Mục lục bài viết

1. Đề thi giữa học kỳ 2 môn Toán lớp 9 có đáp án năm học 2022 - 2023 đề số 1

1.1 Đề số 1

Bài 1: (2 điểm) Cho biểu thức : \small P = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} + \frac{3}{\sqrt{x}+1} + \frac{6\sqrt{x}-4}{1-x} với x >= 0; x khác 1

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị của x để P = -1

c) So sánh P với 1

Bài 2: (2 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Một xe khách và một xe du lịch khởi hành đông thời từ A đến B. Biết vận tốc của xe du lịch lớn hơn vận tốc của xe khách là 20 km/h. Do đó nó đến B trước xe khách 50 phút. Tính vận tốc của mỗi xe, biết quãng đường AB dài 100 km.

Bài 3: (2 điểm) Cho hàm số y = ax2 với a khác 0 có đồ thị là parabol (P)

a) Xác định a để parabol (P) đi qua điểm A(-1;1)

b) Vẽ đồ thị hàm số y = ax2 với a vừa tìm được ở câu trên

c) Cho đường thẳng (d): y = 2x + 3. Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) với hệ số a tìm được ở câu a.

d) Tính diện tích tam giác AOB với A,B là giao điểm của (d) và (P)

Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường thẳng d và đường tròn (O;R) không có điểm chung. Kẻ OH vuông góc với đường thẳng d tại H. Lấy điểm M bất kỳ thuộc d. Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (O;R). Nối AB cắt OH, OM lần lượt tại K và I.

a) Chứng minh 5 điểm M, H, A, O, B cùng thuộc một đường tròn

b) Chứng minh OK.OH = OI.OM

c) Chứng minh khi M di chuyển trên d thì đường thẳng AB đi qua một điểm cố định

d) Tìm vị trí của M để diện tích tam giác OIK đạt giá trị lớn nhất

Bài 5: (0,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \small A = \frac{x+3\sqrt{x-2}}{x+4\sqrt{x-2}+1}

 

1.2 Đáp án đề số 1

Bài 1 (2 điểm) Hướng dẫn

a) \small P = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{3}{\sqrt{x}+1}+\frac{6\sqrt{x}-4}{1-x} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}+\frac{3(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}- \frac{6\sqrt{x}-4}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)+3(\sqrt{x}-1)-6\sqrt{x}+4}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}=\frac{(\sqrt{x}-1)^2}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} = \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}

b) \small P = -1 \Leftrightarrow \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}=-1\Leftrightarrow \sqrt{x}-1=-\sqrt{x}-1\Leftrightarrow \sqrt{x}=0\Leftrightarrow x=0

x = 0 thỏa mãn điều kiện

c) Ta có \small P = \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}=1-\frac{2}{\sqrt{x}+1}< 0 với mọi x>=0, x khác 1

Bài 2: (2 điểm) Hướng dẫn

Đổi 50 phút = 5/6 giờ

Gọi vận tốc của xe khách và xe du lịch lần lượt là a, y (km/h) (x,y >0)

Thời gian xe khách đi hết quãng đường AB là 100/x giờ

Thời gian xe du lịch đi hết quãng đường AB là 100/y giờ

Theo đề bài ta có:

\small \left\{\begin{matrix} y-x = 20 & & \\ \frac{100}{x}-\frac{100}{y}=\frac{5}{6}& & \end{matrix}\right.

 \small \left\{\begin{matrix} y-x = 20 & & \\ 100.\frac{y-x}{xy}=\frac{5}{6}& & \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y-x = 20 & & \\ xy = 2400& & \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.

\small \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y = x+20 & & \\ x(x+20)=2400 & & \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=x+20 & & \\ (x-40)(x-60)=0& & \end{matrix}\right. \end{matrix}\right.

\small \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = 40 (TM), x = -60 (KTM)& & \\ y = 6& & \end{matrix}\right.

Vậy vận tốc của xe khách và xe du lịch lần lượt là 40 km/h và 60km/h

Bài 3: (2 điểm) Hướng dẫn

a) Vì parabol (P) đi qua điểm A(-1;1) nên thay x = -1, y = 1 vào (P): y = ax2, ta được: 1 = (-1)2.a => a = 1.

b) Với a = 1, suy ra hàm số có dạng y = x2 

Đề thi giữa học kì 2 môn Toán lớp 9 có đáp án năm 2022 - 2023

c) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

x2 = 2x + 3 <=> (x + 1)(x - 3) = 0 

=> x = -1, y = 1 hoặc x = 3, y = 9

Vậy tọa độ giao điểm của (P) và (d) là (-1;1), (3;9)

d)

Đề thi giữa học kì 2 môn Toán lớp 9 có đáp án năm 2022 - 2023

Ta có SOAB = SOBF + SFOA = 1/2.FO.DB + 1/2.FO.AE = 1/2.3.3 + 1/2.3.1 = 6 (dvdt)

Bài 4: (3,5 điểm) Hướng dẫn

Đề thi giữa học kì 2 môn Toán lớp 9 có đáp án năm 2022 - 2023

a) Ta có 5 điểm M, H, A, O, B cùng thuộc đường tròn đường kính OM

b) Vì MA, MB là hai tiếp tuyến cắt nhau nên OM vuông góc AB tại I

Suy ra tứ giác MIKH nội tiếp

Do đó \small \bigtriangleup OIK \sim \bigtriangleup OHM (g-g)

Vậy OK.OH = OI.OM

c) Ta có OK.OH = OI.OM <=> OK = (OI.OM)/OH = R2 /OH (do tam giác OBM vuông tại B, đường cao BI)

Vì OH cố định nên OK cố định.

Vậy K cố định hay khi M di chuyển trên d thì đường thẳng AB đi qua một điểm cố định.

d) Tìm vị trí của M để diện tích tam giác OIK đạt giá trị lớn nhất

Ta có \small S_{\Delta OIK} = \frac{1}{2}.OI.OK \leq \frac{1}{2}.\frac{OI^2 + IK^2}{2}=\frac{1}{4}.OK^2

Do OK cố định nên diện tích tam giác IOK đạt giá trị lớn nhất là 1/4.OK2, xảy ra khi OI = OK.

Khi đó tam giác OIK vuông cân tại I. Suy ra góc KOI = 45°, do đó tam giác OHM vuông cân tại H => MH = MO. Vậy điểm M thuộc đường thẳng d và thỏa mãn MH = MO thì diện tích tam giác OIK lớn nhất.

Bài 5 (0,5 điểm) Hướng dẫn

Đặt: \small \sqrt{x-2}=t \geq 0, \forall x \Rightarrow x-2= t^2 \Rightarrow x = t^2 + 2. Thay vào A ta được:

\small A = \frac{t^2+3t+2}{t^2+4t+3}=\frac{(t+1)(t+2)}{(t+1)(t+3)}=\frac{t+2}{t+3}=1-\frac{1}{t+3}\geq 1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}

Dấu "=" xảy ra khi t = 0 <=> x = 2. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2/3, xảy ra khi x = 2.

 

2. Đề thi giữa học kỳ 2 môn Toán lớp 9 có đáp án năm học 2022-2023 đề số 2

2.1 Đề số 2

Bài 1 (2 điểm) Cho hai biểu thức \small A = \frac{1}{\sqrt{x}-3} + \frac{\sqrt{x}+11}{x-9}, B = \frac{\sqrt{x}-3}{2} với x>=0, x khác 9. Tính giá trị của biểu thức B khi x = 9/16

1) Rút gọn biểu thức M = A.B

2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M

Bài 2 (2 điểm) Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 12 giờ sẽ đầy bể. Nếu mở vòi I chảy trong 4 giờ rồi khóa lại và mở tiếp vòi II chảy trong 3 giờ thì được 3/10 bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu sẽ đầy bể?

Bài 3 (2 điểm) 

1) Cho hệ phương trình: \small \left\{\begin{matrix} x + my = 2 & & \\ 2x + 4y = 3& & \end{matrix}\right.

a) Giải hệ phương trình khi m = 3.

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn điều kiện x và y là hai số đối nhau

2) Cho hàm số y = - x2 có đồ thị là Parabol (P) và hàm số y = x - 2 có đồ thị là đường thẳng (d). Gọi A và B là giao điểm của (d) và (P). Tính diện tích tam giác OAB.

Bài 4 (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB và K là điểm chính giữa cung AB. Trên cung KB lấy một điểm M (khác K, B). Trên tia AM lấy điểm N sao cho AN = BM. Kẻ dây BP // KM. Gọi Q là giao điểm của các đường thẳng AP và BM; E là giao điểm của PB và AM.

1) Chứng minh rằng: Tứ giác PQME nội tiếp đường tròn

2) Chứng minh: Tam giác AKN = Tam giác BKM

3) Chứng minh: AM.BE = AN.AQ

4) Gọi R, S lần lượt là giao điểm thứ hai của QA, QB với đường tròn ngoại tiếp tam giác OMP. Chứng minh ràng khi M di động trên cung KB thì trung điểm I của RS luôn nằm trên một đường cố định.

Bài 5 (0,5 điểm) Cho x > 0, tìm Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2 + 3x + 1/x

 

2.2 Đáp án đề số 2

Bài 1 (2 điểm) Hướng dẫn

1) Thay thỏa mãn điều kiện vào B ta được: \small B = \frac{\sqrt{\frac{9}{16}}-3}{2} = \frac{\frac{3}{4}-3}{2}=\frac{\frac{3-12}{4}}{2}= \frac{-9}{8}

2) Ta có:

\small M = AB = (\frac{1}{\sqrt{x}-3}+ \frac{\sqrt{x}+11}{x-9}).\frac{\sqrt{x}-3}{2} = (\frac{\sqrt{x}+3}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}+\frac{\sqrt{x}+11}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)} ).\frac{\sqrt{x}-3}{2} = \frac{2\sqrt{x}+14}{(\sqrt{x}+3).2}=\frac{\sqrt{x}+7}{\sqrt{x}+3}

3) \small M = \frac{\sqrt{x}+7}{\sqrt{x}+3}= 1 + \frac{4}{\sqrt{x}+3}

Vì căn x >= 0 nên \small \sqrt{x} + 3\geq 3 \Rightarrow \frac{4}{\sqrt{x}+3}\leq \frac{4}{3} \Leftrightarrow 1+ \frac{4}{\sqrt{x}+3}

M <=1 + 4/3 = 7/3

Vậy MaxM = 7/3 khi và chỉ khi x = 0

Bài 2 ( 2 điểm)

Gọi x và y là thời gian vòi I và vòi II chảy một mình đầy bể là (x, y > 12), 

Giờ 1 vòi I chảy được: 1/x (bể), 1 giờ vòi II chảy được: 1/y (bể), 1 giờ cả hai vòi chảy được: 1/12 (bể).

Theo đề bài ta có phương trình: 1/x + 1/y = 1/12 (1)

4 giờ vòi I chảy được 4/x (bể); 3 giờ vòi II chảy được 3/y (bể) nên ta có:

4/x + 3/y = 3/10 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình.

Cộng (1) + (2) ta được: 1/x = -1/4 + 3/10 = 1/20 nên 1/y = 1/12 - 1/20 = 1/30 nên x = 20, y = 30

Vậy vòi I chảy một mình đầy bể là 20 (giờ), vòi II chảy một đầy bể là 30 (giờ)

Bài 3 (2 điểm) Hướng dẫn

a) Thay m = 3 vào hệ phương trình ta được

x + 3y = 2    <=> -2x - 6y = -4   <=>  -2x = -1

2x + 4y =3           2x + 4y = 3             x + 3y =2

<=> x = 1/2 và y = 1/2

Nên hệ có nghiệm (1, 2)

b) \small \left\{\begin{matrix} x+my=2 & & \\ 2x+4y=3 & & \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x+2my=4 & & \\ 2x+4y=3& & \end{matrix}\right. \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (2m-4)y=1 & & \\ x+my = 2 & & \end{matrix}\right.

Để hệ có nghiệm duy nhất thì 2m - 4 khác 0 tương đương m khác 2 (1) khi đó hệ phương tình có nghiệm

y = 1/(2m - 4), x = 2 - m/(2m - 4) => (2m - 4)y = 1, x + my = 2

x và y là hai số đối nhau nên y = 1/(2m - 4) và x = 2 - m / (2m - 4)

x = (3m - 8)/(2m - 4) và y = 1/(2m -4)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: m = 7/3

2) Phương trình hoành độ giao điểm (P) và (d)

Đề thi giữa học kì 2 môn Toán lớp 9 có đáp án năm 2022 - 2023

-x2 = x - 2 => x2 + x - 2 = 0 => x1 = 1, y1 = -1 hoặc x2 = -2, y2 = -4 (do a + b + c = 0)

Nên A (-2; -4), B(1; -1)

Gọi C giao điểm của (d) và trục Oy, ta có C(0; 2)

SAOB = SOBC + SAOC = BH.OC/2 + AK.OC/2 = |xB|.|-2|/2

SAOB = 1.2/2 + 2.2/2 = 3 (dvdt)

Bài 4 (3,5 điểm) Hướng dẫn

Đề thi giữa học kì 2 môn Toán lớp 9 có đáp án năm 2022 - 2023

1) Xét (O), đường kính AB có:

Góc APB = 90°, góc AMB = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Nên góc QPB = 90 °, góc QME = 90° (kề bù)

Suy ra: Góc QPE + góc QME = 180 ° nên tứ giác PQME nội tiếp đường tròn

2) K là điểm chính giữa cung AB nên sđ KA = sđ KB => KA = KB (liên hệ giữa cung và dây)

Xét tam giác AKN và BKM ta có:

AK = KB ( chứng minh trên);

Góc KAN = KBM (chắn cung KM);

AN = BM (gt)

Nên tam giác AKN = tam giác BKM

3) Tam giác AMQ đồng dạng tam giác BME (góc - góc)

Suy ra: AM/BM = AQ/EB

mà AN = BM (gt) nên AM.BE = AN.AQ

4) Tam giác OPM vuông cân tại O nên sđ PM = 90°, tam giác PQB vuông cân nên góc Q bằng 45°

Mà góc OSB = OPM = 45° => Góc Q = OSB = 45° => SO//AR (1)

ta có: Góc QRS = SMP (tứ giác PRSM nội tiếp)

=> Góc QRS = QAB => RS // AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra: Tứ giác ARSO là hình bình hành.

Lấy điểm I, C, D lần lượt là trung điểm RS, AO và OB như vậy C, D là các điểm cố định.

Chứng minh dễ dàng các tứ giác ARIC, BSID là các hình bình hành 

=> Góc AQB = CID = 45° I luôn nhìn CD cố định dưới góc 45° => I nằm trên cung chứa góc 45 độ vẽ trên đoạn CD cố định. Vậy điểm I nằm trên cung tròn cố định (đpcm)

Bài 5 (0,5 điểm) Hướng dẫn

Ta có: A = x2 + 3x = 1/x = (x2 - x + 1/4) + (4x + 1/x) - 1/4 = (x - 1/2)2 + (4x + 1/x) - 1/4

Ta thấy: (x - 1/2)2 >= 0, dấu "=" xảy ra khi x = 1/2

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho hai số dương: 4x + 1/x >= 4

Dấu "=" xảy ra khi 4x = 1/x <=> x = 1/2 nên A >= 15/4 dấu "=" xảy ra khi x = 1/2

Vậy Min y = 15/4 khi x = 1/22

Trên đây là 2 mẫu đề thi giữa học kỳ 2 môn Toán lớp 9 được Luật Minh Khuê chia sẻ chi tiết có đáp án cụ thể. Hy vọng đây là tài liệu hữu ích cho các em ôn tập, rèn luyện chuẩn bị tốt cho kì thi giữa học kỳ 2 lớp 9 sắp tới. Xem thêm: Đề cương ôn tập học kì 2 môn Toán lớp 9 mới nhất. Chúc các em ôn thi tốt nhé!