Tổng hợp Công thức Toán lớp 9 đầy đủ cả năm

1. Tóm tắt đầy đủ công thức toán 9 phần Đại số

a) căn bậc hai

- Một số công thức căn bậc hai

- Điều kiện để căn thức có nghĩa

- Điều kiện có nghĩa của một số biểu thức

- Tính chất của căn bậc 2

+ Với hai số a và b trong đó a, b > 0, ta có:

- Các công thức biến đổi căn thức

+ Đưa thừa số A2 ra ngoài dấu căn bậc hai ta được:

+ Đưa thừa số vào trong dâu căn bậc hai:

+ Khử mẫu của biểu thức dưới dấu căn bậc hai:

Ta nhân mẫu số với thừa số phụ thích hợp để mẫu số là bình phương:

+ Trục căn thức ở mẫu số

Dạng 1: Mẫu là biểu thức dạng tích các căn thức và các số, ta nhân tử và mẫu với căn thức:

Dạng 2: Mẫu là biểu thức dạng tổng có căn thức, ta nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu.

- Phương trình chứa căn thức bậc 2

b) Căn bậc ba

c) Hàm số bậc nhất

- Khái niệm hàm số bậc nhất -

+ Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b. Trong đó a, b là các số cho trước và a ≠ 0 b.

- Tính chất: Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất sau:

+ Đồng biến trên R khi a > 0

+ Nghịch biến trên R khi a < 0

- Đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0) Đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0) là một đường thẳng

+ Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b

+ Song song với đường thẳng y = ax, nếu b ≠ 0, trùng với đường thẳng y = ax, nếu b = 0

* Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0)

Bước 1. Cho x = 0 thì y = b ta được điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy.

Cho y = 0 thì x = -b/ a ta được điểm Q( -b/ a; 0) thuộc trục hoành Ox

Bước 2: Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q ta được đồ thị hàm số y = ax + b d.

- Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b (a ≠ 0) và (d’): y = a’x + b’ (a’ ≠ 0). Khi đó:

d) Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0)

* Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox. - Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đó A là giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đường thẳng y = ax + b 

* Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b

- Hệ số a trong phương trình y = ax + b được gọi là hệ số góc của đường thẳng: y = ax + b

e) Một số phương trình đường thẳng

- Đường thẳng đi qua điểm M0(x0; y0) có hệ số góc k: y = k(x – x0) + y0

- Đường thẳng đi qua điểm A(x0, 0) và B(0; y0) với x0.y0 ≠ 0 là x/ x0 + y/ y0 = 1

f) Công thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng

Chohai điểm phân biệt A với B với A(xA, yB) và B(xA, yB). Khi đó

- Độ dài đoạn thẳng AB được tính bởi công thức

 - Tọa độ trung điểm M của AB được tính bởi công thức

2. Tóm tắt đầy đủ công thức toán 9 phần Hình học

a) Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cho tam giác ABC có đường cao AH

Đặt BC = a; AC = b; AB = c; AH = h; CH = b';

BH = c' BH, CH lần lượt là hình chiếu của AB và AC lên BC.

Ta có các hệ thức sau:

+) b² = ab' ; c² = ac'

+) h² = b'c'

+) ah = bc

+) a² = b² + c² (Định lý Py-ta-go)

+) 1/ h² = 1/ b² + 1/ c²

b) Tỉ số lượng giác của góc nhọn

- Định nghĩa

- Tính chất

- Tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt

c) Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

3. Một số bài tập và đáp án chi tiết

Bài 1: Viết các biểu thức sau thành bình phương của biểu thức khác:

a) 4 - 2√3

b) 7 + 4√3

c) 13 - 4√3

Hướng dẫn giải:

a) 4 - 2√3 = 3 - 2√3 + 1 = (√3-1)²

b) 7 + 4√3 = 4 + 2.2.√3 + 3 = (2 + √3)²

c) 13 - 4√3 = (2√3)2 - 2.2√3 + 1= (2√3-1)²

Bài 2: Rút gọn biểu thức

Hướng dẫn giải:

  Phân tích:

Ta để ý:

√60 = 2√15 = 2√5.√3

√140 = 2√35 = 2√5.√7

√84 = 2√21 = 2√7.√3

Và 15 = 3 + 5 + 7.

Ta thấy hình dáng của hằng đẳng thức : a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca = a² + b² + c² Giải:

Bài 3: Tìm giá trị của x để biểu thức A dưới đây có giá trị bằng 2

Phương pháp làm bài: Tìm giá trị của x để biểu thức có giá trị thỏa mãn đẳng thức, bất đẳng thức

Phương pháp giải

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A < m (hoặc A > m ; A ≥ m; A ≤ m)

+ Tìm điều kiện xác định

  + Rút gọn biểu thức (nếu cần) +

Biến đổi điều kiện A < m để tìm ra x.

Lưu ý: Khi nhân (chia) cả 2 vế của BPT với một biểu thức > 0 thì chiều của biểu thức không đổi.

b) Tìm điều kiện của x để hàm số đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

  + Tìm điều kiện xác định

  + Rút gọn biểu thức (nếu cần).

+ Áp dụng các bất đẳng thức dể đánh giá biểu thức ≤ k (tìm giá trị lớn nhất) hoặc ≥ k (tìm giá trị nhỏ nhất) (k là hằng số)

+ Tìm x để dấu = xảy ra.

Lưu ý: Bất đẳng thức Cô-si: a² + b² ≥ 2ab

A² ≥ 0 với mọi A.

Hướng dân giải:

Điều kiện xác định: x > 0 hoặc x = 0

Ta có: 

3√x = 2√x + 4

⇔ √x = 4

⇔ x = 16.

Vậy x = 16.

Bài 4: Không dùng máy tính, hãy so sánh:

1, 8 và √65.

2, √15 -1 và √10

3, 3√3 - 2√2 và 2

4, 3√12 và 2√26

5, 4 - 2√2 và 3 - √3

Phương pháp giải:

 Dựa vào tính chất: Nếu a,b ≥ 0 thì a < b ⇔ √a < √b

Hướng dẫn giải

1, Ta có 8 = √64. Vì √64 < √65 nên 8 < √65 .

2, Ta có √15 - 1 < √16 - 1 = 4 - 1 = 3 √10 > √9 = 3

Vậy √15 - 1 < √10.

3, Ta có 3√3 > 2√2 => 3√3 - 2√2 > 0 và 2 > 0

Giả sử 3√3 - 2√2 > 2 ⇔ (3√3 - 2√2)2 > 22 ⇔ 35 - 12√6 > 4 ⇔ 31 > 12√6 ⇔ √961 > √864.

4, Giả sử 3√12 > 2√26 ⇔ √108 > √104 (bất đẳng thức đúng)

Vậy 3√12 > 2√26 5,

Giả sử 4 - 2√2 > 3 - √3

⇔ 4 - 3 > 2√2 - √3 ⇔ 1 > 2√2 - √3

Vì 2√2 = 8 > √3 nên: 2√2 - √3 > 0.

Do đó 12 > (2√2 - √3)²

 ⇔ 1 > 11 - 4√6

⇔ 4√6 > 10

⇔ √96 > √100 (bất đẳng thức sai).

Vậy 4 - 2√2 < 3 - √3.

Bài 5:  tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tính BC biết AB = 15cm, HC = 16cm.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có:

AC² = CH. BC = 16. BC

AB² + AC² = BC²

⇔ 152 + 16. BC = BC²

⇔ BC² - 16. BC - 225 = 0

⇔ BC² - 25. BC + 9. BC - 225 = 0

⇔ BC. (BC - 25) + 9. (BC - 25) = 0

⇔ (BC - 25). (BC + 9) = 0

⇔ BC = 25 hoặc BC = -9 (loại)

=> AC² = 16.BC = 16. 25 = 400

=> AC = 20

+ Xét tam giác vuông ABC có: AH. BC = AB.AC (hệ thức lượng)

Vậy BC = 25 (cm); AC = 20 (cm)

Trên đây là một số nội dung có liên quan đến vấn đề công thức toán lớp 9 bao gồm các công thức phần đại số và các công thức phần hình học. Để hiểu hơn một số nội dung được trình bày ở trên, tham khảo: Lý thuyết Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông | Lý thuyết Toán 9. Trân trọng !