Mục lục bài viết

A. Các bài tập nâng cao chọn lọc trong đề thi học kì 2 lớp 7
B. Lời giải, đáp án bài tập nâng cao trong đề thi học kì 2 lớp 7

A. Các bài tập nâng cao chọn lọc trong đề thi học kì 2 lớp 7

Bài 1: Cho đa thức f(x) = $ax^{3} + 2bx^{2}$ + 3cx + 4d, (a ≠ 0) với a, b, c, d là các số nguyên. Chứng minh không thể tồn tại f(7) = 72 và f(3) = 42.

Bài 2: Cho đa thức f(x) thỏa mãn điều kiện: x . f(x + 1) = (x + 2) . f(x). Chứng minh rằng đa thức f(x) có ít nhất hai nghiệm.

Bài 3: Cho hàm số f(x) = ax2 + bx + c (a, b, c $\epsilon \mathbb{Z})$ . Biết f(-1) ⋮ 3; f(0) ⋮ 3; f(1) ⋮ 3. Chứng minh rằng a, b, c đều chia hết cho 3.

Bài 4: Cho đa thức f(x) = $ax^{3} + 2bx^{2}$ + cx + d với a là số nguyên dương và f(5) - f(4) = 2019. Chứng minh f(7) - f(2) là hợp số.

Bài 5: Chứng minh rằng đa thức $P\left( x \right) = {x^3} - x + 5$ không có nghiệm nguyên.

Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ${\left[ {{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{5}{4}} \right]^2}$

Bài 7: Tìm n nguyên dương sao cho 2n - 3 ⋮ n + 1

Bài 8: Cho đa thức M = $x^{3} + x^{2}y - 2x^{2} - xy - y^{2}$ + 3y + x + 2017. Tính giá trị của đa thức M biết x + y - 2 = 0.

Bài 9: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = \frac{1}{{\left| {x + 2017} \right| + \left| {x - 2} \right|}}$

Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $B = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}}$

Bài 11. Chọn ngẫu nhiên một số trong tập hợp M = {2; 3; 5; 6; 8; 9}.

a) Trong các biến cố sau, biến cố nào là biến cố chắc chắn? Biến cố nào là biến cố không thể và biến cố nào là biến cố ngẫu nhiên?

A: “Số được chọn là số nguyên tố”;

B: “Số được chọn là số có một chữ số”;

C: “Số được chọn là số tròn chục”.

b) Tính xác suất của biến cố A.

Bài 12: Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng tham gia lao động trồng cây. Biết số cây ở lớp 7A, 7B, 7C được trồng tỉ lệ với các số 3;5;8 và hai lần số cây của lớp 7A cộng với 4 lần số cây lớp 7B trồng được nhiều hơn số cây lớp 7C trồng được là 108 cây. Tính số cây trồng được của mỗi lớp

Bài 13. Một chiếc hộp kín có chứa 5 quả bóng có kích thước và khối lượng như nhau, và được ghi lần lượt các số 5; 10; 15; 20; 25. Lấy ra ngẫu nhiên 1 quả bóng từ hộp. Xét các biến cố sau:

A: “Quả bóng lấy ra ghi số nguyên tố”;

B: “Quả bóng lấy ra ghi số chia hết cho 5”;

C: “Quả bóng lấy ra ghi số chia hết cho 6”.

D: “Quả bóng lấy ra ghi số tròn chục”.

a) Trong các biến cố trên, chỉ ra biến cố nào là chắc chắn, không thể.

b) Tính xác suất của các biến cố A và D.

B. Lời giải, đáp án bài tập nâng cao trong đề thi học kì 2 lớp 7

Bài 1:

Có f(7) = 343a + 98b + 21c + 4d = 72

f(3) = 27a + 18b + 9c + 4d = 42

f(7) - f(3) = 316a + 80b + 12c = 30

Suy ra 4 . (79a + 20b + 3c) = 30 hay 79a + 20b + 3c = $\frac{{30}}{4}$

Mà a, b, c là các số nguyên nên 79a + 20b + 3c cũng là số nguyên

Vậy không tồn tại các số nguyên a, b, c, d để đồng thời xảy ra f(7) = 72 và f(3) = 42

Bài 2:

Thay x = 0 vào x . f(x + 1) = (x + 2) . f(x) được 0 . f(0 + 1) = 2 . f(0) hay f(0) = 0

Suy ra x = 0 là một nghiệm của f(x)

Thay x = -2 vào x . f(x + 1) = (x + 2) . f(x) được (-2) . f(-1) = 0 . f(-2) hay f(-1) = 0

Suy ra x = -1 là một nghiệm của f(x)

Bài 3:

Có f(-1) = a - b + c chia hết cho 3

f(0) chia hết cho 3 hay f(0) = c chia hết cho 3

f(1) chia hết cho 3 hay f(1) = a + b + c chia hết cho 3

Có f(1) + f(-1) = a - b + c + a + b + c = 2a + 2c

Mà c chia hết cho 3

Suy ra 2a chia hết cho 3, mà 2 không chia hết cho 3 nên a chia hết cho 3

f(1) = a + b + c chia hết cho 3, mà a và c chia hết cho 3 nên b cũng chia hết cho 3

Bài 4:

f(5) = 125a + 25b + 5c + d và f(4) = 64a + 16b + 4c + d

f(7) = 343a + 49b + 7c + d và f(2) = 8a + 4b + 2c + d

Có f(5) - f(4) = 61a + 9a + c = 2019

Lại có f(7) - f(2) = 335a + 45b + 5c = 5.(61a + 9a + c) = 5.2019

Vậy f(7) - f(2) là hợp số

Bài 5:

Giả sử a là một nghiệm nguyên của P(x) = x3 - x + 5 ⇒ P(a) = a3 - a + 5

Với a = 0 ta có P(a) = 5 khác 0 nên a = 0 không phải là nghiệm của P(x)

Với a khác 0 thì P(a) chia hết cho a (do P(a) = 0 và a là số nguyên khác 0)

Suy ra chia hết cho a hay 5 chia hết cho a, a có thể bằng 1, -1, 5 và -5

Với a = 1 thì P(1) = 5 khác 0 nên a = 1 không phải là nghiệm của P(x)

Với a = -1 thì P(-1) = 5 khác 0 nên a = -1 không phải là nghiệm của P(x)

Với a = 5 thì P(5) = 125 khác 0 nên a = 5 không phải là nghiệm của P(x)

Với a = -5 thì P(-5) = -115 khác 0 nên a = -5 không phải là nghiệm của P(x)

Vậy đa thức P(x) không có nghiệm nguyên

Bài 6:

Có ${\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\forall x \Rightarrow {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{5}{4} \ge \frac{5}{4}\forall x$

A = ${\left[ {{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{5}{4}} \right]^2} \ge {\left( {\frac{5}{4}} \right)^2} = \frac{{25}}{{16}}\forall x$

Dấu “=” xảy ra ⇔ x = $\frac{{ - 1}}{2}$

Vậy min A = $\frac{{25}}{{16}}$ ⇔ x = $\frac{{ - 1}}{2}$

Bài 7:

Có 2n - 3 ⋮ n + 1 ⇒ [(2n - 3) - (n + 1)] ⋮ n + 1

⇔ n - 4 ⋮ n + 1 ⇒ n + 1 - 5 ⋮ n + 1 ⇒ n + 1 ∈ U(5) = { ±1; ±5 }

Ta có bảng

n+1 -5 -1 1 5

n -6 -2 0 4

Mà n là số nguyên dương nên n = 4

Bài 8:

M = $x^{3} + x^{2}y - 2x^{2} - xy - y^{2}$ + 3y + x + 2017

M = $(x^{3} + x^{2}y - 2x^{2})$ - (xy + $y^{2}$ - 2y) + (x + y - 2) + 2019

M = $x^{2}$ . (x + y - 2) - y(x + y - 2) + (x + y - 2) + 2019 = 2019

Bài 9:

Có |x + 2017| + |x + 2| = |x + 2017| + |2 - x| ≥ |x + 2017 + 2 - x| = 2019

$\Rightarrow \frac{1}{{\left| {x + 2017} \right| + \left| {2 - x} \right|}} \le \frac{1}{{2019}}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0

Vậy Max A = $\frac{1}{{2019}}$ ⇔ x = 0

Bài 10:

B = $\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{{x^2} + 1 - 2}}{{{x^2} + 1}} = 1 - \frac{2}{{{x^2} + 1}}$

Có x2 ≥ 0 với ∀x ⇒x2 + 1 ≥ 1 với ∀x ⇒ $\frac{2}{{{x^2} + 1}} \le 2$ với ∀x

$\Rightarrow - \frac{2}{{{x^2} + 1}} \ge - 2\forall x \Rightarrow 1 - \frac{2}{{{x^2} + 1}} \ge - 1\forall x$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 0

Vậy min B = -1 ⇔ x = 0

Bài 11:

M = {2; 3; 5; 6; 8; 9}.

a) Tập hợp M gồm có số nguyên tố và hợp số nên biến cố A là biến cố ngẫu nhiên.

Trong tập hợp M, tất cả các số đều là số có một chữ số nên biến cố B là biến cố chắc chắn.

Trong tập hợp M, không có số nào là số tròn chục nên biến cố C là biến cố không thể.

b) Trong tập hợp M gồm 6 số, có 3 số là số nguyên tố, đó là số 2; 3; 5.

Xác suất của biến cố A là: $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

Bài 12:

Gọi số cây ba lớp 7A, 7B, 7C trồng được lần lượt là x,y,z (cây) (điều kiện: x,y,z $\in {\mathbb{N}^*}$ )

Vì số cây ở lớp 7A, 7B, 7C được trồng tỉ lệ với các số 3;5;8 nên ta có: $\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{8}$

Vì hai lần số cây của lớp 7A cộng với 4 lần số cây lớp 7B trồng được nhiều hơn số cây lớp 7C trồng được là 108 cây nên ta có: 2x + 4y - z = 108

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\dfrac{x}{3} = \dfrac{y}{5} = \dfrac{z}{8} = \dfrac{{2x}}{6} = \dfrac{{4y}}{{20}} = \dfrac{z}{8} = \dfrac{{2x + 4y - z}}{{6 + 20 - 8}} = \dfrac{{108}}{{18}} = 6$

Khi đó, $\dfrac{x}{3} = 6 \Rightarrow x$ = 18 (tmđk)

$\dfrac{y}{5} = 6 \Rightarrow y$ = 30 (tmđk)

$\dfrac{z}{8} = 6 \Rightarrow y$ = 48 (tmđk)

Vậy số cây ba lớp trồng được là: Lớp 7A: 18 cây; lớp 7B: 30 cây, lớp 7C: 48 cây.

Bài 13:

a) Biến cố B là biến cố chắc chắn, biến cố C là biến cố không thể.

b) Vì 5 quả bóng có kích thước và khối lượng như nhau nên mỗi quả bóng đều có cùng khả năng được chọn.

• Trong 5 quả bóng ghi lần lượt các số 5; 10; 15; 20; 25, chỉ có 1 quả bóng ghi số nguyên tố là 5. Do đó xác xuất của biến cố A là PA = $\frac{1}{5}$

• Trong 5 quả bóng ghi lần lượt các số 5; 10; 15; 20; 25, có 2 quả bóng ghi số tròn chục là 10; 20. Do đó xác xuất của biến cố D là PA = $\frac{2}{5}$ .