Mục lục bài viết

I. Tóm tắt lí thuyết của hàm số lượng giác cơ bản
1. Hàm số y = sin(x)
2. Hàm số y = cos(x)
3. Hàm số y = tan(x)
4. Hàm số y = cot(x)
II. Phương pháp tìm tập xác định của hàm số lượng giác
III. Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số lượng giác

I. Tóm tắt lí thuyết của hàm số lượng giác cơ bản

1. Hàm số y = sin(x)

- Tập xác định: D = $\mathbb{R}$

- Tập giá trị [-1; 1] hay $-1\le \operatorname{sinx}\le 1,\forall x\in \mathbb{R}$

- Hàm số là hàm tuần hoàn với chu kì T = $2\pi$

- Hàm số y = $\sin{x}$ là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

- Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi, \dfrac{\pi}{2}+k2\pi\)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $(\begin{pmatrix} \dfrac{\pi}{2}+k2\pi, \dfrac{3\pi}{2}+k2\pi\end{pmatrix}$

2. Hàm số y = cos(x)

- Tập xác định: D= $\mathbb{R}$

- Tập giá trị [-1; 1] hay $-1\le \operatorname{cosx}\le 1,\forall x\in \mathbb{R}$

- Hàm số là hàm tuần hoàn với chu kì T = $2\pi$

- Hàm số y = $\cos{x}$ là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng

- Hàm số y = $\cos{x}$ nghịch biến trên các khoảng $\begin{pmatrix} k2\pi, \pi+k2\pi\end{pmatrix}$ , đồng biến trên các khoảng $\begin{pmatrix} -\pi+k2\pi, k2\pi\end{pmatrix}$

3. Hàm số y = tan(x)

- Tập xác định: D = $\mathbb{R}\setminus \left \{ \dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in \mathbb{Z} \right \}$

- Tập giá trị: $\mathbb{R}$

- Hàm số là hàm tuần hoàn với chu kì T = $\pi$

- Hàm số là hàm số lẻ

- Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $\begin{pmatrix} -\dfrac{\pi}{2}+k\pi, \dfrac{\pi}{2}+k\pi\end{pmatrix}$

- Đồ thị nhận mỗi đường thẳng $x= \dfrac{\pi}{2}+k2\pi$ là một đường tiệm cận

4. Hàm số y = cot(x)

- Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ k\pi ,k\in \mathbb{Z} \right\}$

- Tập giá trị: $\mathbb{R}$

- Hàm số là hàm tuần hoàn với chu kì $T=\pi$

- Hàm số Là hàm số lẻ

- Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $\begin{pmatrix} k\pi, \pi+k\pi\end{pmatrix}$

- Đồ thị nhận mỗi đường thẳng $x=k\pi,k\in\setminus\mathbb{Z}$ là đường tiệm cận.

II. Phương pháp tìm tập xác định của hàm số lượng giác

- Hàm số $y=\sqrt{f(x)}$ có nghĩa khi và chỉ khi f(x)\geq0 và f(x) tồn tại

- Hàm số $y=\dfrac{1}{f(x)}$ có nghĩa khi và chỉ khi $f(x)\neq0$ và f(x) tồn tại

- $\sin{u(x)}\neq0\Leftrightarrow u(x)\equiv k\pi,k\in\mathbb{Z}$

- $\cos{x}\neq0\Leftrightarrow u(x)\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}$

III. Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm số lượng giác

Bài tập 1: Tìm tập xác định của hàm số: $y=\tan \left( x-\frac{\pi }{6} \right)$

Hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm số là: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \frac{2\pi }{3}+k\pi \right\}\left( k\in \mathbb{Z} \right)$

Bài tập 2: Tìm tập xác định của hàm số $y=\frac{1}{\sin 2x}$

Điều kiện: $\sin2x\neq0\Leftrightarrow 2x \neq k\pi \Leftrightarrow x \neq \dfrac{k \pi}{2},(k \in \mathbb{Z})$

Bài tập 3: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) y = cosx + cos2x

b) y = tanx + cotx

Lời giải chi tiết:

A, Ta có tập xác định của hàm số là D = R

Sin (-x) + cos (-x) = - sin x + cos x. Vậy hàm số đã cho là hàm không chẵn, không lẻ

B, Ta có tập xác định của hàm số D - R\{kpi/100, k thuộc Z)

Sin(-2x) + cot(-100x) = -sin2x - cot(100x). Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ

Bài tập 4: Xét tính chẵn lẻ của hàm số

y = cosx + sinx.

y = sin2x + cot100x

Lời giải chi tiết:

A, Ta có tập xcas định của hàm số là D = R

Cos(-x) + cos(-2x) = cosx + cos2x. Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn

B, Ta có tập xác định của hàm số D = R\{k pi/2, k thuộc Z}

Tan(-x) + cot(-x) = - tanx - cotx. Vật hàm số đã cho là hàm số lẻ.

Bài tập 5: Hàm số y= 2tan ( 2x-100) có chu kì là?

Giải:

Ta có hàm số y= k.tan( ax+ b) có chu kì: T= π/|a|

Áp dụng hàm số y= 2tan( 2x - 100) chu kì là: T= π/2

Bài tập 6: Tìm chu kì của hàm số y= 10π cos⁡(π/2-20 x)?

Giải:

Ta có hàm số y= k.cos(ax+ b) có chu kì: T= 2π/|a| .

Chu kì của hàm số y = 20 π.cos⁡(π/2-20 x) là:

T= 2π/|-20| = π/10

Bài tập 7: Tìm chu kì của hàm số y= 2sin2x. Sin4x

Giải:

Ta có: y = 2. sin2x . sin4x = cos 6x + cos2x

Chu kì của hàm số y = cos6x là T1= 2π/6= π/3

Chu kì của hàm số y= cos2x là T2= 2π/2= π

⇒ Vậy chu kì của hàm số đã cho là: T= π

Bài tập số 8: Tìm tập xác định của hàm số sau:

A, y = $\frac{1-cosx}{sinx}$

B, y = $\frac{1-sinx}{1 + cos x}$

Lời giải chi tiết:

Giải

a. Điều kiện: sinx ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ, k ∈ Z.

Vậy, ta được tập xác định của hàm số là D = R \{kπ, k ∈ Z}.

b. Điều kiện: 1 + cosx ≠ 0 ⇔ cosx ≠ -1 ⇔ x ≠ π + 2kπ, k ∈ Z.

Vậy, ta được tập xác định của hàm số là D = R \{π + 2kπ, k ∈ Z}.

Bài tập số 9: Tìm tập xác định của hàm số sau:

A, y = $\sqrt{3 - sinx}$

B, y = $\frac{1}{\sqrt{1- cosx}}$

Lời giải chi tiết:

a. Điều kiện: 3 – sinx ⇒ 0.

Vì |sinx| ≤ 1 nên 3 – sinx ⇒ 2 với mọi x.

Vậy, ta được tập xác định của hàm số là D = R .

b. Điều kiện: 1 – cosx > 0 ⇔ cosx < 1 ⇔ cosx ≠ 1 ⇔ x ≠ 2kπ, k ∈ Z.

Vậy, ta được tập xác định của hàm số là D = R \{2kπ, k ∈ Z}.

Bài tập số 10: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a. y = sinx.

b. y = cos(2x).

c. y = tanx + cos(2x + 1).

Hướng dẫn giải

a. Tập xác định D = R. Lấy x ∈ D thì – x ∈ D. Ta có: sin (-x) = -sinx. Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

b. Tập xác định D = R. Lấy x ∈ D thì – x ∈ D. Ta có: cos(-2x) = cos(2x). Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

c. Lấy x ∈ D thì – x ∈ D. Ta có:

tan(-x) + cos(-2x + 1) = -tanx + cos(-2x + 1).

Vậy hàm số đã cho không chẵn, không lẻ.

Một số bài tập liên quan khác

Bài 1: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của các hàm số sau:

a) y = cos(-2x +4)

b) y = tan(7x + 5)

Lời giải chi tiết:

a) Hàm số đã cho làm hàm tuần hoàn với chu kì T = 2π/2 = π

b) Hàm số đã cho làm hàm tuần hoàn với chu kì T =π /7.

Bài 2: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của hàm số sau: y = sinx + sin3x

Lời giải chi tiết:

Ta có y = sinx là hàm tuần hoàn với chu kì T = 2 π và hàm số y = sin3x là hàm tuần hoàn với chu kì T = (2 π)/3. Vậy hàm số đã cho là hàm tuần hoàn với chu kì T = 2 π .

Bài 3: Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở của các hàm số sau: y = cosx + 2sin5x

Lời giải chi tiết:

Làm tương tự bài 2 và sử dụng chú ý phần tính tuần hoàn và chu kì, ta có hàm số đã cho là hàm tuần hoàn với chu kì T = 2 π .

Bài 4: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) y = cosx + cos2x

b) y = tanx + cotx.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có tập xác định của hàm số là D = R.

cos(-x) + cos(-2x) = cosx + cos2x. Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

b) Ta có tập xác định của hàm số là D = R\{k π/2, k ∈ Z}.

tan(-x) + cot(-x) = - tanx – cotx. Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

Bài 5: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) y = cosx + sinx.

b) y = sin2x + cot100x

Lời giải:

a) Ta có tập xác định của hàm số là D = R.

sin (-x) + cos(-x) = - sinx + cosx. Vậy hàm số đã cho là hàm không chẵn, không lẻ.

b) Ta có tập xác định của hàm số là D = R\{k π /100, k ∈ Z}.

sin(-2x) + cot(-100x) = - sin2x – cot(100x). Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

Hàm số lượng giác (trigonomety) có nhiều ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực khác nhau, bao gồm: Kiến trúc (Trong kiến trúc, hàm số lượng giác được sử dụng để tính toán các góc, xác định các chỉ số trong các thiết kế, kiến trúc cơ bản, vị trí của các cấu trúc, và nhiều thủ thuật khác); Khoa học (Trong vật lý và các lĩnh vực khoa học khác, hàm số lượng giác được sử dụng để mô tả dao động, sự biến động của con sóng, ảnh hưởng của dao động và vô số các hiện tượng từ cơ bản tới phức tạp). hay Kỹ thuật và công nghệ (trong kỹ thuật và công nghệ, hàm số lượng giác được sử dụng rộng rãi trong các áp dụng như xử lý ảnh, máy ảnh, kỹ thuật điện tử, máy móc công nghiệp), Vì vậy việc nắm được cách tìm tậ xác định của hàm số lượng giác giải quyết và ứng dụng được nhiều vấn đề trong cuộc sống.

Trên đây là bài viết của Luật Minh Khuê về cách tìm tập xác định của hàm số lượng giác. Hy vọng bài viết trên đây đã mang đến thông tin và kiến thức hữu ích cho bạn đọc. Từ đo, bạn đọc nắm vững kiến thức và có thể vậnd ụng giải quyết tốt các bài tập tượng tự và liên quan. Luật Minh Khuê xin trân trọng cảm ơn!