Mục lục bài viết

I. Công thức tính tỉ số lượng giác của góc nhọn
B. Bài tập vận dụng liên quan

I. Công thức tính tỉ số lượng giác của góc nhọn

1. Cho góc nhọn α, từ một điểm bất kì trên một cạnh của góc α, kẻ đường vuông góc với cạnh kia.

Công thức, cách tính tỉ số lượng giác của góc nhọn dễ hiểu nhất

Khi đó:

+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc α, kí hiệu là sinα.

+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc α, kí hiệu là cosα.

+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc α, kí hiệu là tanα.

+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc α, kí hiệu là cotα.

sinα = cạnh đối : cạnh huyền = $\frac{AB}{BC}$

cosα = cạnh kề : cạnh huyền = $\frac{AC}{BC}$

tanα = cạnh đối : cạnh kề = $\frac{AB}{AC}$

cotα = Cạnh kề : cạnh đối = $\frac{AC}{AB}$

2. Nếu hai góc phụ nhau (có tổng số đo bằng 900) thì: sin góc này bằng cos góc kia, tan góc này bằng cot góc kia

• Xác định cạnh đối, cạnh kề, cạnh huyền, viết tỉ số lượng giác theo định nghĩa

• Tính cạnh còn lại nhờ hệ thức Py – ta – go hoặc hệ thức về cạnh, đường cao

• Tính tỉ số lượng giác còn lại theo định lí tỉ số lượng giác hai góc phụ nhau

B. Bài tập vận dụng liên quan

Bài 1: Rút gọn và tính biểu thức sau:

A = sin15° – sin60° + cos30° – cos75° + 5

Hướng dẫn giải:

A = sin15° – sin60° + cos30° – cos75° + 5

= (sin15° – cos75°) + (cos30° – sin60°) + 5

Áp dụng tính chất tỉ số lượng giác ta có:

15° + 75° = 90° ⇒ sin15° = cos75°

30° + 60° = 90° ⇒ sin60° = cos30°

⇒ (sin15° – cos75°) + (cos30° – sin60°) + 5

= 0 + 0 + 5

= 5

Bài 2: Rút gọn và tính biểu thức sau:

A = $sin^{2}82^{o}$ + cot24°.cot66° + cos²82°

Hướng dẫn giải:

A = $sin^{2}82^{o}$ + cot24°.cot66° + $cos^{2}82^{o}$

= ( $sin^{2}82^{o}$ + $cos^{2}82^{o}$ + cot24°.cot66°

Áp dụng tính chất tỉ số lượng giác góc nhọn ta có:

$sin^{2}82^{o}$ + $cos^{2}82^{o}$ ° = 1

24° + 66° = 90° ⇒ cot66° = tan24°

⇒ cot24°.cot66° = tan24°.cot24° = 1

⇒ A = 1 + 1 = 2

Bài 3: Cho tam giác ABC với góc ABC bằng 90 độ. Có AC = 10cm, cosBAC = 1/2. Tính sinBAC và độ dài cạnh AB và BC.

Lời giải chi tiết:

$sin^{2}BAC$ + $cos^{2}BAC$ = 1

suy ra $sin^{2}BAC$ = 1 - $cos^{2}BAC$

Suy ra sinBAC = $\sqrt{1 -cos^{2}BAC}$

Thay cosBAC = $\frac{1}{2}$ ta có:

=> sinBAC = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Do sinBAC > 0 vì góc BAC nhọn

Ta lại có cosBAC = AB : AC

Suy ra AB = AC . cosBAC

Thay cosBAC = $\frac{1}{2}$ , AC = 10 cm ta có:

AB = 10 . 1/2 = 5 (cm)

+) MÀ sinBAC = BC : AC

Suy ra BC = AC . sinBAC

Thay số sinBAC = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ , AC = 10 cm, ta có

BC = 10 . $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $5\sqrt{3}$ (cm)

Bài 4: Cho tam giác ABC với góc BAC bằng 90 độ . Biết AB = 6cm, AC = 8cm. Tính sinABC, cos ABC, tan ABC, cotABC

Hướng dẫn giải:

+) Áp dụng định lý Py - ta - go ta có: $BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}$

Thay số AB = 6cm, AC = 8cm ta có:

$BC^{2} =6^{2} +8^{2}$

Suy ra $BC^{2}$ = 100 (cm) => BC = 10 (cm)

Áp dụng tỉ số lương giác của góc nhọn ta có:

sinABC = AC : BC = $\frac{4}{5}$

cosABC = AB : BC = $\frac{3}{5}$

tanABC = AC : AB = $\frac{4}{3}$

cotABC = AB : AC = $\frac{3}{4}$

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại C, trong đó AC = 0,9m, BC = 1,2 m. Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc A.

Lời giải chi tiết:

Theo định lý Py - ta - go ta có: $AB^{2} = AC^{2} + BC^{2} = 0,9^{2} + 1,2^{2}$ = 2,25

=> AB = 1,5

SinB = AC : AB = 0,9 : 1,5 = 0,6

cosB = BC : AB = 1,2 : 1,5 = 0,8

tanB = AC : BC = 0,9 : 1,2 = 0,75

CotB = 1,2 : 0,9 = $\frac{4}{3}$

Vì góc A và góc B là hai góc phụ nhau, nên ta có sin góc này bằng cos góc kia, tan góc này bằng cot góc kia:

CosA = 0,6

SinA = 0,8

CotA = 0,75

tanA = $\frac{4}{3}$

Bài 5:

Dựng góc nhọn α, biết:

a) sin α = 2/3

Vì sin α = đối/huyền nên ta cần vẽ các cạnh đối và cạnh huyền có tỉ lệ là 2/3.

Ta dựng một tam giác vuông có cạnh góc vuông dài 2 cm, cạnh huyền dài 3 cm, góc đối diện với cạnh góc vuông đó là góc α.

b) cos α = 0,6

cos α = 0,6 = 3/5 = kề/ huyền nên ta cần vẽ các cạnh kề và cạnh huyền có tỉ lệ là 3/5

Ta dựng một tam giác vuông có cạnh góc vuông dài 3 cm, cạnh huyền dài 5 cm, góc kề với cạnh góc vuông vừa vẽ là góc α.

c) tan α = 3/4

tan α = đối/kề nên ta cần vẽ các cạnh đối và kề có tỉ lệ là 3/4.

Ta dựng một tam giác vuông có 1 cạnh góc vuông là 3 cm, 1 cạnh góc vuông là 4 cm, góc đối diện với cạnh góc vuông dài 3 cm là góc α .

d) cot α = 3/2

cot α = kề/đối nên ta cần vẽ các cạnh kề và đối có tỉ lệ 3/2.

Ta dựng một tam giác vuông có 1 cạnh góc vuông là 3 cm, 1 cạnh góc vuông là 2 cm, góc đối diện với cạnh góc vuông dài 2 cm là góc α .

Bài 6: Cho tam giác ABC có AB = 26 cm, AC = 25 cm, đường cao AH = 24 cm. Tính cạnh BC

Bài 7: Cho tam giác ABC cân(AB = AC) và đường tròn tâm O tiếp xúc với hai cạnh AB và AC lần lượt ở B và C. Từ điểm M trên cung nhỏ BC (M khác B và C) kẻ MD, ME, MF lần lượt vuông góc với các đường thẳng BC, CA, AB

A, Chứng minh các tứ giác MDBF, MBCE nội tiếp

B, Chứng minh các tam giác DBM và ECM đồng dangj

C, Cho góc BAC = 60 độ à AB = 2, tình bán kính đường tròn tâm O

Bài 8: Cho hình thang ABCD, biết đáy AB = a và CD = 2a; cạnh bên AD = a , góc A = 90 độ

a, Chứng minh tanC = 1

B, Tính tỉ số diện tích tam giác DBC và diện tích hình thang ABCD

C, Tình tỉ số diện tích tam giác ABC và diện tích tam giác DBC

Bài 9 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết cos B = 0,8, hãy tính các tỉ số lượng giác của góc C.

Hướng dẫn giải:

Ta nhớ rằng góc B và góc C là hai góc phụ nhau. Vì thế sin C = cos B = 0,8.

Mà theo bài 14, sin² C + cos² C = 1

Vì thế cos² C = 1 – 0,8 ² = 0,36

cos C = 0,6

tan C = sin C/cos C = 4/3

cot C = 1/tan C = 3/4

Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Hãy tính sin B và sin C và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ tư trong các trường hợp sau:

a) AB = 13 cm, BH = 0,5 dm;

b) BH = 3 cm, CH = 4 cm

Bài 11: Cho tam giác ABC vuông tại A, góc C = 30º, BC = 10 cm.

a) Tính AB, AC

b) Kẻ từ A các đường thẳng AM,AN lần lượt vuông góc với các đường phân giác trong và ngoài của góc B. Chứng minh rằng MN = AB.

c) Chứng minh các tam giác MAB và ABC đồng dạng. Tỉ số đồng dạng.

Bài 12: Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần:

A, sin78, cos14, sin47, cos87

B, tg73, cot25, tan62, cot38

Hướng dẫn giải:

a) Ta sẽ đổi tất cả sang 1 loại tỉ số lượng giác: cos 14º = sin 76º ; cos 87º = sin 3º

Vì a tăng từ 0º đến 90º thì sin a tăng, nên ta có:

sin 3º < sin 47º < sin 76º < sin 78º

b) Ta sẽ đổi tất cả sang 1 loại tỉ số lượng giác: cot 25º = tan 65º ; cot 38º = tan 52º

Vì a tăng từ 0º đến 90º thì tan a tăng, nên ta có:

Vì a tăng từ 0º đến 90º thì sin a tăng, nên ta có:

tan 52 º < tan 62 º < tan 65 º < tan 73 º

Trên đây là bài viết của Luật Minh Khuê, hy vọng bài viết trên đã mang đến thông tin hữu ích cho bạn đọc, giúp bạn củng cố và nắm chắc kiến thức về nội dung "Công thức, cách tính tỉ số lượng giác của góc nhọn". Từ đó, bạn có thể giải quyết, ứng dụng và vận dụng tốt vào giải quyết các bài tập lượng giác của góc nhọn và các bài tập liên quan. Xin trân trọng cảm ơn!