1. Công Thức Tính Diện Tích Xung Quanh Hình Trụ
Hình trụ tròn là một loại hình học không gian cơ bản được giới hạn bởi mặt trụ và hai đáy là hai đường tròn bằng nhau. Từ này thường được dùng để chỉ hình trụ thẳng tròn xoay được tạo ra bằng cách quay hình chữ nhật quanh một cách cố định. Giả sử hình chữ nhật có tên là ABCD, CD là một cạnh cố định, khi đó:
- DA và CB quét nên hai đáy của hình trụ, là hai hình tròn bằng nhau và song song, tâm hai đường tròn lần lượt là D và C
- Mặt xung quanh của hình trụ được quét nên bởi cạnh AB. Mỗi vị trí của AB được gọi là một đường sinh
- Các đường sinh vuông góc với hai mặt phẳng đáy (2 hình tròn)
- Độ cao của hình trụ là độ dài của trục hình trụ (cạnh DC) hoặc độ đường sinh
Công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ:
Trong đó:
- S(xq): viết tắt của cụm từ diện tích xung quanh
- r: bán kính của hình tròn cơ sở
- h: đường cao của hình trụ
Chứng minh công thức: Thực hiện cắt hình trụ dọc theo chiều cao từ đáy đến đỉnh, sau đó mở nó ra, ta sẽ có một hình chữ nhật với chiều dài bằng chu vi của đáy của hình trụ và chiều rộng bằng chiều cao của hình trụ.
Bài tập ví dụ: Cho hình trụ có bán kính mặt đáy r = 3cm, chiều cao h = 5cm. Hãy tính diện tích xung quanh của hình trụ.
Áp dụng công thức, ta được:
2. Công Thức Tính Diện Tích Toàn Phần Hình Trụ
Tính diện tích toàn phần của hình trụ sẽ bao gồm diện tích xung quanh + diện tích của hai mặt đáy. Như vậy, để tính được diện tích toàn phần của hình trụ, chúng ta sẽ lấy diện tích xung quanh rồi cộng thêm diện tích của hai mặt đáy.
Trong đó:
- Stp: viết tắt của cụm từ diện tích toàn phần
- r: là bán kính của đường tròn cơ sở
- h: là chiều cao của hình trụ
Bài tập ví dụ: Cho hình trụ có bán kính r = 5cm, chiều cao h = 10cm. Yêu cầu tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ.
Cách giải: Theo dữ liệu của đề bài chúng ta đẽ biết được bán kính mặt đáy và chiều cao hình trụ. Do đó, chúng ta chỉ cần áp dụng công thức rồi tính toán ra kết quả. Diện tích xung quanh của hình trụ là . Sau khi tính được diện tích xung quanh, chúng ta sẽ tìm diện tích toàn phần của hình trụ bằng
3. Ví Dụ Cách Tính Diện Tích Hình Trụ:
Ví dụ 1. Cho một hình trụ có bán kính đường tròn đáy là 6cm, trong khi đó chiều cao nối từ đáy tới đỉnh hình trụ dài 8cm. Hỏi diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Theo công thức ta có bán kính đường tròn đáy r = 6cm và chiều cao của hình trụ h = 8cm. Sau khi áp dụng công thức tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ ta được:
- Diện tích xung quanh hình trụ:
- Diện tích toàn phần của hình trụ là:
Ví dụ 2. Một bóng đèn huỳnh quang dài 1,2m, đường kính đáy là 4cm, được đặt chật trong một ống giấy cứng theo hình dạng hộp. Hãy tính diện tích của phần giấy cứng được sử dụng để tạo hộp. (Hộp mở hai đầu, không tính lề và mép dán).
Hướng dẫn giải:
Diện tích của phần giấy cứng cần tính chính là diện tích xung quanh của một hình hộp có đáy là hình vuông cạnh 4cm và chiều cao 1,2m = 120cm.
Diện tích xung quanh của hình hộp là diện tích của bốn hình chữ nhật bằng nhau với chiều dài là 120cm và chiều rộng là 4cm:
Ví dụ 3. Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1 và AD = 2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN, ta được một hình trụ. Tính diện tích toàn phần S(tp) của hình trụ đó?
Hướng dẫn giải:
Khi quay hình chữ nhật quanh trục MN ta được hình trụ có:
- chiều cao: h = AB = 1
- Bán kính đường tròn đáy là r = AD = 1
Do đó, diện tích toàn phần của hình trụ đó là:
Ví dụ 4. Trong hình vuông ABCD có cạnh a, gọi I và K lần lượt là trung điểm của AB, CD. Tính diện tích xung quanh của hình trụ tròn khi xoay hình vuông ABCD quay quanh IK một góc 360 độ.
Hướng dẫn giải:
Hình trụ có chiều dài l = BC = a
Bán kính đáy r = IB =
Diện tích xung quanh của hình trụ là:
Ví dụ 5. Một cái trục lăn có dạng hình trụ. Đường kính của đường tròn đáy là 42cm, chiều dài trục lăn là 2m. Sau khi lăn tròn 10 vòng thì trục lăn tạo trên sân phẳng một diện tích là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Trục lăn một vòng sẽ tạo ra trên mặt phẳng một diện tích bằng diện tích xung quanh của trục.
Ta có 2m = 200cm
Diện tích xung quanh của trục lăn là:
Vậy trục lăn 10 vòng tạo nên diện tích 26376 cm2
4. Công thức tính thể tích hình trụ
Để tính thể tích hình trụ tròn, sử dụng công thức sau:
Trong đó:
- V là ký hiệu thể tích
- r là bán kính đáy hình trụ
- h là chiều cao của hình trụ
Ví dụ minh họa: Tính thể tích của hình trụ khi bán kính đáy bằng 7,1cm và chiều cao bằng 5cm
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức tính thể tích khối trụ, thay số và tính toán, ta được:
5. Bài tập bổ sung
Bài 1. Hộp sữa Ông Thọ có dạng hình trụ (đã bỏ nắp) có chiều cao h = 12cm và đường kính h = 8cm. Tính diện tích toàn phần của hộp sữa?
Bài 2. Một hình trụ có bán kính bằng đường cao. Khi cắt hình trụ này bằng một mặt phẳng đi qua trục thì mặt cắt là một hình chữ nhật có diện tích là 50 cm2. Tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ.
Bài 3. Diện tích và chu vi của một hình chữ nhật ABCD (AB > AD) theo thứ tự lần lượt là 2a2 và 6a. Cho hình chữ nhật quay quanh cạnh AB một vòng ta được một hình trụ. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình trụ này.
Bài 4. Mô hình của một cái lọ thí nghiệm dạng hình trụ (không nắp) có bán kính đường tròn đáy là 14cm, chiều cao là 10cm. Tính diện tích xung quanh của hình trụ này.
Bài 5. Cho hình trụ có hai đáy là hình tròn (O) và (O'), chiều cao 2R và bán kính đáy R. Một mặt phẳng (a) đi qua trung điểm của OO' và tạo với OO' một góc 30 độ. Hỏi (a) cắt đường tròn đáy theo một dây cung có độ dài bao nhiêu?
Bài 6. Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O; R) đường kính BC. Vẽ đường cao AH của tam giác ABC. Đường tròn tâm K đường kính AH cắt AB, AC lần lượt tại D và E.
a) Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật và AD.AD = AE.AC
b) Cho biết BC = 25cm và AH = 12cm. Hãy tính diện tích xung quanh và thể tích của hình tạo thành bởi khi cho tứ giác ADHE quay quanh AD.
Bài 7. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a và góc BDC = 30 độ. Quay hình chữ nhật quanh trục AD sẽ tạo thành một hình trụ (T). Hãy tính diện tích xung quanh của (T).
Bài 8. Cho một khối trụ, cắt khối trụ đó bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD, trong đó AB và CD thuộc hai đáy của khối trụ. Biết rằng AD = 12cm và góc ACD bằng 60 độ. Tính diện tích xung quanh của khối trụ.
Bài 9. Cho hình trụ có hai đáy là hình tròn (O) và (O'). Trên hai đường tròn lấy hai điểm A và B sao cho AB và mặt phẳng chứa đường tròn đáy tạo ra một góc bằng 45 độ và khoảng cách đến trục OO' bằng . Biết bán kính đáy bằng a, tính thể tích của khối trụ theo a.
Bài 10. Cho ABCD là một hình tứ diện đều cạnh a. Xét hình trụ có 1 đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC và có chiều cao bằng chiều cao hình tứ diện. Tìm diện tích xung quanh của hình trụ đó.
Bài 11. Một hình trụ có bán kính đáy r = 70cm, chiều cao hình trụ h = 20cm. Một hình vuông có các đỉnh nằm trên hai đường tròn đáy sao cho có ít nhất một cạnh không song song và không vuông góc với trục hình trụ. Khi đó cạnh của hình vuông bằng bao nhiêu?
Trên đây là toàn bộ nội dung bài viết của Luật Minh Khuê liên quan đến vấn đề: Công thức tính thể tích hình trụ: Ví dụ kèm bài tập và lời giải.
