Mục lục bài viết

1. Những kiến thức cần nhớ

Điều kiện căn bản để căn thức có nghĩa

\sqrt{A} có nghĩa khi A >= 0

Hàm số y= ax+b( a khác0)

- Tính chất: Hàm số đòng biến trên R khi a > 0 Hàm số nghịch biến trên R khi a < 0 - Đồ thị: Đồ thị là một đường thẳng đi qua điểm A(0;b); B( -b/a;0). 4. Hàm số y = ax2 ( a # 0)

- Tính chất: Nếu a > 0 hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0 Nếu a < 0 hàm só đồng biến khi x < 0 nghịch biến khi x > 0

- Đồ thị: Đồ thị là một đường cong Parabol đi qua gốc tọa độ O( 0; 0). Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trực hoành. Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành.

Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Xét đường thằng y= ax+b (d) và y= a'x+b' (d) (d) và(d') cắt nhau

⇔ a # a' (d) // (d') ⇔ a = a' ; b # b' (d) trùng (d') ⇔ a = a' và b = b'

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường cong.

Xét đường thẳng y = ax + b( d ) và y = ax2 (P) ( d) và (P) cắt nhau tại hai điểm (d) tiếp xúc với (P) tại một điểm (d) và (P) không có điểm chung

Phương trình bậc hai

Xét phương trình bậc hai ax2 +bx + c = 0 ( a # 0)

+ Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm: x1 = 1 ; x2 = c/a

+ Nếu a -b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm: x1 = -1; x2 = - c/a 9.

Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

- Bước 1: Lập phương trình hoặc hệ phương trình

- Bước 2: Giải phương trình hoặc hệ phương trình

- Bước 3: Kiểm tra các nghiệm của phương trình hoặc hệ phương trình nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận

 

2. Dạng bài tập toán lớp 9

Dạng 1: Biện luận theo m ax2 +bx +c = 0 ( trong đó a,b,c, phụ thuộc tham số m).

Xét hệ số a: Có thể có 2 khả năng Trường hợp a = 0 với vài giá trị nào đó của m. Giả sử a = 0 ⇔ m = m0 ta có: (( * ) trở thành phườn thức bậc nhất ax +c = 0 ( * * )

+ Nếu b # 0 với m = m0: (* * ) có một nghiệm x = -c/b

+ Nếu b = 0 và c = 0 với m = m0 : ( **) vô định ⇔ (*) vô định

+ Nếu b = 0 và c # 0 với m = m0: ( **) vô nghiệm ⇔ (*) vô nghiệm

Dạng 2: Bài toán tính toán

Bài toán 1: Tính giá trị của biểu thức A. Tính A mà không có điều kiện kèn theo đồng nghĩa với bài toán

Rút gọn biểu thức A

Bài toán 2: Tính giá trị của biểu thức A(x) biết x = a

Cách giải:

- Rút gọn biểu thức A(x).

- Thay x = a vào biểu thức rút gọn.

Dạng 3: Chứng minh đẳng thức

Bài toán : Chứng minh đẳng thức A = B

Dạng 3: Một số phương pháp chứng minh:

- Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa A = B

⇔ A - B = 0

- Phương pháp 2: Biến đổi trực tiếp. A = A1 = A2 = ....= B

- Phương pháp 3: Phương pháp so sánh. A = A1 = A2 = ....= C}

→ A = B B = B1 = B2 = ... = C

- Phương pháp 4: Phương pháp tương đương A = B ⇔ A' = B' ⇔ A'' = B''

⇔ ....⇔ (*) (*) đúng do đó A = B

- Phương pháp 5: Phương pháp sử dụng giải thiết

- Phương pháp 6: Phương pháp quy nạp

- Phương pháp 7: Phương pháp dùng biểu thức phụ.

Dạng 4: Chứng minh bất đẳng thức

Bài toán: Chứng minh bất đẳng thức A > B

Dạng 4: Một số bất đẳng thức quan trọng:

- Bất đẳng thức Cosi, Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi: a1 = a2 = a3 =... = an Một số phương thức chứng minh:

- Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa A > B ⇔ A - B > 0

- Phương pháp 2: Biến đổi trực tiếp A = A1 = A2 = A3= ....= B + M2 > B nếu M # 0

- Phương pháp 3: Phương pháp tương đương A > B ⇔ A' > B' ⇔ A'' > B'' ⇔ .....⇔ (*)

- Phương pháp 4: Phương pháp dùng tính chất bắc cầu A > C và C > B → A > B

- Phương pháp 5: Phương pháp phản chứung

Để chứng minh A > B ta giả sử B > A và dùng các phép biến đổi tương đương đễ dẫn đến điều vô lí khi đó ta kết luận A > B.

- Phương pháp 6: Phương pháp sử dụng giả thiết

- Phương pháp 7: Phương pháp quy nạp

- Phương pháp 8 : Phương thức dùng biểu thức phụ

Dạng 5: Giải hương trình bằng phương pháp đặt ẩn số phụ

Bài toán 1: Giải phương trình trùng phương ax4 + bx2 +c = 0

Đặt t = x2 ( t >=) ta có phương trình at2 + bt + c = 0

Giải phương trình bậc hai ẩn t sau đó thay vào tìm ẩn x

Ta có bảng tóm tắt sau:

at2 + bt + c = 0 ax4 + bx2 + c = 0
vô nghiệm vô nghiệm
2 nghiệm âm vô nghiệm
nghiệm kép âm vô nghiệm
1 nghiệm dương 2 nghiệm đối nhau
2 nghiệm dương 4 nghiệm 2 cặp nghiệm đối nhau

Bài toán 2: Giải phương trình bậc cao

Dùng các phép biến đổi đưa phương trình bậc cao về dạng:

- Phương trình tích

- Phương trình bậc hai

Dạng 6: Giải hệ phương trình

Giải hệ phương trình: ax +by = c; a'x +b'y = c'

Các phương pháp giải:

- Phương pháp đồ thị

- Phương pháp cộng

- Phương pháp thế

- Phương pháp đặt ẩn phụ

Dạng 7: Các bài toán liên quan đến hàm số

Điểm thuộc đường - đường đi qua một điểm

Bài toán: Cho ( C) là đồ thị của hàm số y = f (x) và một điểm A ( xA; yB) Hỏi (C) có đi qua A không?

Đồ thị (C) đi qua A( xA; yB) khi và chỉ khi tọa độ của A nghiệm đúng phương trình của (C) A thuộc (C) ⇔ yA = f(xA).

Do đó tính f(xA)

Nếu f( xA) = yA thì(C) đi qua A.

Nếu f( xA) # yA thì (C)) không đi qua A. Sự tương giao của hai đồ thị.

 

3. Một số bài tập toán nâng cao lớp 9 có đáp án chọn lọc 2023 - 2024

Câu 1: Chứng minh \sqrt{7} là số vô tỉ

Bài giải

Giả sử \sqrt{7} là số hữu tỉ => \sqrt{7} = m/n (tối giản). Suy ra 7 = m2/n2 hay 7n2 = m2 (1).

Đẳng thức này chứng tỏ m2 chia hết cho 7 mà 7 là số nguyên tố nên m chia hết cho 7. Đặt m = 7k (k thuộc Z), ta có m2 = 49k2 (2).

Từ (1) và (2) suy ra 7n2 = 49k2 nên n2 = 7k2 (3).

Từ (3) ta lại có n2 chia hết cho 7 và vì 7 là số nguyên tố nên n chia hết cho 7. m và n cùng chia hết cho 7 nên phân số m n không tối giản, trái giả thiết. Vậy 7 không phải là số hữu tỉ; do đó 7 là số vô tỉ.

Câu 2: Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x2 + y2

Bài giải

Cách 1: Từ x + y = 2 ta có y = 2 - x. Do đó: S = x2 + (2 - x)2 = 2(x - 1)2 + 2

Vậy min S = 2 khi và chỉ khi x = y = 1

Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với a = x, b=y, d=1, ta có:

(x + y)2 <= (x2 + y2)(1 + 1) => 4 <= 2(x2 + y2) = 2S

Tương đương S >= 2 => min S = 2 khi x = y = 1

Câu 3:

a. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: bc/a + ca/b + ab/c >= a + b + c

b. Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab

Bài giải

a. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số dương bc/a và ca/b; bc/a và ab/c; ca/b và ab/c, ta lần lượt có:

\frac{bc}{a} + \frac{ca}{b} \geq 2\sqrt{\frac{bc}{a}.\frac{ca}{b}} = 2c; \frac{bc}{a} + \frac{ab}{c} \geq 2\sqrt{\frac{bc}{a}.\frac{ab}{c}}=2b; \frac{ca}{b} + \frac{ab}{c} \geq 2\sqrt{\frac{ca}{b}.\frac{ab}{c}}=2a

cộng từng vế ta được bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c

b. Với các số dương 3a và 5b, theo bất đẳng thức Cauchy ta có: \frac{3a + 5b}{2}\geq \sqrt{3a.5b}

=> (3a + 5b)2 >= 4.15P (vì P = a.b) => 12² >= 60P => P<= 12/5 => max P = 12/5

Dấu bằng xảy ra khi 3a = 5b = 12 : 2 => a = 2; b = 6/5

Câu 4: Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức N = a + b

Bài giải

Đặt a = 1 + x -> b3 = 2 – a3 = 2 – (1 + x)3 = 1 – 3x – 3x2 – x3 ≤ 1 – 3x + 3x2 – x3 = (1 – x)3. Suy ra : b ≤ 1 – x.

Ta lại có a = 1 + x, nên : a + b ≤ 1 + x + 1 – x = 2. Với a = 1, b = 1 thì a3 + b3 = 2 và a + b = 2.

Vậy max N = 2 khi a = b = 1

Câu 5: Tìm cac giá trị của x sao cho:

a. |2x - 3| = |1- x|     b. x2 - 4x <= 5    c. 2x(2x - 1) <= 2x -1

Bài giải

\left | 2x -3 \right | = \left | x - 1 \right |\Leftrightarrow 3x = 4; x = 2 \Leftrightarrow x = \frac{3}{4}; x = 2

b. x2 - 4x <= 5 => (x - 2)2 <= 9

=> |x - 2| <= 3 tương đương -3 <= x - 2 <= 3 -> -1 <= x <= 5

c. 2x (2x - 1) <= 2x -1 tương đương (2x - 1)2 <= 0. Nhưng (2x -1)2 >= 0, nên chỉ có thể: 2x -1 = 0. Vậy x = 1/2

Câu 6: Giải phương trình: \sqrt{3x^{2}+6x+7} + \sqrt{5x^{2}+10x+21}= 5 - 2x - x^{2}

Bài giải

Viết lại phương trình dưới dạng: 

\sqrt{3(x+1)^{2}+4} + \sqrt{5(x+1)^{2}+16} = 6 - (x+1)^{2}

Vế trái của phương trình không nhỏ hơn 6, còn vế phải không lớn hơn 6. Vậy đẳng thức chỉ xảy ra khi cả hai vế đều bằng 6, suy ra x = -1

Câu 7: Cho các số x và y khác 0. Chứng minh rằng: \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}} + 4 \geq 3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})

Bài giải

Đặt x/y + y/x = a -> x2/y2 + y2/x2 + 2 = a2. Dễ dàng chứng minh x2/y2 + y2/x2 >= 2 nên a2 >= 4, do đó |a| >= 2 (1). Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với: a2 - 2 + 4 >= 3a -> a2 - 3a + 2 >= 0 tương đương (a - 1)(a - 2) >= 0 (2)

Từ (1) suy ra a >= 2 hoặc a < = -2. Nếu a >= 2 thì (2) đúng. Nếu a <= - 2 thì (2) cũng đúng. Bài toán được chứng minh

Câu 8: Cho các số dương x,y,z. Chứng minh rằng: 

\frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{z^{2}} + \frac{z^{2}}{x^{2}} \geq \frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x}

Bài giải

\frac{x^{4}z^{2}+y^{4}x^{2}+z^{4}x^{2}-(x^{2}z+y^{2}x+z^{2}y)xyz}{x^{2}y^{2}z^{2}}\geq 0

Cần chứng minh tử không âm, tức là : x3z2(x – y) + y3x2(y – z) + z3y2(z – x) ≥ 0. (1)

Biểu thức không đổi khi hoán vị vòng x -> y -> z -> x nên có thể giả sử x là số lớn nhất. Xét hai trường hợp :

a) x ≥ y ≥ z > 0. Tách z – x ở (1) thành – (x – y + y – z), (1) tương đương với : x3z2(x – y) + y3x2(y – z) – z3y2(x – y) – z3y2(y – z) ≥ 0 -> z2(x – y)(x3 – y2z) + y2(y – z)(yx2 – z3) ≥ 0

Dễ thấy x – y ≥ 0 , x3 – y2z ≥ 0 , y – z ≥ 0 , yx2 – z3 ≥ 0 nên bất đẳng thức trên đúng.

b) x ≥ z ≥ y > 0. Tách x – y ở (1) thành x – z + z – y , (1) tương đương với : x3z2(x – z) + x3z2(z – y) – y3x2(z – y) – z3y2(x – z) ≥ 0 -> z2(x – z)(x3 – zy2) + x2(xz2 – y3)(z – y) ≥ 0

Dễ thấy bất đẳng thức trên dúng.

Cách khác : Biến đổi bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với

(\frac{x}{y}-1)^{2} + (\frac{y}{z}-1)^{2} + (\frac{z}{x}-1)^{2} + (\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})\geq 3

Câu 9: Cho x + y + z = \sqrt{xy} + \sqrt{yz} + \sqrt{xz} , trong x, y, z > 0. Chứng minh x = y = z

Bài giải

Từ x + y + z = \sqrt{xy} + \sqrt{yz} + \sqrt{xz} \Rightarrow (\sqrt{x}-\sqrt{y})^{2} + (\sqrt{y}-\sqrt{z})^{2} + (\sqrt{z}-\sqrt{x})^{2}=0

Vậy x = y = z

Câu 10: Chứng minh: 

\sqrt{(a^{2}+c^{2})(b^{2}+c^{2})} + \sqrt{(a^{2}+d^{2})(b^{2}+d^{2})} \geq (a+b)(c+d)

với a,b,c,d > 0

Bài giải

Xét tứ giác ABCD có AC vuông góc BD, O là giao điểm hai đường chéo

OA = a; OC = b; OB = c; OD = d với a,b,c,d >0 Ta có

AB = \sqrt{a^{2}+ c^{2}} , BC = \sqrt{b^{2}+ c^{2}} , AD= \sqrt{a^{2}+ d^{2}} , CD = \sqrt{b^{2}+ d^{2}}

AC = a + b, BD = c + d. Cần chứng minh: AB.BC + AD.CD >= AC.BD

Thật vậy ta có: AB.BC >= 2SABC = AC.BD

Vậy suy ra điều cần chứng minh

Chú ý: Giải bằng cách áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki với (m2 + n2)(x2 + y2) >= (mx + ny)2 với m = a, n = c, x = c, y = b ta có

(a^{2}+c^{2})(c^{2}+b^{2}) \geq (ac + bd)^{2} \Rightarrow \sqrt{(a^{2}+c^{2})(c^{2}+b^{2})}\geq ac + cb

Quý bạn đọc có thể tham khảo bài viết sau: Đề cương ôn tập học kì 2 môn Toán lớp 9 mới nhất 

Trên đây là chia sẻ của luật Minh Khuê về chủ đề "Một số bài tập Toán nâng cao lớp 9 có đáp án chọn lọc" Mong rằng bài viết trên của chúng tôi sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích dành cho bạn. Xem thêm: Đề thi giữa học kì 2 môn Toán lớp 9 có đáp án. Cảm ơn bạn đọc đã quan tâm theo dõi nội dung tư vấn của chúng tôi. Xin trân trọng cảm ơn quý khách.