Mục lục bài viết

1. Kiến thức lý thuyết về vectơ trong không gian
2. Kiến thức lý thuyết về quan hệ vuông góc trong không gian
3. Một số bài tập vận dụng có liên quan

1. Kiến thức lý thuyết về vectơ trong không gian

Quy tắc ba điểm: Với ba điểm bất kì A, B, C ta có: $\underset{AB}{\rightarrow}$ + $\underset{BC}{\rightarrow}$ = $\underset{AC}{\rightarrow}$

Quy tắc hình bình hành: Nếu OABC là hình bình hành thì $\underset{OA}{\rightarrow}$ + $\underset{OC}{\rightarrow}$ = $\underset{OB}{\rightarrow}$

Quy tắc phân tích một vectơ thành hiệu của hai vectơ cùng gốc: $\underset{AB}{\rightarrow}$ = $\underset{OB}{\rightarrow}$ − $\underset{OA}{\rightarrow}$ , với mọi điểm O.

I là trung điểm đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $\underset{IA}{\rightarrow}$ + $\underset{IB}{\rightarrow}$ = $\underset{0}{\rightarrow}$ ⇔ $\underset{OI}{\rightarrow}$ = $\frac{1}{2}(\underset{OA}{\rightarrow} + \underset{OB}{\rightarrow})$ , với mọi điểm O. (i)

G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi $\underset{GA}{\rightarrow}$ + $\underset{GB}{\rightarrow}$ + $\underset{GC}{\rightarrow}$ = $\underset{0}{\rightarrow}$ ⇔ $\underset{OG}{\rightarrow}$ = $\frac{1}{3}(\underset{OA}{\rightarrow} + \underset{OB}{\rightarrow} + \underset{OC}{\rightarrow})$ , với mọi điểm O. (ii) Lưu ý. Khi gặp tổng hai vectơ cùng gốc hoặc tổng ba vectơ cùng gốc ta thường sử dụng (i), (ii).

Quy tắc hình hộp (để cộng ba vectơ khác $\underset{0}{\rightarrow}$ không đồng phẳng): Cho hình hộp ABCD.A 0B 0C 0D0 . Khi đó: $\underset{AC'}{\rightarrow}$ = $\underset{AA'}{\rightarrow}$ + $\underset{AB}{\rightarrow}$ + $\underset{AD}{\rightarrow}$ .

$\underset{a}{\rightarrow}$ cùng phương $\underset{b}{\rightarrow}$ ( $\underset{b}{\rightarrow}$ $\neq$ $\underset{0}{\rightarrow}$ ) ⇔ ∃ k ∈ R : $\underset{a}{\rightarrow}$ = k $\underset{b}{\rightarrow}$ .

2. Kiến thức lý thuyết về quan hệ vuông góc trong không gian

- Hai đường thẳng vuông góc:

+ Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90°. Người ta kí hiệu hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau là a ⊥ b

+ Nếu $\underset{u}{\rightarrow}$ và $\underset{v}{\rightarrow}$ lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì: a ⊥ b ⇔ $\underset{u}{\rightarrow}$ . $\underset{v}{\rightarrow}$ = 0

+ Cho hai đường thẳng song song. Nếu một đường thẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia. Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

- Ba đường vuông góc:

+ Phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương vuông góc tới mặt phẳng (P) gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P).

+ Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P). Khi đó điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P).

- Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:

+ Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (α) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α). Kí hiệu d ⊥ (α).

+ Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy. Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba của tam giác đó.

- Hai mặt phẳng vuông góc:

+ Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90° Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau ta kí hiệu (α) ⊥ (β).

+ Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau. Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia. Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là một điểm nằm trong (P) thì đường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P).

+ Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.

3. Một số bài tập vận dụng có liên quan

Bài 1. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của của CD và DD'. Gọi G, G' lần lượt là trọng tâm của các tứ diện A'D'MN và BCC'D' . Đặt # » AB = #»a , # » AD = #»b , # » AA0 = #»c .

a) Hãy tính # » GG0 theo #»a , #»b , #»c .

b) Chứng minh rằng đường thẳng GG0 và mp(ABB0A 0 ) song song với nhau.

Hướng dẫn giải:

a) Vì G' là trọng tâm của tứ diện BCC'D' nên # » AG' = $\frac{1}{4}$ .( $\underset{AB}{\rightarrow}$ + $\underset{AC}{\rightarrow}$ + $\underset{AC'}{\rightarrow}$ + $\underset{AD'}{\rightarrow}$ ) và G là trọng tâm của tứ diện A'D'MN nên $\underset{AG}{\rightarrow}$ = $\frac{1}{4}$ .( $\underset{AA'}{\rightarrow}$ + $\underset{AD'}{\rightarrow}$ + $\underset{AM}{\rightarrow}$ + $\underset{AN}{\rightarrow}$ ).

Từ đó $\underset{GG'}{\rightarrow}$ = $\underset{AG'}{\rightarrow}$ − $\underset{AG}{\rightarrow}$ = ( $\underset{A'B}{\rightarrow}$ + $\underset{D'C}{\rightarrow}$ + $\underset{MC'}{\rightarrow}$ + $\underset{ND'}{\rightarrow}$ ) = $\frac{1}{4}$ . ( $\underset{a}{\rightarrow}$ - $\underset{c}{\rightarrow}$ + $\underset{a}{\rightarrow}$ - $\underset{c}{\rightarrow}$ + $\frac{1}{2}$ $\underset{a}{\rightarrow}$ + $\underset{c}{\rightarrow}$ + $\frac{1}{2}$ $\underset{c}{\rightarrow}$ ) = $\frac{1}{8}$ . (5 $\underset{a}{\rightarrow}$ − $\underset{c}{\rightarrow}$ ).

b) Theo câu a) ta có: $\underset{GG'}{\rightarrow}$ = $\frac{1}{8}$ . (5 $\underset{AB}{\rightarrow}$ − $\underset{AA'}{\rightarrow}$ ). Điều này chứng tỏ $\underset{AB}{\rightarrow}$ , $\underset{AA'}{\rightarrow}$ , $\underset{GG'}{\rightarrow}$ đồng phẳng.

Mặt khác G không thuộc mặt phẳng (ABB'A') nên đường thẳng GG' và mặt phẳng (ABB'A') song song với nhau.

Bài 2. Trong không gian cho tam giác ABC.

a) Chứng minh rằng nếu điểm M thuộc (ABC) thì có ba số x, y, z mà x + y + z = 1 sao cho $\underset{OM}{\rightarrow}$ = x $\underset{OA}{\rightarrow}$ + y $\underset{OB}{\rightarrow}$ + z $\underset{OC}{\rightarrow}$ , với mọi điểm O.

b) Ngược lại, nếu có một điểm O trong không gian sao cho $\underset{OM}{\rightarrow}$ = x $\underset{OA}{\rightarrow}$ + y $\underset{OB}{\rightarrow}$ + z $\underset{OC}{\rightarrow}$ , trong đó x + y + z = 1 thì điểm M thuộc mặt phẳng (ABC).

Hướng dẫn giải:

a) Vì M thuộc mặt phẳng (ABC) nên ba vectơ $\underset{CM}{\rightarrow}$ , # » CA, # » CB đồng phẳng. Do đó tồn tại các số x, y sao cho: $\underset{CM}{\rightarrow}$ = x $\underset{CA}{\rightarrow}$ + y $\underset{CB}{\rightarrow}$ ⇔ $\underset{OM}{\rightarrow}$ − $\underset{OC}{\rightarrow}$ = x( $\underset{OA}{\rightarrow}$ − $\underset{OC}{\rightarrow}$ ) + y( $\underset{OB}{\rightarrow}$ − $\underset{OC}{\rightarrow}$ ) ⇔ $\underset{OM}{\rightarrow}$ = x $\underset{OA}{\rightarrow}$ + y $\underset{OB}{\rightarrow}$ + (1 − x − y) $\underset{OC}{\rightarrow}$ .

Đặt z = 1 − x − y khi đó x + y + z = 1 và ta có điều phải chứng minh.

b) Giả sử $\underset{OM}{\rightarrow}$ = x $\underset{OA}{\rightarrow}$ + y $\underset{OB}{\rightarrow}$ + z $\underset{OC}{\rightarrow}$ , trong đó x + y + z = 1. Khi đó: $\underset{OM}{\rightarrow}$ = x $\underset{OA}{\rightarrow}$ + y $\underset{OB}{\rightarrow}$ + (1 − x − y) $\underset{OC}{\rightarrow}$ ⇔ $\underset{OM}{\rightarrow}$ − $\underset{OC}{\rightarrow}$ = x( $\underset{OA}{\rightarrow}$ − $\underset{OC}{\rightarrow}$ ) + y( $\underset{OB}{\rightarrow}$ − $\underset{OC}{\rightarrow}$ ) ⇔ $\underset{CM}{\rightarrow}$ = x $\underset{CA}{\rightarrow}$ + y $\underset{CB}{\rightarrow}$ . (*)

Vì $\underset{CA}{\rightarrow}$ và $\underset{CB}{\rightarrow}$ không cùng phương nên từ (*) suy ra $\underset{CM}{\rightarrow}$ , $\underset{CA}{\rightarrow}$ và $\underset{CB}{\rightarrow}$ đồng phẳng, do đó M thuộc mặt phẳng (ABC).

Lưu ý: Đối với câu a), khi M thuộc mặt phẳng (ABC) thì sẽ có rất nhiều lựa chọn những bộ ba vectơ đồng phẳng để suy ra điều cần chứng minh, chẳng hạn như: $\underset{MA}{\rightarrow}$ , $\underset{MB}{\rightarrow}$ , $\underset{MC}{\rightarrow}$ ; $\underset{CA}{\rightarrow}$ , $\underset{CB}{\rightarrow}$ , $\underset{CM}{\rightarrow}$ ; $\underset{MA}{\rightarrow}$ , $\underset{MB}{\rightarrow}$ , $\underset{AB}{\rightarrow}$ ...

Nhưng dễ thấy rằng tốt nhất nên chọn những bộ 3 vectơ đồng phẳng trong đó điểm M chỉ xuất hiện 1 lần và vectơ có chứa điểm M mang hệ số 1 như đã trình bày ở lời giải câu a).

Bài 3. Điều kiện cần và đủ để ba vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$ , $\underset{b}{\rightarrow}$ , $\underset{c}{\rightarrow}$ không đồng phẳng là:

A. Giá của chúng không cùng thuộc một mặt phẳng.

B. Giá của chúng cùng thuộc một mặt phẳng.

C. Giá của chúng không cùng song song với một mặt phẳng.

D. Giá của chúng cùng song song một mặt phẳng.

Đáp án đúng là C

Ba vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$ , $\underset{b}{\rightarrow}$ , $\underset{c}{\rightarrow}$ đồng phẳng khi và chỉ khi giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

Bài 4. Cho ba vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$ , $\underset{b}{\rightarrow}$ , $\underset{c}{\rightarrow}$ . Điều kiện nào sau đây không kết luận được ba vectơ đó đồng phẳng?

A. Một trong ba vectơ đó bằng $\underset{0}{\rightarrow}$ .

B. Có hai trong ba vectơ đó cùng phương.

C. Có một vectơ không cùng hướng với hai vectơ còn lại.

D. Có hai trong ba vectơ đó cùng hướng.

Đáp án đúng là C

Hai vectơ còn lại có thể không cùng phương nên ba vectơ có thể không đồng phẳng.

Bài 5. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. Vectơ không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.

B. Hai vectơ có độ dài bằng nhau và cùng phương thì hai vectơ đó bằng nhau.

C. Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và cuối của vectơ đó.

D. Độ dài vectơ là độ dài đoạn thẳng có hai đầu mút là điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

Đáp án đúng là B.

Hai vectơ có độ dài bằng nhau và cùng hướng thì hai vectơ đó bằng nhau.

Bài 6. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Ba vectơ đồng phẳng thì có giá song song với nhau.

B. Ba vectơ đồng phẳng thì có giá cùng nằm trong một mặt phẳng.

C. Nếu giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.

D. Nếu giá của ba vectơ đôi một vuông góc thì ba vectơ đó đồng phẳng.

Đáp án đúng là C

Nếu giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng thì ba vectơ đó đồng phẳng.

Bài 7. Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?

A. Cho hình chóp S.ABCD, nếu có $\underset{SB}{\rightarrow}$ + $\underset{SD}{\rightarrow}$ = $\underset{SA}{\rightarrow}$ + $\underset{SC}{\rightarrow}$ thì tứ giác ABCD là hình bình hành.

B. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu $\underset{AB}{\rightarrow}$ = $\underset{BC}{\rightarrow}$ .

C. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu $\underset{AB}{\rightarrow}$ + $\underset{BC}{\rightarrow}$ + $\underset{CD}{\rightarrow}$ + $\underset{DA}{\rightarrow}$ = $\underset{0}{\rightarrow}$ .

D. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu $\underset{AB}{\rightarrow}$ + $\underset{AC}{\rightarrow}$ = $\underset{AD}{\rightarrow}$

Đáp án đúng là A

Nếu $\underset{SB}{\rightarrow}$ + $\underset{SD}{\rightarrow}$ = $\underset{SA}{\rightarrow}$ + $\underset{SC}{\rightarrow}$ thì: $\underset{SB}{\rightarrow}$ − $\underset{SA}{\rightarrow}$ = $\underset{SC}{\rightarrow}$ − $\underset{SD}{\rightarrow}$ ⇔ $\underset{AB}{\rightarrow}$ = $\underset{DC}{\rightarrow}$ .

Suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành. Mệnh đề D sai vì: $\underset{AB}{\rightarrow}$ + $\underset{AC}{\rightarrow}$ = $\underset{AD}{\rightarrow}$ ⇔ $\underset{AB}{\rightarrow}$ = $\underset{AD}{\rightarrow}$ − $\underset{AC}{\rightarrow}$ ⇔ $\underset{AB}{\rightarrow}$ = $\underset{CD}{\rightarrow}$

=> Ngoài ra, quý bạn đọc có thể tham khảo thêm bài viết Cách tìm vecto chỉ phương của đường thẳng đơn giản, chi tiết nhất.