Mục lục bài viết

1. Khái niệm đường tròn ngoại tiếp tam giác
2. Tính chất của đường tròn ngoại tiếp tam giác
3. Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp
4. Bài tập áp dụng
5. Một số bài tập luyện tập

1. Khái niệm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Đường tròn ngoại tiếp tam giác được hiểu là đường tròn tiếp xúc phía ngoài của tam giác. Vậy có định nghĩa như sau: Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua 3 đỉnh của một tam giác. Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác được xác định là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác đó. Đường tròn ngoại tiếp tam giác còn có thể được gọi với một cái tên khác là tam giác nội tiếp đường tròn ( hay tam giác nằm trong đường tròn)

Cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đơn giản, dễ hiểu

Khi tiến hành nối tâm O của đường tròn với 3 đỉnh của tam giác ABC thì sẽ có được các đường thẳng: OA = OB =OC. Đó chính là bản kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC mà chúng ta cần tìm.

2. Tính chất của đường tròn ngoại tiếp tam giác

Với đường tròn ngoại tiếp tam giác sẽ có các tính chất rất quan trọng mà các bạn học sinh cần phải nắm thật kỹ sau đây:

- Một tam giác thì chỉ có một và duy nhất một đường tròn ngoại tiếp

- Giao điểm của ba đường trung thực của một tam giác bất kì chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó

- Đối với tam giác vuông thì trung điểm của cạnh huyền tam giác đó chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp của tam giác

- Với một tam giác đều thì tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác đó sẽ cùng 1 điểm.

3. Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp

Đây là dạng bài khá thường gặp trong các kỳ thi kiểm tra định kỳ. Do đó, các bạn học sinh cần nắm rõ và chi tiết cách làm sau đây để hoàn thành bài thi một cách tốt nhất.

Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC =a, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, S là diện tích tam giác ABC

Cách 1: Sử dụng công thức diện tích tam giác

$S= \frac{abc}{4R}\Rightarrow R= \frac{abc}{4S}$

Cách 2: Sử dụng định lý SIn tam giác

Ta có:

$\frac{a}{sin\widehat{A}}= \frac{b}{sin\widehat{B}}= \frac{c}{sin\widehat{C}}= 2R$

$\Rightarrow R= \frac{a}{2sin\widehat{A}}=\frac{b}{2sin\widehat{B}}= \frac{c}{2sin\widehat{C}}$

Cách 3: Tính chất của tam giác vuông

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền, do đo bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông chính bằng nửa độ dài cạnh huyền.

Cách 4: Sử dụng hệ toạ độ

- Tìm toạ độ tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

- Tìm toạ độ một trong ba đỉnh A, B, C (nếu chưa có)

- Tính khoảng cách từ tâm O tới một trong ba đỉnh A, B, C đây chính là bán kính cần tìm: R = OA = OB = OC

* Cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều

Một tam giác đều là tam giác có cả ba cạnh và ba góc bằng nhau. Bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác đều chính bằng độ dài một cạnh của tam giác đó.

Do tam giác đều có các cạnh bằng nhau, ta có thể sử dụng công thức sau để tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác đều:

$r= \frac{a}{2}$

Trong đó:

+ r là bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác đều

+ a là độ dài một cạnh của tam giác đều

Chú ý rằng công thức này chỉ áp dụng được cho các tam giác đều. Nếu tam giác không phải tam giác đều, bạn cần sử dụng công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác như đã trình bày trong câu trả lời trước đó.

4. Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho tam giác ABC có AB= 3, AC=5 và BC=6. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Hướng dẫn giải quyết

Theo công thức Hê- rông, diện tích tam giác ABC là:

$S = \frac{\sqrt{(AB + AC + BC)(AB + BC - AC)(AB+AC-BC)(BC+AC-AB)}}{4}$ $= \frac{\sqrt{(3+5+6)(3+6-5)(3+5-6)(6+5-3)}}{4}$

$= \frac{\sqrt{14.4.2.8}}{4}= \frac{\sqrt{896}}{4}= \frac{8\sqrt{14}}{4}= 2\sqrt{14}$

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là

$R= \frac{AB.AC.BC}{4S}= \frac{3.5.6}{4.2\sqrt{14}}= \frac{90}{8\sqrt{14}}= \frac{45}{4\sqrt{14}}$

Bài 2: Cho hình thang vuông ABCD có $\widehat{A} = \widehat{B}= 90^{0}$ , BC = 2AD = 2a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AC, M là trung điểm của HC. Tìm tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác BDM

Cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đơn giản, dễ hiểu

Gọi N là trung điểm của BH thì MN là đường trung bình của tam giác HBC => MN ⊥ AB

Mặt khác BH ⊥ AM

=> N là trực tâm của tam giác ABM

=> AN ⊥ BM

Do $MN//=\frac{1}{2}BC\Rightarrow MN//=AD$

Nên ADMN là hình bình hành => AN // DM

Từ đó ta có: DM ⊥ MB hay tam giác DBM vuông tại M nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DBM là trung điểm O của BD

Ta có: $R= MO = \frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{4a^{2}+a^{2}}= \frac{a\sqrt{5}}{2}$

Bài 3: Cho tam giác ABC có góc B bằng 45° và AC = 4. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta có: b = AC = 4

Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC ta có:

$\frac{b}{sinB}=2R$

$\Rightarrow R=\frac{b}{2sinB}= \frac{4}{2sin45^{0}}= \frac{4}{2.\frac{\sqrt{2}}{2}}\frac{4}{\sqrt{2}}= 2\sqrt{2}$

Vậy $R=2\sqrt{2}$

Bài 4: Cho tam giác MNP có MN = 6, MP = 8 và PN = 10. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP.

Hướng dẫn giải:

Ta có: MN² = 6² = 36; MP² = 8² = 64;

PN² = 10² = 100

Vì 36 + 64 = 100

Nên MN² + MP² = PN²

Do đó tam giác MNP vuông tại M (theo Pytago)

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP là:

$R= \frac{1}{2}PN= \frac{1}{2}.10=5$

Bài 5: Cho tam giác ABC có BC = 10. Gọi (I) là đường tròn có tâm I thuộc cạnh BC và tiếp xúc với các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N. Biết đường tròn (I) có bán kính 3 và 2IB = 3IC. Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Hướng dẫn giải:

Cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đơn giản, dễ hiểu

+ Vì 2IB = 3IC

⇒ $\frac{IB}{IC}=\frac{3}{2}\Rightarrow \frac{IB}{BC}= \frac{3}{5}\Rightarrow IB= \frac{3}{5}BC= \frac{3}{5}.10= 6$

IC = BC - IB = 10 -6 = 4

+ Vì M và N lần lượt là tiếp điểm của đường tròn tâm I với AB và AC

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} IM \perp AB& & \\ IN\perp AC & & \\ IM =IN=3 & & \end{matrix}\right.$

Tam giác MIB vuông tại M ⇒ $\frac{IM}{IB}= \frac{3}{6}= \frac{1}{2}$

$\Rightarrow cosB =\sqrt{1-sin^{2}B}= \sqrt{1-(\frac{1}{2})^{2}}= \frac{\sqrt{3}}{2}$

(do góc B nhọn)

Tam giác NIC vuông tại N ⇒ $sinC = \frac{IN}{IC}= \frac{3}{4}$

⇒ $cosC= \sqrt{1-sin^{2}C} = \sqrt{1-(\frac{3}{4})^{2}}= \frac{\sqrt{7}}{4}$

(do góc C nhọn)

+ Ta có: $\left.\begin{matrix} AI chung & \\ IM = IN & \end{matrix}\right\}\Rightarrow \Delta IMA= \Delta INA$

(cạnh huyền cạnh góc vuông)

$\Rightarrow \widehat{MAI}= \widehat{NAI}\Rightarrow AI$ là tia phân giác của góc BAC

Đặt AB = c, AC =b

Suy ra $\frac{c}{b}= \frac{AB}{AC}= \frac{IB}{IC}= \frac{6}{4}= \frac{3}{2}$ (tính chất phân giác)

⇒2c = 3b

+ Mặt khác theo định lý Cô-sin trong tam giác ABC ta có:

c² = b² + BC² -2b.BC.cosC

Thay số ta được hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{matrix} 2c= 3b & \\ c^{2} =b^{2} +100 - 2b.10.\frac{\sqrt{7}}{4}& \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} c=\frac{3}{2}b & \\ \left ( \frac{3}{2}b \right ) ^{2} = b^{2} -5\sqrt{7}b+100& \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} c=\frac{3}{2}b & \\ \frac{5}{4}b^{2}-5\sqrt{7}b+100=0& \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow b = 2\left ( 3\sqrt{3}-\sqrt{7} \right ) (tm)$ và $b = -2\left ( 3\sqrt{3}-\sqrt{7} \right ) < 0 \left ( loai \right )$

Vậy $b = 2\left ( 3\sqrt{3} -\sqrt{7}\right )$

Theo định lý sin trong tam giác ABC ta có:

$\frac{b}{sinB}= 2R$

$\Rightarrow R=\frac{b}{2sinB}= \frac{2\left ( 3\sqrt{3} -7\right )}{2.\frac{1}{2}}= 2\left ( 3\sqrt{3}-\sqrt{7} \right )$

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là"

$R= 2\left ( 3\sqrt{3} -\sqrt{7}\right )$

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 1; AC =4. Gọi M là trung điểm AC

a) Tính diện tích tam giác ABC

b) Tính bán kính R₁ của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

c) Tính bán kính R₂của đường tròn ngoại tiếp tam giác CBM

Cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đơn giản, dễ hiểu

Hướng dẫn giải:

a) Tam giác ABC vuồng tại A nên diện tích tam giác ABC là:

$S= \frac{1}{2}AB.AC= \frac{1}{2}.1.4= 2 (dvdt)$

b) Tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Pytago ta có:

BC² = AB² + AC²= 1² + 4² = 17

$\Rightarrow BC= \sqrt{17}$

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

$R_{1}= \frac{AB.AC.BC}{4S}= \frac{1.4.\sqrt{17}}{4.2}= \frac{\sqrt{17}}{2}$

c) Có M là trung điểm của AC nên:

$S_{BMC}= \frac{1}{2}S_{ABC}= \frac{1}{2}S= \frac{1}{2}.2= 1$

$MB= MC= \frac{1}{2}AC\frac{1}{2}.4= 2$

$BM^{2}= AB^{2}+AM= 1^{2}+2^{2}= 5$ (tam giác AMB vuông tại A) ⇒ $BM = \sqrt{5}$

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CMB là:

$R_{2}=\frac{CM.BC.BM}{4S_{BMC}}= \frac{2.\sqrt{17}.\sqrt{5}}{4.1}= \frac{\sqrt{85}}{2}$

5. Một số bài tập luyện tập

Chúng tôi sẽ giới thiệu đến các em học sinh một số bài tập toán về đường tròn ngoại tiếp tam giác để các em có thể hiểu và hoàn thành các bài tập một các tốt nhất.

Bài 1: Cho tam giác ABC đã biết A ( 1;3 ), B (-1;1), C (2;2). Tìm toạ độ của tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = 6cm, BC =8cm. Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác bằng bao nhiêu?

Bài 3: Cho tam giác CBH có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O; R). Ba đường của tam giác là MF, NE và PD cắt nhau tại H. Chứng minh tứ giác NDEP là tứ giác nội tiếp.

Bài 4: Cho tam giác ABC đều với cạnh bằng 8cm. Xác định bán kính và tâm của đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC?

Bài 5: Cho tam giác đều ABC đều với cạnh bằng 8cm. Xác định bán kính và tâm của đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC

Bài 6: Viết phương trình đường tròn nội tiếp của tam giác ABC khi đã cho sẵn toạ độ của 3 đỉnh A(-1;3); B(5;1); C(-1;3).

Trên đây, công ty Luật Minh Khuê đã giúp các bạn học sinh có được kiến thức tổng hợp các thông tin chi tiết liên qua đến đường tròn ngoại tiếp tam giác. Mong rằng với những thông tin này sẽ giúp các em học sinh có thêm cho mình hành trang hữu ích cho môn toán học. Ngoài ra, các bạn có thể tham khảo thêm bài viết sau: xác định tâm đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp tam giác, đường tròn ngoại tiếp thứ giác.