Mục lục bài viết

1. Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử nâng cao bằng phương pháp tách hạng tử

Bài 1. Phân tích đa thức f(x) = 3x^{2} + 8x + 4 thành nhân tử.

+ Cách 1 (tách hạng tử bậc nhất bx)

Hướng dẫn:

+ Phân tích ac = 12 = 3.4 = (–3).(–4) = 2.6 = (–2).(–6) = 1.12 = (–1).(–12)

+ Tích của hai thừa số có tổng bằng b = 8 là tích a.c = 2.6

+ Tách 8x = 2x + 6x

Lời giải:

3x^{2} + 8x + 4 = 3x^{2} + 2x + 6x + 4 = (3x^{2} + 2x) + (6x + 4) = x(3x + 2) + 2(3x + 2) = (x + 2)(3x + 2)

+ Cách 2. Tách hạng tử bậc hai làm xuất hiện các nhóm có nhân tử chung hoặc hẳng đẳng thức.

Làm xuất hiện hiệu hai bình phương: f(x) = 4x^{2} - x^{2} + 8x + 4 = (4x^{2} + 8x) - (x^{2} - 4) = 4x(x + 2) - (x - 2)(x + 2) = (x + 2)(3x + 2)

Tách thành 4 hạng tử rồi nhóm: f(x) = 4x^{2} - x^{2} + 8x + 4 = (4x^{2} + 8x) - (x^{2} - 4) = 4x(x + 2) - (x - 2)(x + 2) = (x + 2)(3x + 2)

Bài 2. Phân tích đa thức 2x^{2} - 5xy + 2y^{2} thành nhân tử.

Lời giải:

Xét đa thức f(x) = 2x^{2} - 5xy + 2y^{2}. Khi đó ta có a = 2; b = -5y; c = 2y^{2}

Ta có: ac = 4y^{2} = y.4y = (-y).(-4y) = 2y.2y = (-2y)(-2y) = ...

Ta chọn tích (-y).(-4y) vì (-y) + (-4y) = -5y = b. Đến đây ta tách hạng tử như sau

2x^{2} - 5xy + 2y^{2}= 2x^{2} - xy - 4xy + 2y^{2}= (2x^{2} - xy) - (4xy - 2y^{2}) = x(2x - y) - 2y(2x - y) = (x - 2y)(2x - y)

 

2. Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử nâng cao bằng phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử

Bài 1. Phân tích đa thức thành nhân tử f(x) = x^{5} + x - 1

Hướng dẫn giải: Đa thức f(x) đã cho trên có bậc 5 và không nhẩm được nghiệm, do đó ta không thể dự đoán được nhân tử khi phân tích. Trong đa thức cung không thấy xuất hiện các hằng đẳng thức. Do vậy ta nghĩ đến phương pháp thêm bớt một số hạng tử.

+ Hướng thứ nhất là ta thêm bớt các hạng tử để đa thức có các hạng tử có bậc đầy đủ từ 5 đến 0, từ đó tùy thuộc vào số dấu dương và dấu âm trước các hạng từ mà chia nhóm cho phù hợp.

+ Thêm bớt hạng tử  để nhóm với x^{5} để tạo ra nhân tử  và nhóm với x - 1 để tạo ra nhân tử 

Lời giải:

Ta có: x^{5} + x - 1 = x^{5} - x^{4} + x^{3}+ x^{4} - x^{3} + x^{2} - x^{2} + x - 1 = x^{3}(x^{2} - x + 1) - x^{2}(x^{2} - x + 1) - (x^{2} - x + 1) = (x^{2} - x + 1)(x^{3} - x^{2} - 1)

Bài 2. Phân tích đa thức thành nhân tử f(x) = x^{7} + x^{5} + 1

Lời giải:

Ta có: f(x) = x^{7} + x^{5} + 1 = x^{7} + x^{5} + (x^{2} + x) + 1 - x^{2} - x = (x^{7} - x) + (x^{5} - x^{2}) + (x^{2} + x + 1) = x(x^{6} - 1) + x^{2}(x^{3} - 1) + (x^{2} + x + 1) = x(x^{3} + 1)(x - 1)(x^{2} + x + 1) + x^{2}(x^{3} - 1) + (x^{2} + x + 1) = (x^{2} + x + 1)(x^{5} - x^{4} + x^{3} - x + 1)

 

3. Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử nâng cao bằng phương pháp đổi biến

Bài 1. Phân tích đa thức thành nhân tử A = (x^{2} + x + 1)(x^{2} + x + 2) - 12

Nhận thấy đa thức A đã cho trên nếu khai triển sẽ được một đa thức bậc 4 và có hệ số tự do là −10, do đó để phân tích được ta phải nhẩm được ít nhất hai nghiệm phân biệt hoặc sử dụng phương pháp hệ số bất định. Thử các ước của hệ số tự do ta được x = 1 và x = -2 nên ta sẽ phân tích được đa thức A. Ngoài ra để ý đến sự lặp lại của x^{2} + x nên ta có thể đổi biến và đưa đa thức về đa thức mới có bậc hai.

Lời giải:

Đặt x^{2} + x = 1 khi đó đa thức A được viết lại thành A = (t + 1)(t + 2) - 12 = t^{2} + 3t - 10 = (t - 2)(t + 5)

Thay x^{2} + x = t trở lại đa thức A ta được A = (x^{2} + x - 2)(x^{2} + x + 5) = (x - 1)(x + 2)(x^{2} + x + 5)

Bài 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128

Đa thức A đã cho là đa thức bậc bốn, do đó để phân tích được đa thức A thành nhân tử ta cần nhân đa thức ra và thu gọn rồi nhẩm nghiệm. Tuy nhiên trong quá trình nhân đa thức ta nhận thấy giữa hai tích x(x + 10) và (x + 4)(x + 6) có chung nhóm x^{2} + 10. Do đó ta sẽ sử dụng phép đổi biến để phân tích đa thức A thành nhân tử.

Lời giải:

Ta có x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x^{2} + 10x)(x^{2} + 10x + 24) + 128

Đặt x^{2} + 10x + 12 = y, đa thức đã cho có dạng: (y - 12)(y + 12) + 128 = y^{2} - 16 = (y + 4)(y - 4) = (x^{2} + 10x + 16)(x^{2} + 10x + 8) = (x + 2)(x + 8)(x^{2} + 10x + 8)

 

4. Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử nâng cao bằng phương pháp đồng nhất hệ số

Bài 1. Phân tích đa thức thành nhân tử A = 12x^{2} + 5x - 12y^{2} + 12y - 10xy - 3

Lời giải:

Chú ý hệ số tự do −3 ta nhận thấy khi phân tích đa thức A thành hai đa thức bậc hai thì hệ số tự do tương ứng của hai đa thức đó lần lượt là −1 và 2. Giả sử đa thức A phân tích được 12x^{2} + 5x - 12y^{2}+ 12y - 10xy - 3 = (ax + by + 3)(cx + dy -1)

Khi đó: 12x^{2} + 5x - 12y^{2} + 12y - 10xy - 3 = acx^{2} + (ad + bc)xy + bdy^{2} + (3c - a)x + (3d - b)y - 3

Đồng nhất hai vế ta có a = 4, b = -6, c = 3, d = 2

Vậy ta được 12x^{2} + 5x - 12y^{2} + 12y - 10xy - 3 = (4x - 6y + 3)(3x + 2y -1)

Bài 2. Phân tích đa thức thành nhân tử x^{4} - 6x^{3} + 12x^{2} - 14x -3

Lời giải:

Thử với x = \pm1; \pm3 không là nghiệm của đa thức nên đa thức không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỷ. Như vậy đa thức trên phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng (x^{2} + ax + b)(x^{2} + cx + d) = x^{4} + (a + c) + (ac + b + d) + (ad + bc)x + bd = - 14x - 3

Đến đây để xác định hệ các hệ số a, b, c, d ta đồng nhất hệ số hai về và phương pháp này gọi là phương pháp hệ số bất định.

Lời giải:

Thử với x = \pm1; \pm3 không là nghiệm của đa thức nên đa thức không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỷ. Như vậy đa thức trên phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng: (x^{2} + ax + b)(x^{2} + cx + d) = x^{4} + (a + c)x^{3} + (ac + b + d)x^{2} + (ad + bc)x + bd = x^{4} - 6x^{3} + 12x^{2} - 14x - 3

Đồng nhất các hệ số ta được a = -2, b = 2, c = -4, d = 1

Vậy x^{4} - 6x^{3} + 12x^{2} - 14x + 3 = (x^{2} - 2x + 3)(x^{2} - 4x + 1)

 

5. Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử nâng cao bằng phương pháp xét giá trị riêng của các biến

Bài tập: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x^{2}(y - z) + y^{2}(z - x) + z^{2}(x - y)

Lời giải:

Thay x bởi y thì P = y^{2}(y - z) + y^{2}(z - y) = 0. Như vậy P chứa thừa số (x - y). Ta thấy nếu thay x bởi y hoặc thay y bởi z hoặc thay z bởi x thì P = 0 không đổi (đa thức P có thể hoán vị vòng quanh). Do đó nếu P đã chứa thừa số (x - y) thì do vai trò của các biến x, y, z suy ra P cũng chứa thừa số (y - z) và (z - x). Do đó đa thức P có dạng k(x - y)(y - z)(z - x). Ta thấy k phải là hằng số vì P có bậc 3 đối với mỗi biến trong x, y, z và tích (x - y)(y - z)(z - x) cũng có bậc 3 đối với mỗi biến trong x, y, z. Vì đẳng thức x^{2}(y - z) + y^{2}(z - x) + z^{2}(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x) đúng với mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2; y = 1; z = 0 thì được 4.1 + 1.(-2) + 0 = k.1.1.(-2) suy ra k = -1.

Vậy P = -(x - y)(y - z)( - x) = (x - y)(y - z)(x - z)

=> Ngoài ra, quý bạn đọc có thể tham khảo thêm bài viết Bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử có đáp án dễ hiểu nhất.