Mục lục bài viết

1. Hàm số nào sau đây luôn đồng biến trên R
2. Lý thuyết liên quan đến hàm số luôn đồng biến trên R
3. Các dạng bài tập về hàm số luôn đồng biến trên R

1. Hàm số nào sau đây luôn đồng biến trên R

Câu hỏi: Hàm số nào sau đây luôn đồng biến trên R

A. y = $\frac{x-1}{x+2}$

B. y = x³ + 4x² + 3x - 1

C. y = x⁴ - 2x² - 1

D.y = $\frac{1}{3}$ x³ - $\frac{1}{2}$ x² + 3x+1

Đáp án:

- Tập xác định của hàm số

y= $\frac{x-1}{x+2}$ là R\{−2}. $\ \{- 2\} .$ Do đó loại A.

- Hàm trùng phương luôn có khoảng đồng biến, nghịch biến nên loại C.

- Xét hàm y = x³ + 4x² + 3x – 1

=> y' = 3x²+ 8x + 3

Đạo hàm của hàm số không lớn hơn 0 với mọi x $\epsilon$ $\mathbb{R}$ . Do đó loại B.

- Xét hàm: y=1/3x³−1/2x²+3x+1

=> y'=x²−x+3>0 với mọi x $\epsilon$ $\mathbb{R}$

Suy ra hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ . Do đó D đúng

Chọn D.

2. Lý thuyết liên quan đến hàm số luôn đồng biến trên R

Trong toán học, hàm số đóng một vai trò quan trọng trong việc mô tả các mối quan hệ số học và biến đổi giữa các biến số. Trong loạt các hàm số này, một khía cạnh quan trọng mà ta cần xem xét là tính chất biến thiên của hàm số trên một khoảng xác định. Chúng ta sẽ tìm hiểu về các hàm số đồng biến trên một khoảng nhất định và lý do tại sao điều này quan trọng.

Một hàm số được gọi là đồng biến trên R nếu giá trị của hàm số tăng khi giá trị của biến đổi tăng. Nghĩa là nếu x1 và x2 là hai số bất kỳ thuộc tập R (tập số thực), và x1 < x2, thì f(x1) < f(x2).

Một hàm số đồng biến là một loại hàm số mà khi giá trị của biến số độc lập tăng, thì giá trị của hàm số cũng tăng theo cùng một hướng. Tức là, nếu hai giá trị của biến số độc lập có mối quan hệ sao cho giá trị thứ nhất nhỏ hơn giá trị thứ hai, thì giá trị của hàm số tại giá trị thứ nhất cũng nhỏ hơn hoặc bằng giá trị của hàm số tại giá trị thứ hai. Điều này thể hiện sự biến thiên cùng hướng giữa biến số độc lập và giá trị của hàm số

Ví dụ, hàm số y = 2x là một hàm số đồng biến vì khi x tăng, y cũng tăng. Nếu x1 < x2, thì y(x1) $\leq$ y(x2), trong đó y(x1) và y(x2) lần lượt là giá trị của hàm số tại x1 và x2.

Để xác định hàm số nào luôn đồng biến trên toàn miền số thực (R), chúng ta cần xem xét đạo hàm của hàm số đó. Nếu đạo hàm luôn dương trên R hoặc luôn âm trên R, thì hàm số đó được coi là hàm số đồng biến trên R. Ngoài ra, Hàm số bậc nhất (hàm số tuyến tính) là hàm số đồng biến trên toàn miền xác định của nó. Hàm số bậc nhất có dạng f(x) = ax + b, với a và b là các hằng số. Nó có đồ thị là một đường thẳng và có tính chất đồng biến. Hàm số bậc nhất f(x) = ax + b là một hàm số đồng biến trên toàn miền và không bị chặn khi a $\neq$ 0. Trong trường hợp này, hàm số sẽ tăng không giới hạn khi biến đổi tăng hoặc giảm không giới hạn khi biến đổi giảm

Hãy xem xét ví dụ về hàm số y = x³ - 3x. Để xác định dấu của đạo hàm trên R, chúng ta cần giải phương trình 3x^2 - 3 = 0. Phương trình này có hai nghiệm là x = 1 và x = -1. Sau đó, ta có thể vẽ bảng dấu của đạo hàm để xác định dấu của nó trên các khoảng giá trị của x như sau:

x - $\infty$ -1 1

y\' - 0 -

Ta thấy đạo hàm của hàm số này âm trên khoảng (- $\infty$ , -1) và dương trên khoảng (1, $\infty$ ). Do đó, hàm số y = x³ - 3x đồng biến trên khoảng (- $\infty$ , -1) và khoảng (1, $\infty$ ).

Hàm bậc hai là một hàm có dạng y = x^3. Để chứng minh hàm số bình phương luôn đồng biến và nghịch biến, ta xét đạo hàm của hàm số này trên một khoảng xác định bất kỳ:

y\' = 3x^2

Đạo hàm này là hàm bậc hai, có hệ số 3 > 0 nên luôn dương trên các khoảng cho trước, tức là hàm bậc hai là hàm đồng biến trên các khoảng này. Tương tự, để chứng minh rằng một hàm bình phương luôn có một khoảng nghịch đảo, chỉ cần chứng minh rằng đạo hàm của hàm này sẽ luôn âm trong một khoảng xác định. Vì đạo hàm 3x^2 luôn dương nên hàm bậc hai sẽ luôn nghịch biến trên bất kỳ khoảng xác định nào khác. Vậy hàm số bậc hai luôn có khoảng đồng biến và nghịch biến.

Để xác định tính chất đồng biến và nghịch biến của hàm số, ta thực hiện các bước sau:

1.Sử dụng định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là đồng biến trên khoảng [a, b] nếu với mọi x1, x2 trên khoảng [a, b] mà x1 < x2 > f(x2).

2. Sử dụng đạo hàm: nếu đạo hàm của hàm f(x) trên khoảng nào dương thì hàm số đồng biến trên khoảng này, nếu đạo hàm âm thì hàm số nghịch biến trên khoảng này.

3. Vẽ đồ thị của hàm số: hàm số đồng biến trên một khoảng khi đồ thị của nó tăng trên khoảng đó và nghịch biến khi đồ thị của nó giảm trên khoảng đó.

Ví dụ: Hàm số y = x3 4x2 3x – 1 dương hay âm trên khoảng nào?

- Bằng đạo hàm: Đạo hàm của hàm số là y\' = 3x2 8x 3. Tìm nghiệm của phương trình y\' = 0 ta được x1 = -1/3 và x2 = -1. Trên khoảng (- $\infty$ , -1) ta có y\' < 0> 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng này. Trên khoảng (-1/3, $\infty$ ) ta có y\' và lt; 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.

- Biểu diễn đồ thị: Đồ thị hàm số y = x3 4x2 3x–1 có dạng là một đường cong. Với khoảng (- $\infty$ , -1) thì đồ thị của hàm số giảm. Với khoảng (-1, -1/3), đồ thị tăng dần. Với khoảng (-1/3, ∞) đồ thị lại giảm. Do đó, kết quả giống như phân tích đạo hàm. Tóm lại, để xác định tính chất đồng biến và nghịch biến của hàm số, ta có thể dùng định nghĩa, đạo hàm hoặc vẽ đồ thị.

3. Các dạng bài tập về hàm số luôn đồng biến trên R

Dạng 1: Tìm khoảng đồng biến – nghịch biến của hàm số

Cho hàm số y = f(x)

f’(x) > 0 ở đâu thì hàm số đồng biến ở đấy.

f’(x) < 0 ở đâu thì hàm số nghịch biến ở đấy.

Ví dụ: Cho hàm số f(x) = -2x3 + 3x2 – 3x và 0 $\leq$ a < b. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hàm số nghịch biến trên ℝ

B. f (a) > f (b)

C. f (b) < 0

D. f (a) < f (b)

Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số m

Ví dụ: Hàm số y = x3 – 3x2 + (m – 2) x + 1 luôn đồng biến khi:

Ta có: y’ = 3x2 – 6x + m – 2

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi y’ = 3x2 – 6x + m – 2 ≥ 0, ∀ x ∊ $\mathbb{R}$

<=> $\Delta '$ $\leq$ 0 <=>15 – 3m $\leq$ 0 <=> m $\geq$ 5

Dạng 3: Xét tính đơn điêu hàm số trùng phương

Bước 1: Tìm tập xác định

Bước 2: Tính đạo hàm f’(x) = 0. Tìm các điểm xi (i= 1, 2,… n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

Bước 3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Ví dụ: Xét tính đơn điệu của mỗi hàm số sau: y = -x4 + x2 – 2

Hàm số xác định với mọi x ∊ $\mathbb{R}$

y’ = -4x3 + 2x = 2x (-2x2 + 1)

Cho y’ = 0 ⇒ x = 0 hoặc x = -√2/2 hoặc x = √2/2

Các bài tập mẫu khác

Ví dụ 1: Cho hàm số y=x3+2(m-1)x2+3x-2. Tìm m để hàm đã cho đồng biến trên R.

Hướng dẫn giải:

Để y=x3+2(m-1)x2+3x-2 đồng biến trên R thì (m-1)²-3.3 $\leq$ 0⇔-3 $\leq$ m-1 $\leq$ 3⇔-2 $\leq$ m $\leq$ 4.

Các bạn cần lưu ý với hàm đa thức bậc 3 có chứa tham số ở hệ số bậc cao nhất thì chúng ta cần xét trường hợp hàm số suy biến.

Ví dụ 2: Cho hàm số y=mx3-mx2-(m+4)x+2. Xác định m để hàm số đã cho nghịch biến trên R.

Hướng dẫn giải:

Ta xét trường hợp hàm số suy biến. Khi m=0, hàm số trở thành y=-x+2. Đây là hàm bậc nhất nghịch biến trên R. Vậy m=0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Với m $\neq$ 0, hàm số là hàm đa thức bậc 3. Do đó hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi m<0 đồng thời m2+3m(m+4)≤0. Giải các điều kiện ra ta được -3 $\leq$ m<0.

Kết hợp 2 trường hợp ta được -3 $\leq$ m $\leq$ 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Quý khách có thể tham khảo thêm bài viết sau đây của Luật Minh Khuê như: Hàm số đồng biến, nghịch biến khi nào? Định nghĩa và cách xác định