Mục lục bài viết

1. Cách tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton
2. Một số bài tập vận dụng liên quan
3. Hướng dẫn giải bài tập vận dụng liên quan

1. Cách tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton

Khi tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton thì chủ yếu học sinh sẽ gặp hai dạng bài toán sau đây:

Bài toán 1: Xác định hệ số của số hạng chứa $x^{m}$ trong khai triển với $(ax^{p} + bx^{q})^{m}$ với x > 0 ( p, q là các hằng số khác nhau). Cách giải:

Ta có: $(ax^{p} + bx^{q})^{n}$ = $\sum_{k = 0}^{n}$ $C_{n}^{k}$ $(ax^{p})^{n - k}$ . $(bx^{q})^{k}$ = $\sum_{k = 0}^{n}$ $C_{n}^{k}$ $a^{n - k}$ . $b^{k}$ . $x^{np - pk + qk}$

Số hạng chứa $x^{m}$ ứng với giá trị k thỏa mãn: np - pk + qk = m .

Từ đó tìm k = $\frac{m - np}{p - q}$

Vậy hệ số của số hạng chứa $x^{m}$ là $C_{n}^{k}$ $a^{n - k}$ . $b^{k}$ với giá trị k đã tìm được ở trên. Nếu k không nguyên hoặc thì trong khai triển không chứa $x^{m}$ , hệ số phải tìm bằng 0.

Có nghĩa là trong trường hợp đề bài yêu cầu tìm số hạng không chứa x thì m = 0

Bài toán 2. Xác định hệ số của số hạng chứa $x^{m}$ trong khai triển P (x) = $(a + bx^{p} + cx^{q})^{n}$ được viết dưới dạng ao + a1x + ... a2n. $x^{2n}$ .

Ta làm như sau

* Viết P (x) = $(a + bx^{p} + cx^{q})^{n}$ = $\sum_{k = 0}^{n}$ $C_{n}^{k}$ $a^{n - k}$ . $(bx^{p} + cx^{q})^{k}$ ;

* Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng $(bx^{p} + cx^{q})^{k}$ thành một đa thức theo luỹ thừa của x.

* Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của $x^{m}$ .

2. Một số bài tập vận dụng liên quan

Bài 1. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của $(2x^{2} - \frac{3}{x})^{n}$ ( x ≠ 0 ) , biết rằng 1. C 1 n + 2. C 2 n + 3. C 3 n + . . . + n . C n n = 256 n ( C k n là số tổ hợp chập k của n phần tử).

A. 4889888

B. 48988

C. 489888

D. 49888

Bài 2. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton $(x^{2} - \frac{2}{x})^{n}$ biết rằng $C_{n}^{2}$ = 36.

Bài 3. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newtơn của P ( x ) = $(x^{2} + \frac{1}{x})^{15}$

A. 4000

B. 2700

C. 3003

D. 3600

Bài 4. Xác định hạng tử không chứa x trong khai triển của $(x + \frac{2}{x})^{4}$ .

Bài 5. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức newton của $(x^{4} + \frac{3}{x^{2}})^{9}$ (x khác 0)

Bài 6. Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau: f(x) = (x − 2/x)12 (x ≠ 0)

A. 59136

B. 213012

C. 12373

D. 139412

Bài 7. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển $(xy^{2} - \frac{1}{xy})^{8}$

A. 70 y4 .

B. 60 y4 .

C. 50 y4 .

D. 40 y4

Bài 8. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton $(x - \frac{2}{x^{2}})^{21}$ , ( x ≠ 0 )

A. $2^{7}$ . 21C7

B. $2^{8}$ . 21C8

C. - $2^{8}$ . 21C8

D. - $2^{7}$ . 21C7

Bài 9. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển ( 2 3 √ x − 3 √ x ) 10 , x > 0 .

Bài 10. Xác định hạng tử không chứa x trong khai triển của $(x + \frac{2}{x})^{4}$ .

3. Hướng dẫn giải bài tập vận dụng liên quan

Bài 1.

Phương pháp giải:

- Xét tổng $(1 + x)^{n}$ , khai triển nhị thức Niu-tơn và lấy đạo hàm hai vế.

- Cho x = 1 tìm n.

- Khai triển nhị thức Niu-tơn tổng $(2x^{2} - \frac{3}{x})^{9}$ và tìm số hạng không chứa x.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Xét tổng $(1 + x)^{n}$ = n ∑ k = 0 $C_{n}^{k}$ $x^{k}$ .

Lấy đạo hàm hai vế ta được n $(1 + x)^{n - 1}$ = n ∑ k = 0 k $C_{n}^{k}$ $x^{k - 1}$

Với x = 1 ta có: n .2 n − 1 = 1. C 1 n + 2 C 2 n + . . . + n C n n ⇒ n .2 n − 1 = 256 n ⇔ $2^{n - 1}$ = 256 = $2^{8}$ ⇔ n − 1 = 8 ⇔ n = 9

Khi đó ta có $(2x^{2} - \frac{3}{x})^{9}$ = 9 ∑ k = 0 $C_{9}^{k}$ $(2x^{2})^{9 - k}$ $(\frac{-3}{x})^{k}$ = 9 ∑ k = 0 $C_{9}^{k}$ $2^{9 - k}$ . $(-3)^{k}$ . $(x)^{18 - 3k}$ .

Số hạng không chứa x ứng với 18 − 3 k = 0 ⇔ k = 6.

Vậy số hạng không chứa x là $C_{9}^{6}$ . $2^{3}$ . $(-3)^{6}$ = 489888 .

Bài 2.

Hướng dẫn giải:

Điều kiện x ≠ 0, n ∈ N∗; n ≥ 2.

Ta có: $C_{n}^{2}$ = 36 ⇔ n! : (n−2)!.2! = 36 ⇔ n(n−1) : 2 = 36 ⇔ n2 − n − 72 = 0 ⇔ n = -8 hoặc n = 9.

n = -8 (loại); n = 9 (thoả mãn)

Suy ra P(x) = $(x^{2} - \frac{2}{x})^{9}$

Số hạng tổng quát trong khai triển là: Tk+1 = $C_{9}^{k}$ . $(x^{2})^{9 - k}$ . $({\frac{-2}{x}})^{k}$ k = (−1)k. $C_{9}^{k}$ . 2k. ${x}^{18 - 3k}$ (k ∈ N; k ≤ 9).

Số hạng không chứa x ⇔ 18 − 3k = 0 ⇔ k = 6 (TM).

Vậy số hạng cần tìm là (−1)6. $C_{9}^{6}$ . 26 = 5376.

Bài 3.

Phương pháp giải:

- Áp dụng khai triển hệ thức Niutơn: $(a + b)^{n}$ = n ∑ k = 0 C k n . $a^{k}$ . $b^{n - k}$ .

- Số hạng không chứa x là số hạng ứng với số mũ của x bằng 0.

Giải chi tiết:

Ta có P ( x ) = $(x^{2} + \frac{1}{x})^{15}$ = 15 ∑ k = 0 C k 15 . $(\frac{1}{x})^{15}$ . $x^{2(15 - k)}$ = 15 ∑ k = 0 C k 15 . $x^{30 - 3k}$

Khi đó số hạng không chứa x tức là 30 − 3 k = 0 ⇔ k = 10.

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển trên là: $C_{15}^{10}$ = 3003.

Đáp án đúng là C.

Bài 4.

Hướng dẫn giải:

Ta có: ( x + 2 x ) 4 = C 0 4 . x 4 + C 1 4 . x 3 . 2 x + C 2 4 . x 2 . ( 2 x ) 2 + C 3 4 . x . ( 2 x ) 3 + C 4 4 . ( 2 x ) 4 = x 4 + 4 x 3 . 2 x + 6 x 2 . ( 2 x ) 2 + 4 x . ( 2 x ) 3 + ( 2 x ) 4 = x 4 + 8 x 2 + 24 + 32 x 2 + 16 x 4

Vậy, hạng tử không chứa x là 24.

Bài 5.

Giải thích các bước giải:

Số hạng tổng quát trong khai triển $(x^{4} + \frac{3}{x^{2}})^{9}$ có dạng: C k 9 ( x 4 ) 9 − k $(\frac{3}{x^{2}})^{k}$ ( k ⩽ 9 ; k ∈ N ) = 3 k C k 9. $x^{36- 6k}$

Số hạng không chứa x ứng với k thỏa mãn phương trình: 36 − 6 k = 0 ⇔ k = 6 (nhận)

Vậy số hạng không chứa x là: $3^{6}$ . $C_{9}^{6}$ = 61236

Bài 6.

Đáp án đúng là A.

Ta có: f (x) = $(x - 2.x^{-1})^{12}$ = ∑k=012 Ck12. $x^{12 - k}$ .(−2x−1)k = ∑k =012 Ck12. (−2)k. $x^{12 - k}$

Số hạng không chứa x ứng với giá trị k thỏa mãn: 12 − 2k = 0 ⇔k = 6

⇒ số hạng không chứa x là: C612. 26 = 59136.

Bài 7.

Theo khai triển nhị thức Newton, ta có $(xy^{2} - \frac{1}{xy})^{8}$ = 8 ∑ k = 0 C k 8 . ( x y 2 ) 8 − k . ( − 1 x y ) k = 8 ∑ k = 0 C k 8 . x 8 − k . y 16 − 2 k . ( − 1 ) k . ( x y ) − k = 8 ∑ k = 0 C k 8 . ( − 1 ) k . x 8 − 2 k . y 16 − 3 k .

Số hạng không chứa x ứng với 8 − 2 k = 0 ⇔ k = 4 → Số hạng cần tìm là C 4 8 . ( − 1 ) 4 . y 4 = 70 y4 .

Đáp án cần chọn là: A

Bài 8.

Đáp án đúng là D

Ta có số hạng tổng quát là T k + 1 = C k n a n − k b k = C k 21 x 21 − k . ( − 2 x 2 ) k = ( − 2 ) k C k 21 x 21 − 3 k . Số hạng không chứa x ứng với 21 − 3 k = 0 ⇔ k = 7 .

Vậy hệ số cần tìm là − $2^{7}$ C 7 21 .

Bài 9.

Ta có ( 2 3 √ x − 3 √ x ) 10 = ( 2. x 1 3 − 3. x − 1 2 ) 10 .

Số hạng tổng quát trong khai triển là C k 10 ( 2 x 1 3 ) 10 − k . ( − 3 x − 1 2 ) k = ( − 1 ) k .2 10 − k .3 k . x 10 − k 3 . x − k 2 = ( − 1 ) k C k 10 .2 10 − k .3 k . x 20 − 5 k 6 .

Số hạng không chứa x ứng với 20 − 5 k = 0 ⇔ k = 4

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là ( − 1 ) 4 C 4 10 .2 6 .3 4 = 210.64.81 = 1088640

Bài 10.

Ta có: $(x + \frac{2}{x})^{4}$ = $C_{4}^{0}$ . x 4 + $C_{4}^{1}$ . x 3 . 2 x + $C_{4}^{2}$ . x 2 ( 2 x ) 2 + $C_{4}^{3}$ . x . ( 2 x ) 3 + $C_{4}^{4}$ . ( 2 x ) 4 = x 4 + 4 x 3 . 2 x + 6 x 2 . ( 2 x ) 2 + 4 x . ( 2 x ) 3 + ( 2 x ) 4 = x 4 + 8 x 2 + 24 + 32 x 2 + 16 x 4