Mục lục bài viết

1. Quy tắc cộng xác suất

1.1. Các biến cố áp dụng trong quy tắc cộng xác suất - các quy tắc tính xác suất

- Biến cố hợp

Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến mottj phép thử T. Biến cố A hoặc B xảy ra được gọi là hợp của hai biến cố A và B, kí hiệu A \bigcup B

Nếu gọi ??? A là tập hợp mô tả các kết quả thuận lợi cho A, ????B là tập hợp mô tả các kết quả thuận lợi cho B, thì tập hợp các kết quả thuận lợi cho A \bigcup B là ????A \bigcup ????B

Tổng quát: Cho k biến cố A1, A2,..., Ak cùng liên quan đến một phép thử T. Biến cố có " it nhất một trong các biến cố A1, A2,.... Ak xảy ra" được gọi là hợp của k biến cố A1, A2,..., Ak kí hiệu  A1 \bigcup A2 \bigcup....\bigcupk.

- Biến cố xung khắc

Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến phép thử T. Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra.

Hai biến cố A và B là xung khắc khi và chỉ khi ????A ????B = Ø

- Biến cố đối 

Cho biến cố A khi đó biến cố " không xảy ra A " được gọi là biến cố đối của A, kí hiệu A

Hai biến cố đối nhau là hai biến cố xung khắc. Tuy nhiên hai biến cố xung khắc chưa chắc là hai biến cố đối nhau.

Cho biến cố A. Sắc xuất của biến có đối của A = 1 - P (A )

 

1.2. Công thức quy tắc cộng xác suất

Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xác suất để A hoặc B xảy ra là P ( A \bigcup B ) = P ( A ) + P ( B ).

Cho k biến cố A1, A2,.... A k đôi mội xung khắc , xác suất để ít nhất cho một trong các biến cố A1, A2,..., Ak xảy ra là P ( A1 \bigcup A2 \bigcup... \bigcup Ak ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) +.... + P ( A k )

 

2. Quy tắc nhân xác suất 

2.1. Các biến cố áp dụng trong quy tắc nhân xác suất

- Biến cố giao

Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến một phép thử T. Biến cố " cả A cà B cũng xảy ra " được gọi là giao của hai biến cố A và B, kí hiệu AB 

Nếu gọi ????A là tập hợp mô tả tất cả các kết quả thuận lợi cho A , ???? B là tập hơpk mô tả tất cả các kết quà thuận lợi cho, thì tâpj hợp các kết quả thuận lợi cho AB là A \bigcap B .

Tổng quát: cho k biến cố A1, A2,..., Ak cùng liên quan đến một phép thử T. Biến cố " Tất cả k biến cố A1, A2,... Ak đều xảy ra" được gọi là giao của k biến cố A1, A2,... Ak kiếu hiệu A1A2....Ak

- Biến cố độc lập

Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến một phép thử T. Hai biến cố A và B được gọi là độc lâoj với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới việc xảy ra của biến cố kia.

Nếu hai biến cố độc lập A , B độc lập với nhau thì A và B cũng độc lập với nhau.

Tổng quát: Cho k biến cố A1, A2,.... Ak cùng liên quan đến một phép thử T. k biến cố này được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của mỗi biến cố không làm ảnh hưởng tới việc xảy ra hay không xảy ra của các biến cố còn lại.

 

2.2. Công thức quy tắc nhân xác suất

Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì xác suất để A và B xảy ra là 

P ( AB ) = P ( A ). P ( B )

Cho k biến cố A1, A2,....., Ak độc lập với nhau thì:

P (A1A2....Ak ) = P ( A1). P ( A2 ) ...... P ( Ak )

 

3. Ví dụ minh họa 

Ví dụ 1: Cho một con súc sắc không cân đối, biết rằng khi gieo, xác suát mặt bốn chấm xuất hiện nhiều gấp 3 lần mặt khác , các mặt còn lại đồng khả năng xảy ra. Gieo con súc sắc đó 1 lần, tìm xác suất để xuất hiện mặt có số chấm là số chẵn.

Hướng dẫn giải:

Gọi Ai là biến cố: Xuất hiện mặt i chấm với i = 1, 2 , 3, 4, 5, 6

Ta có P ( A1) = P ( A 2) = P ( A3 ) = P ( A6 ) = P ( A6 ) = 1/ 3 P ( A4 ) = x

Do P ( A1 ) + P (A2 ) + P ( A3 ) + P ( A4 ) + P ( A5 ) + P ( A6 ) = 1

Suy ra 5x + 3x = 1 

Suy ra x = 1/8

Gọi A là biến cố : xuất hiện mặt có số chấm là số chẵn. suy ra A = A2 U A4 U A6

Vì các biến cố Ai xung khắc áp dụng quy tắc cộng xác suất  ta có P ( A ) = P ( A2 ) + P ( A4 ) + P ( A6) = 1/8 + 3/8 + 1/8 = 5/8

Ví dụ 2 : Hai cầu thủ sút phạt đền, Mỗi người đá một lần với xác suất ghi bàn tương ứng là 0.8 và 0,7. Tính xác suất để có it nhất một cầu thù ghi bàn

Hướng dẫn giải

Ta sử dụng các quy tắc tính xác suất - quy tắc nhân để giải bài toán

Gọi A là biến cố cầu thủ thứ nhất ghi bàn

B là biến cố cầu thủ thứ hai ghi bàn

X là biến cố có ít nhất một trong hai cầu thù ghi bàn.

Ta có X =( A \bigcap_{}^{} \bar{B}) U ( \bar{A} \bigcap_{}^{} B ) U ( A \bigcap_{}^{} B ) 

Suy ra P ( X ) = P ( A ) . P ( \bar{B } ) + P ( \bar{A } . P ( B )  + P ( A ) . P ( B )

                        = 0,8 . 0,3 + 0,2 . 0,7 + 0,8 . 0. 7

Ví dụ 3: Chọn ngẫu nhiên môt vé xổ số có 5 chữ số  được lập từ các chữ số từ 0 đến 9. Sử dụng các quy tắc tính xác suất để tính xác suất của biến cố X : Lấy được vé không có chữ số 2 hoặc chữ số 7

Hướng dẫn giải

Ta có n ( không gian mẫu ) = 25

Gọi là A là biến cố lấy được vé không có chữ số 2

B là biến cố lấy được vé không có chữ số 7

Suy ra n ( A ) = n ( B ) = 95 Suy ra P ( A ) = P ( B ) = 0,95

Số vé số trên đó không có chữ số 2 và 7 là 85 suy ra n ( A ) \bigcap n ( B ) = 85

Suy ra P ( A \bigcap B ) = 0.85

Do X = A U B suy ra P ( X ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( A U B ) = 0,8533

Ví dụ 4: Cho ba hộp bút giống nhau, mỗi hộp 7 bút chì khác nhau về màu sắc.

- Hộp thứ nhất: có 3 bút màu đỏ, 3 bút màu xanh, 2 bút màu đen

- Hộp thứ hai : có 2 bút màu đỏ, 2 bút màu xanh, 3 bút màu đen

- Hộp thứ ba : có  5 bút màu đỏ, 1 bút màu xanh, 1 bút màu đen

Lấy ngẫu nhiên một hôpk, rút hú họa hai bút màu xanh

Áp dụng các quy tắc tính xác suất, tính xác suất của xác suất B : lấy được hai bút không có màu đen.

Hướng dẫn giải

Gọi Xi là biến cố rút được hộp thứ i , i = 1, 2, 3 

Suy ra P ( Xi ) = 1/ 3

Gọi Ai kà biến cố lấy được hai bút màu xanh ở hộp thứ i , i = 1, 2, 3

Ta có P ( A1 ) =  P ( A2 ) = 1/ ^{_{7}^{3}\textrm{C}}, P ( A3 ) = 0

 Vậy P ( A ) = 1/3 x ( 2 x 1 /  ^{_{7}^{3}\textrm{C}} + 0 ) = 2/ 63

Gọi Bi là biến cố rút hai bút ở hộp thứ i không có màu đen

P ( B1 ) = ^{_{5}^{2}\textrm{C}}/ ^{_{7}^{2}\textrm{C}}, P ( B2 ) = ^{_{4}^{2}\textrm{C}}/ ^{_{7}^{2}\textrm{C}}, P ( B3 ) = ^{_{6}^{2}\textrm{C}}/ ^{_{7}^{2}\textrm{C}}

Vậy P ( Bi ) = P ( B1 ) + P ( B2 ) + P ( B3 ) = 31/63

 

4. Bài tập vận dụng

Bài 1: TRong một hộp đựng 6 viên bi đỏ, 8 viên bi xanh, 10 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính số phần tử của

a, không gian mẫu

b, Các biến cố:

- 4 viên lấy ra có đúng hai viên bi màu trắng

- 4 viên lấy ra có ít nhất một viên bi màu đỏ

- 4 viên bi lấy ra có đủ ba màu

Bài 2: Một xạ thủ bắn liên tục 4 phát đạn vào bia. Gọi Ak là các biến cố bắn trùng lần k với k = 1, 2, 2, 3, 4. Hãy biểu diễn các biến cố qua các biến cố A1, A2, A3, A4

A: lần thứ tư mới bắn trúng bia

B: bắn trúng bia ít nhất một lần

C: chỉ bắn trúng bia hai lần

>> Xem thêm: Đề cương ôn tập học kì 2 môn Toán lớp 11 mới nhất năm 2022 - 2023

Trên đây là bài viết của Luật Minh Khuê về chủ đề liên quan đến các quy tắc tính xác suất và bài tập vận dụng. Hy vọng bài viết hữu ích đối với quý bạn đọc. Trân trọng cảm ơn!