−5 = -3 ≠ 0

Do đó 1 không là nghiệm của Q(x)

2. x0 là một nghiệm của P(x) = ax + b (a và b đều khác 0)

nên ax0 + b = 0 ⇔b/x0 + a=0

Xét Q(x) = bx + a

Q(1/x0)=b/x0+a=0

Do đó 1/x0 là một nghiệm của Q(x)

3. Vì x1, x2 là hai nghiệm khác nhau của đa thức P(x) = ax²+bx+c (a ≠0) nên ta có:

P(x1) = ax_1²+bx₁+c=0⇒bx₁=−ax_1²−c (1)

P(x2) = ax₂²+bx₂+c=0⇒bx₂=−ax₂²−c (2)

Trừ từng vế của (1) cho (2) ta được:

b(x1−x2)=−a(x₁²−x₂²)⇒b=−a(x1+x2) (3)

Thay (3) vào (1) ta được:

c=−ax21−bx1=−ax21+a(x1+x2)x1=ax1x2 (4)

Từ (3) và (4) suy ra

P(x) = ax2+bx+c=ax2−a(x1+x2)x+ax1x2

= a(x2−xx1−xx2+x1x2)

= a(x−x1)(x−x2

) 4. Xét đa thức P(x) = ax^{2}+bx+c.

a) P(1) = a + b + c = 0 (theo đề bài).

Do đó 1 là một nghiệm của đa thức.

b) P(-1) = a - b + c = 0 (theo đề bài) D

o đó -1 là một nghiệm của đa thức.

Áp dụng:

A(x) = (5–√−1)x2−5–√x+1

Đa thức A(x) có: a + b + c = (5–√−1)−5–√+1=0

nên A(x) có một nghiệm là 1

B(x) = (1+3–√)x2+x−3–√ Đa thức B(x) có: a - b + c = (1+3–√)−1−3–√ = 0

nên B(x) có một nghiệm là -1.

3. Một số bài tập trong sách giáo khoa

Bài 43 trang 26 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Cho đa thức f(x) = x² – 4x – 5. Chứng tỏ rằng x = -1; x = 5 là hai nghiệm của đa thức đó.

Lời giải: Thay x = -1; x = 5 vào đa thức f(x) = x² – 4x – 5, ta có:

f(-1) = (-1)² – 4.(-1) – 5 = 1 + 4 – 5 = 0

f(5) = 5² – 4.5 – 5 = 25 – 20 – 5 = 0

Vậy x = -1 và x = 5 là các nghiệm của đa thức f(x) = x² – 4x – 5

Bài 44 trang 26 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Tìm nghiệm của các đa thức sau:

a. 2x + 10

b. 3x – 1/2

c. x² – x

Lời giải:

a. Ta có: 2x + 10 = 0 ⇔ 2x = -10 ⇔ x = -10 : 2 ⇔ x = -5

Vậy x = -5 là nghiệm của đa thức 2x + 10

b. Ta có: 3x – 1/2 = 0 ⇔ 3x = 1/2 ⇔ x = 1/2 : 3 = 1/6

Vậy x = 1/6 là nghiệm của đa thức 3x – 1/2

c. Ta có: x² – x = 0 ⇔ x(x – 1) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x – 1 =

0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1

Vậy x = 0 và x = 1 là các nghiệm của đa thức x2 – x

Bài 45 trang 26 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Tìm nghiệm của các đa thức sau:

a. (x – 2)(x + 2)

b. (x – 1)(x² + 1)

Lời giải:

a. Ta có: (x – 2)(x + 2) = 0 ⇔ x – 2 = 0 hoặc x + 2 = 0

x – 2 = 0 ⇔ x = 2

x + 2 = 0 ⇔ x = -2

Vậy x = 2 và x = -2 là các nghiệm của đa thức (x – 2)(x + 2)

b. Ta có: (x – 1)(x² + 1) = 0

Vì x² ≥ 0 với mọi giá trị của x ∈ R nên:

x² + 1 > 0 với mọi x ∈ R

Suy ra: (x – 1)(x² + 1) = 0 ⇔ x – 1 = 0 ⇔ x = 1

Vậy x = 1 là nghiệm của đa thức (x – 1)(x² + 1)

Bài 46 trang 26 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Chứng tỏ rằng nếu a + b + c = 0 thì x = 1 là một nghiệm của đa thức ax2 + bx + c.

Lời giải:

Thay x = 1 vào đa thức ax² + bx + c, ta có:

a.1² + b.1 + c = a + b + c

Vì a + b + c = 0 nên a.1² + b.1 + c = a + b + c = 0

Vậy x = 1 là nghiệm của đa thức ax2 + bx + c khi a + b + c = 0

Bài 47 trang 27 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Chứng tỏ rằng nếu a – b + c = 0 thì x = -1 là một nghiệm của đa thức ax² + bx + c

Lời giải:

Thay x = -1 vào đa thức ax² + bx + c, ta có:

a.(-1)² + b.(-1) + c = a – b + c Vì a – b + c = 0 ⇒ a.(-1)2 + b.(-1) + c = a – b + c = 0

Vậy x = -1 là nghiệm của đa thức ax2 + bx + c khi a – b + c = 0

Bài 48 trang 27 sách bài tập Toán 7 Tập 2: Tìm một nghiệm của đa thức f(x) biết:

a. f(x) = x² – 5x + 4

b. f(x) = 2x²+ 3x + 1

Lời giải:

a. Đa thức f(x) = x² – 5x + 4 có hệ số a = 1, b = -5, c = 4

Ta có: a + b + c = 1 + (-5) + 4 = 1 – 5 + 4 = 0

Theo bài 46, vì a – b + c = 0 nên đa thức f(x) = x² – 5x + 4 có nghiệm x = 1

b. Đa thức f(x) = 2x² + 3x + 1 có hệ số a = 2, b = 3, c = 1

Ta có: a – b + c = 2 – 3 + 1 = 0

Theo bài 47, vì a – b + c = 0 nên đa thức f(x) = 2x² + 3x + 1 có nghiệm x=-1 

Xem thêm: Toán lớp 7 bài 20: Tỉ lệ thức