Mục lục bài viết

1. Giải đề
2. Bài tập luyện tập liên quan

1. Giải đề

Tính đạo hàm của hàm số sau: y = $cos^{2}x$

A: 2 cosx.sinx

B: -sin2 x

C: -sinx

D: Tất cả sai

Lời giải chi tiết: Chọn B.

Áp dụng công thức $(u^{a})'$ với u = cos x.

y’ = (cos2x)’ = 2 . cosx. (cosx)’ = 2cosx . (-sinx) = -sin2x.

2. Bài tập luyện tập liên quan

Bài tập số 1: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = 5sin x – 3cos x

b) y = sin( $x^{2}$ – 3x + 2)

c) y = tan 3x – cot 3x

Lời giải chi tiết:

a) y = 5sin x – 3cos x.

Ta có: y' = 5cos x + 3sin x

b) y = sin( $x^{2}$ – 3x + 2)

Ta có: y' = ( $x^{2}$ – 3x + 2)’.cos( $x^{2}$ – 3x + 2) = (2x – 3).cos( $x^{2}$ – 3x + 2).

c) y = tan 3x – cot 3x

$y' = \frac{3}{cos^{2}3x} + \frac{3}{sin^{2}3x} = \frac{3}{cos^{2}3x.sin^{2}3x} = \frac{3}{\frac{1}{4}sin^{2}6x} = \frac{12}{sin^{2}6x}$

Bài tập số 2: Chứng minh rằng

a) Hàm số y = tan x thoả mãn hệ thức y’ – $y^{2}$ – 1 = 0.

b) Hàm số y = cot 2x thoả mãn hệ thức y’ + $2y^{2}$ + 2 = 0.

Lời giải chi tiết:

a) Trước tiên, ta có: y' = $\frac{1}{cos^{2}x}$

Khi đó, ta có: y' - $y^{2}$ - 1 = $\frac{1}{cos^{2}x}$ - $tan^{2}x$ - 1 = $\frac{1}{cos^{2}x}$ - $\frac{1}{cos^{2}x}$ = 0 (điều phải chứng minh)

b, Trước tiên, ta có: y' = $-\frac{2}{sin^{2}2x}$

Khi đó, ta có: y' + $2y^{2}$ + 2 = $-\frac{2}{sin^{2}2x} + 2 cot^{2}2x + 2$ = $-\frac{2}{sin^{2}2x}$ + $\frac{2}{sin^{2}2x}$ = 0 (điều phải chứng minh)

Bài tập số 3: Đạo hàm của hàm số y = 3sin 2x + cos 3x là:

A. y’ = 3cos 2x – sin 3x

B. y’ = 3cos 2x + sin 3x

C. y’ = 6cos 2x – 3sin 3x

D. y’ = – 6cos 2x + 3sin 3x

Đáp án: C. y’ = 6cos 2x – 3sin 3x

Bài tập số 4: Đạo hàm của hàm số y = 2sin3x . cos5x có biểu thức nào sau đây?

A. 30cos3x . sin5x

B. – 8cos8x + 2cos2x

C. 8cos8x – 2cos2x

D. – 30cos3x + 30sin5x

Đáp án: B. – 8cos8x + 2cos2x

Bài tập số 5: Cho hàm số y = cos2x + sin x. Phương trình y' = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (0 ;π)

A. 1 nghiệm

B. 2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 4 nghiệm

Đáp án: C. 3 nghiệm

Bài tập số 6: Hàm số y = (1 + sinx) . (1 + cosx) có đạo hàm là:

A. y' = cosx - sinx + 1.

B. y' = cosx + sinx + cos2x.

C. y' = cosx - sinx + cos2x.

D. y' = cosx + sinx + 1.

Lời giải chi tiết: Đáp án: C. Hàm số y = (1 + sinx) . (1 + cosx) có đạo hàm là: y' = cosx - sinx + cos2x.

y = (1 + sinx) . (1 + cosx)

Ta có: y = (1 + sin x) . ( 1 + cos x)

= 1 + sin x + cos x + sin x . cos x

= 1 + sin x + cos x + $\frac{1}{2}$ sin 2x

Suy ra: y' = cos x - sin x + cos 2x

Bài tập số 7: Tính đạo hàm của hàm số sau: y = $2sin^{2}4x - 3cos^{3}5x$

A. y' = sin 8x + $\frac{45}{2}$ cos 5x . sin 10x

B. y' = 8 sin 8x + $\frac{5}{2}$ cos 5x . sin 10x

C. y' = 8 sin x + $\frac{45}{2}$ cos 5x . sin 10x

D. 8 sin 8x + $\frac{45}{2}$ cos 5x . sin 10x

Lời giải chi tiết: D. đạo hàm của hàm số sau: y = $2sin^{2}4x - 3cos^{3}5x$ là 8 sin 8x + $\frac{45}{2}$ cos 5x . sin 10x

Bước đầu tiên áp dụng ( u + v)'

y' = ( $2sin^{2}4x$ )' - $3(cos^{3}5x)$ '

Tính: $(sin^{2}4x)'$

Áp dụng ( $u^{a}$ )', với u = sin 4x. Ta được: $(sin^{2}4x)'$ = 2sin 4x . (sin 4x)' = 2 sin 4x . cos 4x (4x)'

8. sin 4x . cos 4x = 4 sin 8x

Tương tự:

$(cos^{3}5x)$ ' = 3 $(cos^{2}5x)$ . (cos 5x)'

= 3 $(cos^{2}5x)$ . (- sin 5x) . (5x)'

= -15 $(cos^{2}5x)$ . sin 5x = $- \frac{15}{2}$ cos 5x . sin 10x

Kết luận: y' = 8 sin 8x + $\frac{45}{2}$ cos 5x . sin 10x

Bài tập số 8: Tìm f’(2) biết f(x) = x2.sin(x – 2).

Lời giải chi tiết:

Ta có : f’(x) = 2x . sin(x – 2) + $x^{2}$ cos(x – 2)

Khi đó: f’(2) = 2 . 2.sin(2 – 2) + $2^{2}$ . cos(2 – 2)

= 4 . 0 + 4 . 1

= 0 + 4 = 4.

Vậy f’(2) = 4.

Bài tập số 9: Tính đạo hàm của hàm số y = cos 2x + cos 4x + sin 5x

Lời giải

Ta có: y' = -2sin 2x - 4sin 4x + 5cos 5x

Bài tập số 10: Đạo hàm cấp hai của hàm số y = cos 2x bằng biểu thức nào sau đây?

A. -2sin 2x

B. -4cos 2x

C. -4sin 2x

D. 4cos 2x

Lời giải chi tiết:

Đáp án: C

y’ = (cos 2x)’= -4sin 2x

Chọn đáp án C

Bài tập số 11: Tìm đạo hàm y' của hàm số y = sin x + cos x

A. y' = 2 cos x

B. y' = 2 sin x

C. y' = sin x - cos x

D. y' = cos x - sin x

Đáp án: D. y' = cos x - sin x

Bài tập sô 12: Đạo hàm của hàm số y = x. cos 2x - $\frac{sin 3x}{x}$ bằng biểu thức nào sau đây?

A. cos 2x + 2x sin x - $\frac{3xcos 3x - sin 3x}{x^{2}}$

B. cos 2x - 2x sin x - $\frac{3xcos 3x - sin 3x}{x^{2}}$

C. cos 2x + 2x sin x - $\frac{3xcos 3x + sin 3x}{x^{2}}$

D. cos 2x + 2x sin x - $\frac{xcos 3x - sin 3x}{x^{2}}$

Lời giải chi tiết: B. cos 2x - 2x sin x - $\frac{3xcos 3x - sin 3x}{x^{2}}$

Bài tập số 13: Tính đạo hàm của hàm số y = cos 2x + cos 4x + sin 5x

Lời giải

Ta có: y' = -2sin 2x - 4sin 4x + 5cos 5x

Bài tập số 14: Cho hàm số y = tan x. Hãy tìm mệnh đề đúng:

A. $y'^{2}$ - y + 1 = 0

B. y' - $y^{2}$ + 1 = 0

C. y' - $y^{2}$ - 1 = 0

D. $y'^{2}$ - y - 1 = 0

Đáp án: C. y' - $y^{2}$ - 1 = 0

Phương pháp giải:

- Tính đạo hàm hàm lượng giác: (tan x)' = $\frac{1}{cos^{2}x}$

- Sử dụng công thức: 1+ $tan^{2}x$ = $\frac{1}{cos^{2}x}$

- Biểu diễn y' theo y sau đó chọn đáp án đúng

Lời giải chi tiết:

Ta có: y' = (tan x)' = $\frac{1}{cos^{2}x}$ = 1 + $tan^{2}x$ = 1 + $y^{2}$

Vậy y' - $y^{2}$ = 1 suy ra $y^{2}$ - 1 = 0

Bài tập số 15: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 3 sin x - 5 cos x

A. f'(x) = -3 cos x + 5 sin x

B. f'(x) = 3 cos x - 5 sin x

C. f'(x) = -3 cos x - 5 sin x

D. f'(x) = 3 cos x + 5 sin x

Đáp án: D. f'(x) = 3 cos x + 5 sin x

Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm lượng giác: (sin x)' = cos x, (cos x)' = -sin x

Lời giải chi tiết: f'(x) = 3 cos x + 5 sin x => chọn D

Bài tập số 16: Tìm đạo hàm của hàm số y = 3 cos x + 1

A. y' = 3 sin x

B. y' = -3 sin x + 1

C. y' = -3 sin x

D. y' = - sin x

Đáp án: C. y' = -3 sin x

Phương pháp giải: Sử dụng công thức đạo hàm hàm số lượng giác: (cos x)' = - sin x

Lời giải chi tiết: Ta có: y' = -3 sin x => chọn C

Bài tập số 17: Cho hàm số f(x) = $\frac{cos(x)}{\sqrt{cos2x}}$ . Biểu diễn nghiệm của phương trình lượng giác f'(x) = 0 trên đường tròn lượng giác ta được mấy điểm phân biệt?

A 1 điểm phân biệt

B 2 điểm phân biệt

C 4 điểm phân biệt

D 6 điểm phân biệt

Đáp án: B. Biểu diễn nghiệm của phương trình lượng giác f'(x) = 0 trên đường tròn lượng giác ta được 2 điểm phân biệt

Bài tập số 18: cho hàm số f(2x) = 4 . cos x. f(x) - 2x. Tính f'(0)

A. f'(0) = 0

B. f'(0) = 1

C. f'(0) = -2

D. f'(0) = 3

Đáp án: B. f'(0) = 1

Phương pháp giải:

Sử dụng đạo hàm của hàm số hợp và các quy tắc tính đạo hàm tính đạo hàm của hàm số f(2x).

Thay x = 0 và suy ra f'(0)

Lời giải chi tiết:

f'(2x) . (2x)' = 4(cos x)' . f(x) + 4. cos x . f'(x) - 2

=> 2 f'(2x) = -4 sin x . f(x) + 4 cos x . f'(x) - 2

=> 2 f'(0) = 4 f'(0) - 2

<=> f'(0) = 1 suy ra chọn B

Trên đây là bài viết của Luật Minh Khuê, hy vọng bài viết trên đã mang đến thông tin hữu ích cũng như đáp án mà bạn đang cần tìm. Từ đó, kiến thức này có thể giúp bạn nắm chắc kiến thức về đạo hàm hàm số lượng giác, kiến thức này giúp bạn giải quyết đề bài trên cũng như các bài tập hàm số lượng giác liên quan. Ngoài ra trang viết của Luật Minh Khuê còn gồm kiến thức nhiều mảng để bạn đọc có thể tham khảo. Luật Minh Khuê xin trân trọng cảm ơn!