1. Lý thuyết hệ số góc 

Ta có điểm A là giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục hoành Ox và có điểm M là một điểm thuộc đường thẳng và có tung độ dương. Lúc này ta có: ∠MAx là góc được tạo bởi đường thẳng y = ax + b với trục hoành Ox.

Hệ số góc là gì? Cách tính hệ số góc và các bài tập ví dụ có đáp án

 

1. Khi α<90:

- Góc α nhỏ hơn 90 độ, tức là nằm trong góc nhọn.

- Hệ số a là một số dương (a>0).

- Hệ số
a bằng tanα, tức là a=tanα.

2. Khi α>90∘:

- Góc α lớn hơn 90 độ, tức là nằm trong góc tù.

- Hệ số a là một số âm (a<0).

- Hệ số
a được tính bằng - tan(180∘−α), tức là a=−tan(180∘−α).

3. Góc nhọn và góc tù:

Khi a>0, góc α là góc nhọn và luôn nhỏ hơn 90 độ (
0<α<90∘).

Khi a<0, góc
α là góc tù và luôn nhỏ hơn 180 độ (90∘<α<180∘).

Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0)

Hệ số góc là gì? Cách tính hệ số góc và các bài tập ví dụ có đáp án

Hệ số góc là gì? Cách tính hệ số góc và các bài tập ví dụ có đáp án

Đường thẳng y = ax + b cắt 2 trục tọa độ tại \AA \left ( \frac{-b}{a};0 \right ); B\left ( 0;b \right ) nên OA = \left | \frac{-b}{a} \right |; OB =\left | b \right |

 

    + Khi a > 0, ta có:Hệ số góc là gì? Cách tính hệ số góc và các bài tập ví dụ có đáp án

 

Từ đó dùng bảng lượng giác hoặc máy tính bỏ túi suy ra số đo của ∠MAx.

    + Khi a < 0 ta có: Hệ số góc là gì? Cách tính hệ số góc và các bài tập ví dụ có đáp án

Từ đó tìm số đo của góc (180° - ∠MAx), sau đó suy ra ∠MAx.

+ Các đường thẳng có cùng hệ số a (a là hệ số của x) thì tạo với trục Ox các góc bằng nhau.

+ Khi b = 0, ta có hàm số y = ax. Trong trường hợp này, ta có thể nói a là hệ số góc của đường thẳng y = ax

 

2. Cách tính hệ số góc

Hệ số góc của đường thẳng là một chỉ số đo góc của đường thẳng so với trục hoành. Để tính toán hệ số góc của đường thẳng, ta cần biết hai điểm trên đường thẳng.

Cách tính hệ số góc của đường thẳng như sau:

Bước 1: Xác định hai điểm trên đường thẳng: Đặt tọa độ của hai điểm trên đường thẳng là (x1, y1) và (x2, y2).

Bước 2: Tính hiệu giữa các giá trị tọa độ theo trục hoành và trục tung: Δy = y2 - y1 và Δx = x2 - x1.

Bước 3: Tính hệ số góc của đường thẳng bằng cách chia Δy cho Δx: a = Δy/Δx.

Sau khi tính toán các bước trên, chúng ta sẽ có hệ số góc của đường thẳng, có thể được biểu diễn bằng một số thập phân hoặc một tỉ lệ phân số. Hệ số góc cho ta thông tin về độ dốc của đường thẳng. Nếu hệ số góc là dương, đường thẳng sẽ nghiêng lên, trong khi nếu hệ số góc là âm, đường thẳng sẽ nghiêng xuống.

 

3. Các dạng bài tập

Dạng bài tập 1: Xác định hoặc tính hệ số góc của đường thẳng

Phương pháp giải: 

Đường thẳng (d) có dạng y = ax+b (với a≠0) có a là hệ số góc của đường thẳng.

Ví dụ minh họa: Cho đường thẳng (d) có dạng y = 2x – 6. Vậy hệ số góc của đường thẳng (d) là a=2

Dạng bài tập 2: Tính góc được tạo bởi đường thẳng và trục hoành Ox

Phương pháp giải:

Ta có góc i được tạo bởi trục hoành Ox và đường thẳng (d) vậy ta có a = tani

 Ví dụ minh họa: Góc tạo bởi trục hoành Ox và đường thẳng (d): y = √3x – 5 là i
Vậy tani = a = √3. Vậy góc tạo bởi trục hoành Ox và đường thẳng (d) là 60º
Dạng bài tập 3: Viết phương trình đường thẳng hoặc tìm tham số m khi biết hệ số góc đã cho 

Phương pháp giải:

Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là (d): y = ax + b (a ≠ 0)

Dựa trên lý thuyết về hệ số góc, từ đó ta có thể tìm được giá trị của a. Sau đó, kết hợp với các sự kiện khác đã cho của đề bài để tìm ra b

 

4. Các bài tập ví dụ có đáp án

1. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Cho (d): y = ax + b . Tìm a, b biết (d) đi qua gốc tọa độ và song song với (d') trong đó (d') có hệ số góc bằng 1.

Giải:

Theo bài ta, (d) đi qua gốc tọa độ nên ta có b = 0

(d) song song với (d') và (d') có hệ số góc bằng 1 nên a = 1

Vậy a = 1, b = 0.

Câu 2. Cho hàm số y = x + 2. Tính góc tạo bởi đường thẳng y = x + 2 với trục Ox (làm tròn đến phút)

Lời giải:

Vẽ đồ thị hàm số y = x + 2

Cho x = 0 thì y = 2 ta được điểm A (0; 2)

Cho y = 0 thì x = -2 ta được điểm B (-2; 0).

Đồ thị hàm số đã cho đi qua hai điểm A(0; 2); B(-2; 0).

Hệ số góc là gì? Cách tính hệ số góc và các bài tập ví dụ có đáp án

Gọi góc tạo bởi đường thẳng y = x + 2 với trục Ox là α, ta có ∠ABO = α Xét tam giác vuông OAB , ta có Hệ số góc là gì? Cách tính hệ số góc và các bài tập ví dụ có đáp án(1 chính là hệ số góc của đường thẳng y = x + 2)

Khi đó số đo góc α là α = 45°

Câu 3: Viết phương trình đường thẳng d biết d đi qua B (−1; 1) và tạo với trục Ox một góc bằng 450

A. y = x – 2

B. y = x + 2

C. y = −x – 2

D. y = x + 1 

Đáp án: B

Giải thích:

Gọi phương trình đường thẳng d:

y = ax + b (a ≠≠ 0)

Vì góc tạo bởi đường thẳng d và trục Ox là 45o nên

a = tan45o = 1 ⇒⇒ y = x + b

Thay tọa độ điểm B vào phương trình đường thẳng d ta có

−1 + b = 1 ⇒⇒ b = 2

Nên d: y = x + 2

Câu 4: Viết phương trình đường thẳng d biết d tạo với đường thẳng y = 2 (theo chiều dương) một góc bằng 1350 và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4.

A. y = x – 4

B. y = −x – 4

C. y = x + 4

D. y = −x + 4 

Đáp án: D

Giải thích: Gọi phương trình đường thẳng d: y = ax + b (a ≠≠ 0)

Vì góc tạo bởi đường thẳng d và đường thẳng y = 2 là 135o nên góc tạo bởi đường thẳng y và trục Ox cũng là 135o (do đường thẳng y = 2 song song với trục Ox) nên

a = tan135o = −1

⇒⇒ y = −x + b

Vì đường thẳng d cắt trục tung tại điểm có tung độ 4 nên b = 4

Từ đó d: y = −x + 4

Câu 5:  Cho đường thẳng d: y = mx +3. Tính góc tạo bởi tia Ox và đường thẳng d biết d đi qua điểm A (3; 0)

A. 120o

B. 150o

C. 60o

D. 90o

Đáp án: B

Giải thích: Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta được

m.3 + \sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow m = -\frac{\sqrt{3}}{3}

=> d : y = -\frac{\sqrt{3}}{3} x +\sqrt{3}

Gọi \alpha là góc tạo bởi tia Ox và d

Ta có tan \alpha\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3} => \alpha = 150o

Đáp án B

2. Bài tập tự luận

Câu 1. Chứng minh rằng nếu một đường thẳng đi qua điểm A(x1; y1) và có hệ số góc bằng a thì đường thẳng đó có phương trình là y - y1 = a(x - x1)

Lời giải

Đường thẳng d có hệ số góc là a nên có dạng là (d):y = ax + b (d) đi qua điểm A(x1; y1) nên y1 = ax1 + b ⇒ b = y1 - ax1 Do đó: (d):y = ax + (y1 - ax1 ) hay (d): y - y1 = a(x - x1 ) (đpcm)

Bài 2.

a) Tìm hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm A(2; 1).

b) Tìm hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm B(1; −2).

Lời giải: Đường thẳng đi qua gốc tọa độ có dạng y = ax + b.

a) Vì đường thẳng y = ax đi qua điểm A(2; 1) nên tọa độ điểm A nghiệm đúng phương trình đường thẳng.

Ta có: 1 = a . 2 ⇔⇔ a = 1212.

Vậy hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm A(2; 1) là a = 1212.

b) Vì đường thẳng y = ax đi qua điểm B(1; −2) nên tọa độ điểm B nghiệm đúng phương trình đường thẳng.

Ta có: − 2 = a . 1⇔⇔ a = − 2.

Vậy hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm B(1; − 2) là a = − 2.

Câu 3. Tính toán hệ số góc của đường thẳng khi biết hai điểm trên đường thẳng đó.

Để tính toán hệ số góc của đường thẳng khi biết hai điểm trên đường thẳng đó, ta có thể áp dụng công thức sau đây:

a = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Trong đó, (x1, y1) và (x2, y2) lần lượt là tọa độ hai điểm trên đường thẳng.

Bước 1: Xác định tọa độ hai điểm trên đường thẳng.

Bước 2: Sử dụng công thức a = (y2 - y1) / (x2 - x1) để tính hệ số góc của đường thẳng.

Đây là cách tính hệ số góc của đường thẳng khi biết hai điểm trên đường thẳng đó.

Bài viết liên quan: Hệ số là gì? Ý nghĩa của hệ số? Tìm hiểu về hệ số trong Toán lớp 7?

Nội dung trên đây chỉ mang tính chất tham khảo.