1. Giải Toán 8 Chân trời sáng tạo Bài 6: Cộng, trừ phân thức
Khi tiến hành các phép tính liên quan đến phân thức, chúng ta cần tuân theo một số quy tắc cơ bản để đơn giản hóa biểu thức và thu được kết quả chính xác. Dưới đây là các bước cơ bản để thực hiện phép cộng và trừ các phân thức, cùng với việc phân tích tử số để rút gọn phân thức:
Bước 1: Quy đồng mẫu thức
Trước hết, chúng ta cần đảm bảo rằng tất cả các phân thức trong biểu thức có cùng mẫu số (mẫu thức). Điều này đồng nghĩa với việc tìm một mẫu số chung hoặc tính mẫu số chung bằng cách nhân các mẫu số lại với nhau.
Bước 2: Thực hiện phép cộng (trừ) các phân thức cùng mẫu
Sau khi đã có các phân thức có cùng mẫu thức, chúng ta có thể thực hiện phép cộng hoặc trừ tử số của chúng. Điều này đơn giản bằng cách cộng (hoặc trừ) các tử số lại với nhau, giữ nguyên mẫu số chung.
Bước 3: Phân tích tử số để rút gọn phân thức (nếu có thể)
Nếu có thể, chúng ta nên phân tích tử số của các phân thức thành nhân tử để rút gọn biểu thức. Điều này đòi hỏi chúng ta phải tìm các yếu tố chung trong tử số và mẫu số, sau đó chia tử số và mẫu số cho các yếu tố này để đơn giản hóa phân thức.
Tóm lại, việc sử dụng các quy tắc cộng (trừ) các phân thức và các tính chất liên quan đến phân thức giúp chúng ta làm việc với biểu thức phức tạp hơn một cách hiệu quả và tối ưu hóa chúng để thu được biểu thức đơn giản hóa và dễ tính toán hơn.
Giải Toán 8 trang 31 Tập 1
Khởi động trang 31 Toán 8 Tập 1: Tại một cuộc đua thuyền diễn ra trên một khúc sông từ A đến B dài 3 km. Mỗi đội thực hiện một vòng đua, xuất phát từ A đến B, rồi quay về A là đích. Một đội đua đạt tốc độ (x + 1) km/h khi xuôi dòng từ A đến B và đạt tốc độ (x – 1) km/h khi ngược dòng từ B về A. Thời gian thi của đội là bao nhiêu? Chiều về mất thời gian nhiều hơn chiều đi bao nhiêu giờ? Cần dùng phép tính nào để tìm các đại lượng đó?
Lời giải:
Thời gian đội đua xuôi dòng từ A đến B là: 
(giờ).
Thời gian đội đua ngược dòng từ B về A là: (giờ).
Thời gian thi của đội là: (giờ).
Chiều về mất thời gian nhiều hơn chiều đi là: (giờ).
Như vậy ta cần dùng phép tính cộng để tìm thời gian thi của đội và dùng phép tính trừ để tìm thời gian chiều về nhiều hơn chiều đi.
1. Cộng, trừ hai phân thức cùng mẫu
Khám phá 1 trang 31 Toán 8 Tập 1: Một hình chữ nhật lớn được ghép bởi hai hình chữ nhật A và B lần lượt có diện tích là a cm2, b cm2 và có cùng chiều dài x cm
a) Tính chiều rộng của hình chữ nhật lớn theo hai cách khác nhau.
b) Chiều rộng của B lớn hơn chiều rộng của A bao nhiêu? Biết b > a.
Lời giải:
a) Cách 1:
Diện tích của hình chữ nhật lớn là: a + b (cm2).
Chiều rộng của hình chữ nhật lớn là: (cm).
Cách 2:
Chiều rộng của hình chữ nhật A là: (cm).
Chiều rộng của hình chữ nhật B là: (cm).
Chiều rộng của hình chữ nhật lớn là: (cm).
b) Chiều rộng của hình chữ nhật B lớn hơn chiều rộng của hình chữ nhật A là:
(cm).
>> Xem thêm: Đề thi giữa học kì 2 môn Toán lớp 8 có đáp án năm 2022 - 2023
2. Giải Toán 8 Kết nối tri thức Bài 6: Hiệu hai bình phương, Bình phương của một tổng hay một hiệu
Luyện tập 1 trang 30 sgk Toán 8 tập 1 KNTT:
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào là hằng đẳng thức?
a) a(a+2b)=a^{2}+2ab
b) a + 1 = 3a - 1
Hướng dẫn giải
a) a(a+2b)=a^{2}+2ab là hằng đẳng thức
b) a + 1 = 3a - 1 không phải hằng đẳng thức (vì khi thay a = 0 thì hai vế của đẳng thức không bằng nhau)
Hiệu hai bình phương
Hoạt động 1 trang 30 sgk Toán 8 tập 1 KNTT:
Quan sát hình 2.1.
a) Tính diện tích của phần hình màu xanh ở hình 2.1a
b) Tính diện tích hình chữ nhật màu xanh ở hình 2.1b
c) Có nhận xét gì về diện tích của hai hình ở câu a và câu b
Hướng dẫn giải
a) Diện tích của phần hình màu xanh ở hình 2.1a:
a(a - b) + b(a - b)
= (a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}
b) Diện tích hình chữ nhật màu xanh ở hình 2.1b: (a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}
c) Diện tích của hai hình ở câu a và câu b bằng nhau
Hoạt động 2 trang 31 sgk Toán 8 tập 1 KNTT:
Với hai số a, b bất kì, thực hiện phép tính (a+b) x (a-b)
Từ đó rút ra liên hệ giữa a^{2}-b^{2}và (a + b)(a - b)
Hướng dẫn giải
Lấy a = 5, b = 3, ta có: (5 + 3)(5 - 3) = 16
5^{2}-3^{2}=25-9=16
Từ đó rút ra, a^{2}-b^{2} = (a + b)(a - b)
Luyện tập 2 trang 31 sgk Toán 8 tập 1 KNTT:
a) Tính nhanh 99^{2}-1
b) Viết (x^{2}-9) dưới dạng tích
Hướng dẫn giải
a) 99^{2}-1=(99-1)(99+1) = 98 x 100 = 9800
b) x^{2}-9= (x+3)(x-3)
>> Tham khảo: Đề cương ôn tập học kì 2 môn Toán lớp 8 chi tiết năm 2022 - 2023
3. Giải Toán 8 Cánh diều Bài 6: Hình thoi
Khởi động trang 113 Toán 8 Tập 1: Hoạ tiết trên vải ở Hình 55 gợi lên hình ảnh của hình thoi.
Hình thoi có những tính chất gì? Có những dấu hiệu nào để nhận biết một tứ giác là hình thoi?
Lời giải:
Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết câu hỏi trên như sau:
‒ Trong một hình thoi:
+ Bốn cạnh bằng nhau;
+ Các cạnh đối song song.
+ Các góc đối bằng nhau.
+ Hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
+ Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc ở đỉnh.
‒ Dấu hiệu nhận biết hình thoi:
+ Hình bình hành có hai cạnh kề nhau là hình thoi.
+ Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.
+ Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi.
I. Định nghĩa
Hoạt động 1 trang 113 Toán 8 Tập 1: So sánh độ dài các cạnh của tứ giác ABCD ở Hình 56.
Lời giải:
Xét tứ giác ABCD ở Hình 56 ta có: AB = BC = CD = DA.
II. Tính chất
Hoạt động 2 trang 113, 114 Toán 8 Tập 1: Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O (Hình 58).
a) Hình thoi ABCD có là hình bình hành hay không?
b) Hai đường chéo AC và BD có vuông góc với nhau hay không?
c) Hai tam giác ABC và ADC có bằng nhau hay không? Tia AC có phải là tia phân giác của BAD hay không?
Lời giải:
a) Do ABCD là hình thoi nên AB = BC = CD = DA.
Xét tứ giác ABCD có: AB = CD, AD = BC nên ABCD là hình bình hành.
b) Do ABCD là hình bình hành nên OB = OD.
Xét ΔOAD và ΔOAB có:
OA là cạnh chung;
AD = AB (chứng minh trên);
OD = OB (chứng minh trên).
Do đó ΔOAD = ΔOAB (c.c.c)
Suy ra ˆAOD=ˆAOB (hai góc tương ứng)
Mà ˆAOD+ˆAOB=180°
^=180°. (hai góc kề bù)
Do đó ˆAOD=ˆAOB=180°2=90°
^=180°2=90° hay AC ⊥ BD tại O.
c) Xét ΔABC và ΔADC có:
AC là cạnh chung;
AB = AD (chứng minh câu a);
BC = DC (chứng minh câu a)
Do đó ΔABC = ΔADC (c.c.c)
Suy ra ˆBAC=ˆDACn(hai góc tương ứng)
Nên AC là tia phân giác của ˆBAD
Luyện tập 1 trang 114 Toán 8 Tập 1: Cho hình thoi ABCD có ˆABC=120=120°. Chứng minh tam giác ABD là tam giác đều.
Lời giải:
Do ABCD là hình thoi nên AB = AD
Tam giác ABD có AB = AD nên là tam giác cân tại A.
Do ABCD là hình thoi nên BD là tia phân giác của góc ABC.
Suy ra ˆABD=12ˆABC=12.120°=60°=12.120°=60°.
Xét ΔABD cân có ˆABD=60° nên là tam giác đều.
III. Dấu hiệu nhận biết
Hoạt động 3 trang 114 Toán 8 Tập 1: a) Cho hình bình hành ABCD có hai cạnh kề AB và BC bằng nhau. ABCD có phải là hình thoi hay không?
b) Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau (Hình 60).
• Đường thẳng AC có phải là đường trung trực của đoạn thẳng BD hay không?
• ABCD có phải là hình thoi hay không?
Lời giải:
a) Do ABCD là hình bình hành nên AB = CD và AD = BC.
Mà AB = BC nên AB = BC = CD = DA.
Tứ giác ABCD có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.
b) • Do ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Do đó AC ⊥ BD tại trung điểm O của đoạn thẳng BD.
Suy ra AC là đường trung trực của đoạn thẳng BD.
• Vì AC là đường trung trực của đoạn thẳng BD nên AD = AB.
Theo kết quả câu a, hình bình hành ABCD có hai cạnh kề AD và AB bằng nhau nên là hình thoi.
Luyện tập 2 trang 115 Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA. Chứng minh tứ giác ABNC là hình thoi.
Lời giải:
Do MN = MA nên M là trung điểm của AN.
Xét tứ giác ABNC có hai đường chéo AN và BC cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường
Do đó ABNC là hình bình hành.
Mặt khác, ΔABC cân tại A có AM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao
Do đó AM ⊥ BC hay AN ⊥ BC.
Suy ra hình bình hành ABNC có hai đường chéo vuông góc với nhau nên là hình thoi.
