Mục lục bài viết

1. Đề thi học kì 2 môn Toán 9

Bài 1 (1,5 điểm): Cho đường thẳng (d): y = x + m và parabol (P): y = x^{2}

a, Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về cùng một phía với trục tung. Khi đó hai giao điểm nằm bên phải hay bên trái trục tung?

b, Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A và B sao cho khoảng cách giữa 2 hoành độ của điểm A và B bằng 3\sqrt 2

Bài 2 (2,0 đ)

a) Giải phương trình  2x^2-5 x+3=0

b) Giải hệ phương trình  \left\{\begin{array}{l}x+2y=-3 \\ 3 x- y=5\end{array}\right.

Bài 3 (2,5 d) Cho phương trình: \mathrm{x}^2-\mathrm{mx}-4=0 \quad (m là tham số) (1)

a) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt  x1,x2 với mọi giá trị của m

b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1,x2  thỏa mãn điều kiện:  

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa   không phụ thuộc giá trị của m

Bài 4 (4,0đ)

Từ một điểm M ở bên ngoài đường tròn (O ; 6cm); kẻ hai tiếp tuyến MN; MP với đường tròn (\mathrm{N} ; \mathrm{P} \in(\mathrm{O}) )  và cát tuyến MAB của (O) sao cho AB = 6 cm.

a) Chứng minh: OPMN là tứ giác nội tiếp

b) Tính độ dài đoạn thẳng MN biết MO = 10 cm

c) Gọi H là trung điểm đoạn thẳng AB. So sánh góc \widehat{M O N} với góc  \widehat{M H N}

d) Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung nhỏ AB và dây AB của hình tròn tâm O đã cho.

 

2. Đáp án Đề thi học kì 2 môn Toán 9

Bài 1:
a, Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là:
x^{2} = x + m ⇔ x^{2} - x - m = 0(1)
Có \Delta = b^{2} - 4ac
Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt x1, x2 khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  ⇔ \Delta > 0 ⇔ 1 + 4m > 0 ⇔  m > \frac{{ - 1}}{4}
Với m > \frac{{ - 1}}{4}  thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức Vi-ét
\left\{ \begin{array}{l} S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = 1\\ P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = - m \end{array} \right.
Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về cùng một phía với trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu ⇔ P > 0 ⇔ - m > 0 ⇔ m < 0 kết hợp với điều kiện  m > \frac{{ - 1}}{4} \Rightarrow - \frac{1}{4} < m < 0 
Có S = 1 > 0 nên hai nghiệm của phương trình (1) là hai nghiệm cùng dấu dương
Vậy với \frac{{ - 1}}{4} < m < 0  thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt cùng nằm về bên phải trục tung
b, Với m > \frac{{ - 1}}{4}   thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A(x1; y1) và B(x2; y2) thỏa mãn Vi-ét:
\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 1\\P = {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = - m\end{array} \right.
Khoảng cách giữa hai điểm bằng  3\sqrt 2 \Rightarrow \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 3\sqrt 2 \Rightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 36
\begin{array}{l} \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2} = 36\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2} = 36\\ \Leftrightarrow {1^2} + 3m = 36 \Leftrightarrow m = \frac{{35}}{3}\left( {tm} \right) \end{array}
Vậy với m = \frac{{35}}{3}  thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm A và B mà khoảng cách giữa chúng bằng  3\sqrt 2
Bài 2: 
Phương pháp giải:
a) Giải phương trình bằng phương pháp đưa về dạng tích A . B = 0
b) Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.
Giải chi tiết:
Giải chi tiết:
a) Ta có: 2x^{2}− 5x − 3 = 0 ⇔ (x−3) (2x+1) = 0 ⇔ x = 3 hoặc x = \frac{-1}{2}
b)  x = 1 và y = -2
Bài 3:
a) Áp dụng định lý Vi - ét => Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
b) Không tìm được m
c) Hệ thức không phụ thuộc vào giá trị của m
x1 . x2 = -4
Bài 4:
a) Xét từ giác OPMN có góc OPM + góc ONM bằng 180 độ nên OPMN là tứ giác nội tiếp
b) MN = 8 cm
c. H là trung điểm AB ⇒ OH⊥AB(c)
Từ (a), (c) ⇒ Tứ giác MNOH nội tiếp được một đường tròn.
Vậy : góc MNH bằng góc MON (cùng chắn cung MN).
d) Diện tích của hình viên khoảng 3,26 cm2
 

3. Bài tập luyện tập Toán 9 học kì 2

Bài 1: Cho parabol (P): y = - 2x^{2}và đường thẳng (d): y = 3x + m – 1. Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm nằm bên trái trục tung.
Hướng dẫn:
Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm bên trái trục tung ⇒ Hai điểm có hoành độ mang dấu âm.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) là:
-2x^{2}= 3x + m - 1 ⇔ 2x^{2} + 3x + m - 1 = 0(1)
Có ∆ = b^{2} - 4ac = 9 - 4.2.(m - 1) = 9 - 8m + 8 = 17 - 8m
Để (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về bên trái trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm âm phân biệt
Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0 ⇔ 17 - 8m > 0 ⇔  m < \frac{{17}}{8}
Với m < \frac{{17}}{8} , phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn Vi-ét
\left\{ \begin{array}{l} S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{{ - 3}}{2}\\ P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{m - 1}}{2} \end{array} \right.
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} S < 0\\ P > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{ - 3}}{2} < 0\\ \frac{{m - 1}}{2} > 0 \end{array} \right. \Rightarrow m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > 1
kết hợp với điều kiện  m < \frac{{17}}{8} \Rightarrow 1 < m < \frac{{17}}{8}
Vậy với 1 < m < \frac{{17}}{8}  thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm về bên trái của trục tung
Bài 2: Cho parabol (P): y = x^{2} và đường thẳng (d) có phương trình y = 2x - m^{2} + 9. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung.
Hướng dẫn:
Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung ⇒ Hai điểm có hoành độ trái dấu.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) là:
x^{2} = 2x - m^{2} + 9 ⇔ x^{2} - 2x + m^{2} - 9 = 0 (1)
Để (d) cắt (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu
⇔ m^{2} - 9 < 0 ⇔ (m - 3)(m + 3) < 0
<=> -3 < m < 3
Vậy với -3 < m < 3 thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung
Bài 3: Cho parabol (P): y = - \frac{1}{2}{x^2} và đường thẳng (d): y = mx - 1. Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm có hoành độ x1, x2 thỏa mãn  x_1^3{x_2} + x_2^3{x_1} - 5{x_1}{x_2} = 0
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d):
\frac{{ - 1}}{2}{x^2} = mx - 1 \Leftrightarrow {x^2} + 2mx - 2 = 0(1) (1)
Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
Có ∆ = b'^{2} - ac = m^{2} + 2 > 0 với mọi m
Vậy với mọi m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức Vi-ét:
\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = - 2m\\ {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = - 2 \end{array} \right.
Có  x_1^3{x_2} + x_2^3{x_1} - 5{x_1}{x_2} = 0
\begin{array}{l} \Leftrightarrow x_1^3x_2^3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 5{x_1}{x_2} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( { - 2} \right)^3}.\left( { - 2m} \right) + 5.2 = 0\\ \Leftrightarrow 16m + 10 = 0\\ \Leftrightarrow m = \frac{{ - 5}}{8}\left( {tm} \right) \end{array}
Vậy với m = \frac{{ - 5}}{8}  thì đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn  x_1^3{x_2} + x_2^3{x_1} - 5{x_1}{x_2} = 0
Bài 4: Tìm kích thước của hình chữ nhật, biết chiều dài hơn chiều rộng 3m. Nếu tăng thêm mỗi chiều thêm 2 mét thì diện tích của hình chữ nhật tăng thêm 70m2.
Lời giải:
Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là x (m) ( x > 0 )
⇒ Chiều dài của hình chữ nhật là x + 3 (m)
Khi đó diện tích của hình chữ nhật là x(x + 3) (m2 )
Nếu tăng thêm mỗi chiều thêm 2 mét thì diện tích của hình chữ nhật tăng thêm 70m2 nên ta có phương trình:
(x + 2)(x + 3 + 2) = x(x + 3) + 70
⇔ (x + 2)(x + 5) = x(x + 3) + 70
⇔ x^{2} + 7x + 10 = x^{2} + 3x + 70
⇔ 4x = 60
⇔ x = 15
Vậy chiều rộng của hình chữ nhật là 15m
Chiều dài của hình chữ nhật là 18m
Bài 5: 
a) Với những giá trị nào của m thì hàm số bậc nhất y=(m – 1) x + 3 đồng biến?
b) Với những giá trị nào của k thì hàm số bậc nhất y=(5 – k)x + 1 nghịch biến?
Hướng dẫn làm bài:
a) Hàm số y = (m – 1)x + 3 là hàm số bậc nhất đối với x khi m - 1 \neq 0 hay m \neq 1, do đó hàm số đồng biến khi hệ số của x dương. Vậy m – 1 > 0 hay m > 1 thì hàm số đồng biến.
b) Hàm số y = (5 – k)x + 1 là hàm số bậc nhất đối với x khi 5 - k \neq 0 hay k \neq 5, do đó hàm số nghịch biến khi hệ số của x âm.
Vậy 5 – k < 0 hay 5 < k thì hàm số nghịch biến.
Bài 6: Cho phương trình 7x^{2}+ 2(m – 1)x - m^{2} = 0.
Sau hai năm, số dân của một thành phố tăng từ 2 000 000 người lên 2 020 050 người. Hỏi trung bình mỗi năm dân số của thành phố đó tăng bao nhiêu phần trăm?
Lời giải chi tiết:
Gọi tỉ số tăng dân số trung bình mỗi năm là x (x > 0).
Dân số thành phố sau 1 năm là:
2 + 2.x = 2 . (1 + x) (triệu người)
Dân số thành phố sau 2 năm là:
2.(1 + x) + 2.(1 + x).x = 2.(1 + x)^{2} (triệu người).
Theo bài ra ta có phương trình:
2.(1 + x)^{2} = 2,020050
⇔ (1 + x)^{2} = 1,010025
⇔ x + 1 = 1,005
⇔ x = 0,005 = 0,5%.             
Vậy tỉ số tăng dân số trung bình một năm của thành phố là 0,5%.