Mục lục bài viết

A. Lý thuyết Hàm số bậc nhất
1. Định nghĩa
2. Tính chất
3. Nhận xét về đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0)
B. Giải bài tập trang 48 SGK Toán 9 tập 1
C. Giải Toán 9 trang 48 tập 1: Luyện tập
D. Bài tập vận dụng liên quan

A. Lý thuyết Hàm số bậc nhất

1. Định nghĩa

- Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b trong đó a, b là các số thực cho trước và a ≠ 0

- Đặc biệt, khi b = 0 thì hàm số bậc nhất trở thành hàm số y = ax, biểu thị tương quan tỉ lệ thuận giữa y và x

2. Tính chất

a) Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị x ∈ R

b) Trên tập hợp số thực R, hàm số y = ax + b đồng biến khi a > 0 và nghịch biến khi a < 0

Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến trong khoảng nào đó nếu với mọi x1 và x2 trong khoảng đó sao cho x1 < x2 thì f(x1 ) < f(x2 )

Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến trong khoảng nào đó nếu với mọi x1 và x2 trong khoảng đó sao cho x1 < x2 thì f(x1 ) > f(x2 )

3. Nhận xét về đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0)

a) Đồ thị hàm số y = ax (a ≠ 0) là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ mà ta gọi là đường thẳng y = ax. Đường thẳng y = ax nằm ở góc phần tư thứ I và thứ III khi a > 0; nằm ở góc phần tư thứ II và thứ IV khi a < 0

b) Đồ thị của hàm số y = ax + b là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b và song song với đường thẳng y = ax nếu b ≠ 0; trùng với đường thẳng y = ax nếu b = 0.

Đồ thị của hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0) còn gọi là đường thẳng y = ax + b; b được gọi là tung độ gốc của đường thẳng.

B. Giải bài tập trang 48 SGK Toán 9 tập 1

Giải Toán 9 bài 8 trang 48 sgk tập 1

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất? Hãy xác định các hệ số a, b của chúng và xét xem hàm số bậc nhất nào đồng biến, nghich biến.

a) y = 1 - 5x;

b) y = -0,5x;

c) y = $\sqrt{2}\left(x+1\right)+\sqrt{3}$

d) y = $2x^{2}$ + 3.

Giải:

a) y = 1 - 5x là một hàm số bậc nhất với a = -5, b = 1. Đó là một hàm số nghịch biến vì -5 < 0.

b) y = -0,5x là một hàm bậc nhất với a ≈ -0,5, b = 0. Đó là một hàm số nghịch biến vì -0,5 < 0.

c) y = $\sqrt{2}\left(x+1\right)+\sqrt{3}$ là một hàm số bậc nhất với a = $\sqrt{2$ , b = $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ . Đó là một hàm số đồng biến vì $\sqrt{2}$ >0.

d) y = $2x^{2}$ + 3 không phải là một hàm số bậc nhất vì nó không có dạng y = ax + b, với a ≠ 0.

Giải bài tập Toán 9 bài 9 trang 48 sgk tập 1

Cho hàm số bậc nhất y = (m - 2)x + 3. Tìm các giá trị của m để hàm số:

a) Đồng biến;

b) Nghịch biến.

Giải:

a) Hàm số: y = (m−2)x + 3 đồng biến trên R:

⇔ m − 2 > 0 ⇔ m > 2

b) Hàm số: y = (m − 2) x + 3 nghịch biến trên R:

⇔ m − 2 < 0 ⇔ m < 2

Giải bài tập Toán 9 bài 10 trang 48 sgk tập 1

Một hình chữ nhật có các kích thước là 20 cm và 30 cm. Người ta bớt mỗi kích thước của hình đó đi x (cm) được hình chữ nhật mới có chu vi là y (cm). Hãy lập công thức tính y theo x.

Giải:

Khi bớt mỗi kích thước x (cm) thì được một hình chữ nhật có các kích thước là 20 - x (cm) và 30 - x (cm).

Khi đó chu vi của hình chữ nhật là y = 2(20 − x + 30 − x) hay y = 100 − 4x

C. Giải Toán 9 trang 48 tập 1: Luyện tập

Giải bài tập Toán 9 bài 11 trang 48 sgk tập 1

Hãy biểu biễn các điểm sau trên mặt phẳng tọa độ:

A(-3; 0), B(-1; 1), C(0; 3), D(1; 1), E(3; 0), E(3; 0), F(1; -1), G(0; -3), H(-1; -1).

Giải:

Ta có mặt phẳng toạ độ biểu diễn các điểm như sau:

Giải Toán 9 Bài 2: Hàm số bậc nhất đầy đủ, chi tiết nhất

Giải bài tập Toán 9 bài 12 trang 48 sgk tập 1

Cho hàm số bậc nhất y = ax + 3. Tìm hệ số a, biết rằng khi x = 1 thì y = 2,5.

Giải:

Theo đề bài ta có:

Hàm số: y = ax + 3 đi qua điểm A(1;2,5)

<=> 2,5 = 1.a + 3 <=> a = $-\frac{1}{2}$

Và hàm số đó là y = $-\frac{1}{2}x+3$

Giải bài tập Toán 9 bài 13 trang 48 sgk tập 1

Với những giá trị nào của m thì mỗi hàm số sau là hàm số bậc nhất?

a.\ y= $\sqrt{5-m}\left(x-1\right)$

b.\ y = $\frac{m+1}{m-1}x$ + 3,5

Giải:

Muốn cho một hàm số là hàm số bậc nhất thì nó phải có dạng y = ax + b, với a ≠ 0. Do đó:

a) Điều kiện để hàm số y = $\sqrt{5-1}\left(x-1\right)$ là hàm bậc nhất khi: $\sqrt{5-m}\ne0$ hay 5 - m > 0. Suy ra m < 5.

b) Điều kiện để hàm số y = $\frac{m+1}{m-1}x$ + 3,5 là hàm bậc nhất khi: $\frac{m+1}{m-1}\ne0$ hay m + 1 ≠ 0, m - 1 ≠ 0. Suy ra m ≠ ± 1.

Giải bài tập Toán 9 bài 14 trang 48 sgk tập 1

Hàm số bậc nhất y = (1 - √5)x – 1.

a) Hàm số trên là đồng biến hay nghịch biến trên R? Vì sao?

b) Tính giá trị của y khi x = 1 + √5.

c) Tính giá trị của x khi y = √5

Gợi ý đáp án

a) Ta có:

a = 1 - $\sqrt 5$ < 0

=> Hàm số đã cho nghịch biến trên $\mathbb{R}$

b) Khi x = 1 + $\sqrt 5$ ta có:

y = $\left( {1 - \sqrt 5 } \right)\left( {1 + \sqrt 5 } \right)$ - 1 = $\left( {1 - 5} \right)$ - 1 = - 5

c) Khi y = $\sqrt 5$ ta có:

$\sqrt 5 = \left( {1 - \sqrt 5 } \right)x - 1$

$\Rightarrow \sqrt 5 + 1 = \left( {1 - \sqrt 5 } \right)x$

$\Rightarrow x = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{{1 - \sqrt 5 }} = \dfrac{{\left( {1 + \sqrt 5 } \right)\left( {1 + \sqrt 5 } \right)}}{{\left( {1 - \sqrt 5 } \right)\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}} = \dfrac{{{{\left( {1 + \sqrt 5 } \right)}^2}}}{{ - 4}} = \dfrac{{\sqrt 5 + 3}}{{ - 4}}$

D. Bài tập vận dụng liên quan

Bài tập số 1: Một hình vuông có cạnh là 15 cm. Nếu bớt đi x cm từ mỗi cạnh của hình vuông đó, hãy viết công thức tính diện tích của hình vuông mới theo x.

Lời giải chi tiết:

Diện tích hình vuông ban đầu là cạnh x cạnh = 15 x 15 = 225 cm2

Sau khi bớt đi x cm từ mỗi cạnh, cạnh mới sẽ là 15 - x cm

Diện tích hình vuông mới: cạnh mới x cạnh mới = (15 - x) x (15 - x) = 225 - 30x + $x^{2}$ (cm2)

Vậy, công thức tính diện tích của hình vuông mới sau khi bớt đi x cm từ mỗi cạnh là: 225 - 30x + x^{2} (cm2)

Bài tập số 2: Một hình tam giác đều có cạnh là 18 cm. Nếu bớt đi x cm từ mỗi cạnh của hình tam giác đó, hãy viết công thức tính chu vi của tam giác mới theo x.

Lời giải chi tiết:

Chu vi hình tam giác đều ban đầu là: số cạnh x độ dài cạnh = 3 x 18 = 54 cm

Sau khi bớt đi x cm từ mỗi cạnh, độ dài cạnh mới sẽ là 18 - x (cm)

Chu vi hình tam giác mới: số cạnh x độ dài cạnh mới = 3 x (18 - x) = 54 - 3x (cm)

Vậy, công thức tính chu vi của hình tam giác mới sau khi bớt đi x cm từ mỗi cạnh là: y = 54 - 3x (cm)

Bài tập số 3: Một hình ngũ giác đều có cạnh là 25 cm. Nếu bớt đi x cm từ mỗi cạnh của hình ngũ giác đó, hãy viết công thức tính chu vi của ngũ giác mới theo x.

Lời giải chi tiết:

Chu vi của hình ngũ giác đều ban đầu là số cạnh x độ dài cạnh = 5 x 25 = 125 (cm)

Sau khi bớt đi x cm từ mỗi cạnh, độ dài cạnh mới sẽ là 25 - x (cm)

Vậy, công thức tính chu vi của ngũ giác mới sau khi bớt đi x cm từ mỗi cạnh là: y = 125 - 5x (cm)

Bài tập số 4: Một hình bát giác đều có cạnh là 12 cm. Nếu bớt đi x cm từ mỗi cạnh của hình bát giác đó, hãy viết công thức tính chu vi của bát giác mới theo x.

Lời giải chi tiết:

Chu vi của hình bát giác đều ban đầu là số cạnh x độ dài cạnh = 8 x 12 = 96 (cm)

Sau khi bớt đi x cm từ mỗi cạnh, độ dài cạnh mới sẽ là 12 - x (cm)

Chu vi của bát giác mới sẽ được tính là số cạnh x độ dài cạnh mới = 8 x (12 - x) = 96 - 8x (cm)

Vậy công thức tính chu vi của bát giác mới sau khi bớt đi x cm từ mỗi cạnh là y = 96 - 8x (cm) .