Mục lục bài viết

I. Lý thuyết về tính tổng của dãy số có quy luật
II. Các dạng tính tổng dãy số áp dụng phương pháp quy nạp
1. Tính tổng dãy số áp dụng phương pháp quy nạp
2. Tính tổng một số dãy số có quy luật đã biết
3. Tính tổng theo công thức nhị thức Newton
4. Tính tổng của cấp số cộng
5. Tính tổng của cấp số nhân
III. Một số bài toán liên quan
IV. Một số bài tự luyện tập

I. Lý thuyết về tính tổng của dãy số có quy luật

Với bài toán tính tổng một dãy số, đề bài thường cho một dãy gồm nhiều số hạng. Tuy nhiên, trước mỗi số hạng không nhất định phải là dấu cộng, mà có thể là dấu trừ hoặc bao gồm cả dấu cộng và dấu trừ.

- Về phương pháp giải bài toán tính tổng một dãy số:

Điền thêm số hạng vào sau, giữa hoặc trước một dãy số trước hết ta cần xác định lại quy luật của dãy số:

+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng trước nó cộng (hoặc trừ) với một số tự nhiên a.

+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng trước nó nhân (hoặc chia) với một số tự nhiên q khác 0.

+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 3) bằng tổng 2 số hạng đứng liền trước nó.

+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng với số tự nhiên d rồi cộng với số thứ tự của số hạng ấy.

+ Số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước nhân với số thứ tự của nó.

+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) trở đi đều bằng a lần số liền trước nó.

+ Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) trở đi, mỗi số liền sau bằng a lần số liền trước nó cộng (trừ ) n (n khác 0).

- Về cách giải bài toán tính tổng của dãy số có quy luật:

Muốn tính tổng của một dãy số có quy luật cách đều chúng ta thường hướng dẫn học sinh tính theo các bước như sau:

Bước 1: Tính số số hạng có trong dãy: (Số hạng lớn nhất của dãy - số hạng bé nhất của dãy): khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp trong dãy + 1

Bước 2: Tính tổng của dãy: (Số hạng lớn nhất của dãy + số hạng bé nhất của dãy) x số số hạng có trong dãy : 2

II. Các dạng tính tổng dãy số áp dụng phương pháp quy nạp

1. Tính tổng dãy số áp dụng phương pháp quy nạp

Bài toán: Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên n > n₀

Phương pháp:

Bước 1: Xét P(n₀) đúng

Bước 2: Giả sử P(k) đúng ta sẽ chứng minh P(k+1) đúng với mọi số tự nhiên thì mệnh đề P(n) đúng $k \geq n_{0}$ với mọi số tự nhiên n > n₀

2. Tính tổng một số dãy số có quy luật đã biết

Phương pháp: Một số công thức tổng suy ra từ phương pháp quy nạp ở trên:

1 + 2 + 3 + ... + n = $\frac{n(n+1)}{2}$

$1^{2}+2^{2}+3^{2}+ .. + n^{2}= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+ ... + n^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}$

$1^{5}+2^{5}+3^{5}+ ... + n^{5} = \frac{1}{12}n^{2}(n+1)^{2}(2n^{2}+2n-1)$

3. Tính tổng theo công thức nhị thức Newton

Phương pháp: Dựa vào khai triển nhị thức Newton: $(a+b)^{n}= C_{n}^{0}a^{n}+ C_{n}^{1}a^{n-1}b+C_{n}^{2}.a^{n-2}.b^{2}+...+ C_{n}^{n}.b^{n}$

Một số công thức liên quan:

$C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}$

$\sum_{k=0}^{n}a^{k}C_{n}^{k}=(1+a)^{n}$

$\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}C_{n}^{k}= 0$

$C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + C_{n}^{3} + ... + C_{n}^{n} = 2^{n}$

$\sum_{k=0}^{n}C_{2n}^{2k} = \sum_{k=0}^{n}C_{2n}^{2k-1}=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n}C_{2n}^{k}$

4. Tính tổng của cấp số cộng

Cho dãy số $(u_{n})$ là cấp số cộng có dạng: $\left\{\begin{matrix} u_{1} =a & \\ u_{n+1}=u_{n}+d& \end{matrix}\right., n \epsilon N^{*}$

Phương pháp: Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng, công sai d là:

$S_{n}= u_{1}+ u_{2}+u_{3}+...+ u_{ n} = \frac{n}{2}(u_{1}+u_{n})= \frac{n}{2}(2u_{1}+(n-1)d)$

5. Tính tổng của cấp số nhân

Cho dãy số u(n) là cấp số nhân có dạng $\left\{\begin{matrix} u_{1}=a & \\ u_{n+1}=u_{n}.q & \end{matrix}\right., n \epsilon N^{*}$

Phương pháp: Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân công bội q là:

$S_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+ ... + u_{n} = u_{1}.\frac{q^{n}-1}{q-1}$

III. Một số bài toán liên quan

Câu 1: Chứng minh rằng 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7+ ... + n = $\frac{n(n+1)}{2}$ đúng với mọi số tự nhiên $n\geq 1$

Lời giải chi tiết:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7+ ... + n = $\frac{n(n+1)}{2}$ (1)

Bước 1: Với n = 1 ta có: VT = VP = 1 ⇒ (1) đúng với n = 1

Bước 2: Giả sử (1) đúng với k, $k \epsilon N$ ; $k\geq 1$ tức là:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + .. + k = $\frac{k(k+1)}{2}$

Ta phải chứng minh (1) đúng với k + 1 tức là:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + .. + k + (k + 1) = $\frac{[(k+1)(k+1)+1]}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$ (2)

Ta có:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + k + (k + 1)

= ( 1 + 2 + 3 + ... + k) + k + 1

= $\frac{k(k+1)}{2}+ k + 1$

= $\frac{k^{2}+ 3k + 2}{2}$

= $\frac{(k+1)(k+2)}{2}$

= (2) ⇒ dpcm

Vậy đẳng thức đã cho đúng với mọi $n \geq 1$

Câu 2: Chứng minh rằng với $x \neq k2\pi , n \geq 1$

$sin x + sin 2x + sin 3x + ... + sin nx = \frac{sin\frac{nx}{2}.sin\frac{(n+1)x}{2}}{sin\frac{x}{2}}$

Lời giải chi tiết:

Với n = 1 ta có: VT = sin x; $VP = \frac{sin\frac{x}{2}.sinx}{sin\frac{x}{2}} = sin x = VT \Rightarrow (1)$ đúng

Giả sử (1) đúng với n = $k \geq1$ tức là:

sin x + sin2x + sin3x + sin4x + ... + sinkx = $\frac{sin\frac{kx}{2}.sin\frac{(k+1)x}{2}}{sin\frac{x}{2}}$ (2)

Ta sẽ chứng minh (1) đúng với n = k + 1 tức là:

sinx + sin2x + sin3x + sin4x + ... + sinkx + sin( k+1)x = $\frac{sin\frac{(k+1)x}{2}.sin\frac{(k+2)x}{2}}{sin\frac{x}{2}}$

Tức là:

$sinx + sin2x + sin3x + ... + sin kx + sin(k+1)x= \frac{sin\frac{kx}{2}.sin\frac{(k+1)x}{2}}{sin\frac{x}{2}}sin(k+1)x$

$= \frac{sin\frac{kx}{2}.sin\frac{(k+1)x}{2}+sin[(k+1)x].sin\frac{x}{2}}{sin\frac{x}{2}}$

= $\frac{sin\frac{kx}{2}.sin\frac{(k+1)x}{2}.cos\frac{(k+1)x}{2}.sin\frac{x}{2}}{sin\frac{x}{2}}$

= $sin\frac{(k+1)x}{2}.[\frac{sin\frac{kx}{2}+2.cos\frac{(k+1)x}{2}.sin\frac{x}{2}}{sin\frac{x}{2}}]$

= $\frac{sin\frac{(k+1)x}{2}.sin\frac{(k+2)x}{2}}{sin\frac{x}{2}}$

= VP ⇒ dpcm

Vậy đẳng thức (1) đúng với mọi $x \neq k2\pi , n\geq 1$

Câu 3: Tính tổng dãy số

a. A = $\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+ ... + \frac{1}{n(n+1)}$

b. B = $(1-\frac{1}{2^{2}})(1-\frac{1}{3^{3}}).(1-\frac{1}{4^{2}})... (1-\frac{1}{n^{2}})$

Lời giải chi tiết:

a. Ta có

$\frac{1}{k(k+1)}= \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$

⇒ $A = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+ ... + \frac{1}{n(n+1)}$

= $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3}+ .. + \frac{1}{n}- \frac{1}{n+1}= 1 - \frac{1}{n+1}$

b. $B = (1-\frac{1}{2^{2}})(1-\frac{1}{3^{3}}).(1-\frac{1}{4^{2}})... (1-\frac{1}{n^{2}})$

Ta có: $a - \frac{1}{a^{2}}=\frac{(a-1)(a+1)}{a^{2}}$

$B= (1-\frac{1}{2^{2}})(1-\frac{1}{3^{3}}).(1-\frac{1}{4^{2}})... (1-\frac{1}{n^{2}})$

= $\frac{1.3}{2^{2}}.\frac{2.4}{3^{2}}.\frac{3.5}{4^{2}}... \frac{(n-1)(n+1)}{n^{2}}= \frac{n+1}{2n}$

Câu 4: Tính tổng các dãy số sau: $S = \frac{1}{2}.C_{n}^{0}-\frac{1}{4}C_{n}^{1}+\frac{1}{6}C_{n}^{3}+ .. + \frac{(-1)^{n})}{n+1}.C_{n}^{n}$

Lời giải chi tiết:

$\frac{1}{2}(C_{n}^{0}-\frac{1}{2}C_{n}^{3}+..+ \frac{(-1)^{n}}{n+1}.C_{n}^{n}$

Ta có: $\frac{(-1)^{k}}{k+1}.C_{n}^{k} = \frac{(-1)^{k}}{n+1}.C_{n+1}^{k+1}$ nên suy ra:

$S = \frac{1}{2(n+1)}\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}C_{n+1}^{k+1}= \frac{-1}{2(n+1)}.(\sum_{k=0}^{n+1}(-1)^{k}C_{n+1}^{k}-C_{n+1}^{0})= \frac{1}{2(n+1)}$

Câu 5: Tính tổng của dãy số:

$S = C_{n}^{1}3^{n-1}+2C_{n}^{2}3^{n-2}+3C_{n}^{3}.3^{n-3}+...+ nC_{n}^{n}$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$S = C_{n}^{1}3^{n-1}+2C_{n}^{2}3^{n-2}+3C_{n}^{3}.3^{n-3}+ ... + nC_{n}^{n}= 3^{n}\sum_{k=1}^{n}k.C_{n}^{k}.(\frac{1}{3})^{k}$

Do $kC_{k}^{n}.(\frac{1}{3})^{k}= n. (\frac{1}{3})^{k}.C_{n-1}^{k-1}, k \geq 1$

$\Leftrightarrow S =3^{n}\sum_{k=1}^{n}.C_{n}^{k}.(\frac{1}{3})^{k}= 3^{n}.n\sum_{k=1}^{n}C_{n-1}^{k-1}.(\frac{1}{3})^{k}$

= $3^{n-1}.n\sum_{k=1}^{n-1}C_{n-1}^{k}.(\frac{1}{3})^{k} = 3^{n-1}.n(1+\frac{1}{3})^{n-1}= n.4^{n-1}$

Câu 6: Cho cấp số cộng thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} u_{5} +3u_{3}-u_{2}=-21& \\ 3u_{7}-2u_{4}= -34& \end{matrix}\right.$

Tính tổng S = u₄ + u₅ + u₆ + u₇ + ... + u₃₀

Đáp án chi tiết:

Từ giả thiết bài toán ta có:

$\left\{\begin{matrix} u_{5}+3u_{3}-u_{2} = -21& \\ 3u_{7}-2u_{4} = -34 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}+4d+3(u_{1}+2d)-u_{1}-d=-21 & \\ 3(u_{1}+6d)-2(u_{1}-3d) =-34& \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1}+ 3d = -7 & \\ u_{1} + 12d = -34& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} u_{1} = 2 & \\ d=3& \end{matrix}\right.$

S = u₄ + u₅ + u₆ + u₇ + ... + u₃₀ = $\frac{27}{2}[2.u_{4}+26d]= 27.(u_{1}+ 16d)= -1242$

Câu 7: Cho cấp số cộng có dạng: $\left\{\begin{matrix} u_{2}-u_{3}+u_{5} = 10& \\ u_{4} + u_{6} = 26& \end{matrix}\right.$

Tính tổng S = u₅ + u₇ + u₉ + u₁₁ + ... + u₂₀₁₁

_{Lời giải chi tiết:}

S = u₅ + u₇ + u₉ + u₁₁ + ... + u₂₀₁₁ = $\frac{1003}{2}(2u_{5}+ 1002.6)= 3028057$

Câu 8: Tính giá trị của A biết:

A = 1 + 2 + 3 + 4 + .... + 2014

Lời giải chi tiết:

Đây là dạng bài cơ bản trong dạng bài tính tổng của dãy có quy luật cách đều, chúng ta hướng dẫn học sinh tính giá trị của A theo 2 bước cơ bản ở trên

Dãy số trên có số số hạng là:

( 2014 - 1) : 1 + 1 = 2014 ( số hạng)

Giá trị của A là:

( 2014 + 1) x 2014 : 2 = 2029105

Câu hỏi 9: Cho dãy số: 2; 4; 6; 8; 10; 12; ............... Tìm số hạng thứ 2014 của dãy số trên?

Lời giải chi tiết: Từ bước 1 học sinh sẽ tìm ra cách tìm số hạng lớn nhất trong dãy là: Số hạng lớn nhất = (Số số hạng trong dãy – 1) x khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp+ số hạng bé nhất trong dãy.

Số hạng thứ 2014 của dãy số trên là: (2014 – 1) x 2 + 2 = 4028

Câu hỏi 10: Một dãy phố có 15 nhà. Số nhà của 15 nhà đó được đánh là các số lẻ liên tiếp, biết tổng của 15 số nhà của dãy phố đó bằng 915. Hãy cho biết số nhà đầu tiên của dãy phố đó là số nào?

Lời giải chi tiết: Bài toán cho chúng ta biết số số hạng là 15, khoảng cách của 2 số hạng liên tiếp trong dãy là 2 và tổng của dãy số trên là 915. Từ bước 1 và 2 học sinh sẽ tính được hiệu và tổng của số nhà đầu và số nhà cuối. Từ đó ta hướng dẫn học sinh chuyển bài toán về dạng tìm số bé biết tổng và hiệu của hai số đó.

Hiệu giữa số nhà cuối và số nhà đầu là: (15 - 1) x 2 = 28

Tổng của số nhà cuối và số nhà đầu là: 915 x 2 : 15 = 122

Số nhà đầu tiên trong dãy phố đó là: (122 - 28) : 2 = 47

IV. Một số bài tự luyện tập

Câu hỏi 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\geq 1$ ta luôn có:

a. 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ... + n(n + 1) = $\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

b. $1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+ ... + n^{2}= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

c. $\frac{1}{3}+\frac{2}{3^{2}}+ \frac{3}{3^{3}}+ ... + \frac{n}{3^{n}}= \frac{3}{4}- \frac{2n+3}{4.3^{n}}$

Câu hỏi 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\geq 1$ ta có:

$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+2}}}}} = 2cos\frac{\pi }{2^{n+1}}$

Câu hỏi 3: Chứng minh đẳng thức đúng với mọi $n \epsilon N^{*}$

$\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5}+ ... + \frac{1}{n(n+1)(n+2)}= \frac{n(n+3)}{4.(n+1)(n-2)}$

Câu hỏi 4: Tính tổng dãy số

a. $A = \frac{1}{1.2.3}+ \frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5} + ... + \frac{1}{n(n+1)(n+2)}$

b $B= \frac{3}{(1.2)^{2}}+\frac{5}{(2.3)^{2}}+ ... + \frac{2n+1}{[n(n+1)]^{2}}$

Câu hỏi 5: Tính tổng các dãy số:

a. $C = \frac{1}{2+\sqrt{2}}+ \frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+ .. + \frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}$

b. $C = (1-\frac{1}{a_{1}})(1-\frac{1}{a_{2}})..... (1-\frac{1}{a_{n}}), a_{n} = \frac{n(n+1)}{2}$

Câu hỏi 6: Tính tổng các dãy sau:

a. $A = (C_{n}^{0})^{2} + (C_{n}^{1})^{2} + (C_{n}^{2})^{2} + ... + (C_{n}^{n})^{2}$

b. $B = C_{n}^{1}3^{n-1}+ 2C_{n}^{2}3^{n-2}+ 3C_{n}^{3}3^{n-3}+ ... + nC_{n}^{n}$

Câu hỏi 7: Tính tổng dãy

a. $D = C_{n}^{0}.C_{n}^{k}+C_{n}^{2}.C_{n-1}^{k-1}+ ... + C_{n}^{k}C_{n-k}^{0}, 0 \leq k\geq n$

b. $E = C_{n}^{1}+2C_{n}^{2}+3C_{n}^{3}+ ... + nC_{n}^{n}$

Câu hỏi 8: Cho cấp số cộng cộng có u₄ = -12; u₁₄ = 18. Tính tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng

Câu hỏi 9: Cho cấp số cộng biết u₅ = 18; S_n = 0,25S_2n. Tìm số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng

Câu hỏi 10: Cho cấp số cộng u₂₀₁₃ + u₆ = 1000. Tính tổng 2018 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

Câu hỏi 11: Cho dãy số: 1; 4; 7; 10; ............................; 2014.

a, Tính tổng của dãy số trên?

b, Tìm số hạng thứ 99 của dãy?

c, Số hạng 1995 có thuộc dãy số trên không? Vì sao?

Câu hỏi 12: Một dãy phố có 20 nhà. Số nhà của 20 nhà đó được đánh là các số chẵn liên tiếp, biết tổng của 20 số nhà của dãy phố đó bằng 2000. Hãy cho biết số nhà cuối cùng trong dãy phố đó là số nào?