Mục lục bài viết

1. Căn bậc hai, căn bậc ba
2. Hàm số
3. Hệ thức lượng trong tam giác vuông
4. Đường tròn
5. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
6. Hàm số y = ax2 ( a khác 0) - Phương trình bậc hai một ẩn
7. Góc với đường tròn
8. Hình trụ - hình nón - hình cầu

1. Căn bậc hai, căn bậc ba

- Ta có:

Một số cách giải bài tập các môn lớp 9

- Điều kiện tồn tại của $\sqrt{a}$ là $A\geq 0$

- $\sqrt{a^{2}} = \left | A \right | = \begin{cases} & \text{ A } khi A\geq 0 \\ & \text{ -A} khi A< 0 \end{cases}$

- $\sqrt{A.B} = \sqrt{A}. \sqrt{B}$ với $A\geqslant 0; B\geqslant 0$

Tổng quát: $\sqrt{A1A2.............An} = \sqrt{A1}.\sqrt{A2}....\sqrt{An}$ với $A1\geq 0 ( 1\leq i\leq n)$

- Với Một số cách giải bài tập các môn lớp 9 ta có $\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$

- Khi đưa thừa số A² ra ngoài dấu căn bậc hai ta được |A|

$\sqrt{A^{2}B} = \left | A \right | \sqrt{B} ; B \geq 0$

- Đưa thừa số vài trong dấu căn bậc hai

$\begin{cases} & \text{} A\sqrt{B}=\sqrt{A^{2}B}, khi A\geq 0; B \geqslant 0 \\ & \text{ } A\sqrt{B}= -\sqrt{A^{^{2}}B}, khi A< 0; B\geq 0 \end{cases}$

- Khử mẫu của biểu thức dưới dấu căn bậc hai

Đối với biểu thức dưới dấu căn, ta nhân mẫu số với thừa số phụ thích hợp để mẫu số có dạng C^2.

^{- Trục căn thức ở mẫu số: gồm các dạng cơ bản sau:}

Lưu ý: nhân cả tử và mẫu với một số thừa số thích hợp để mẫu có dạng: $\sqrt{C^{2}}$

$\frac{m}{\sqrt{A } +\sqrt{B}} = \frac{m(\sqrt{A}-\sqrt{B})}{A-B}$

$\frac{m}{\sqrt{A } -\sqrt{B}} = \frac{m(\sqrt{A} +\sqrt{B})}{A-B}$

- Một số chú ý giải phương trình:

Một số cách giải bài tập các môn lớp 9

- $a< b\Leftrightarrow \sqrt[3]{a}< \sqrt[3]{b}$

- $\sqrt[3]{a^{3}}^{}= (\sqrt[3]{a})^{3} = a$

- $\sqrt[3]{a.b}^{}= \sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b}$

- $\sqrt[3]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$ với b khác 0

- $a\sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a^{3}b}$

- Biểu thức tổng hợp của căn bậc 3:

Một số cách giải bài tập các môn lớp 9

2. Hàm số

- Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị x thuộc R

- Trên tập hợp số thực R, hàm số y = ax + b đồng biến khi a > 0 và nghịch biến khi a <0

Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến trong khoảng nào đó nếu với mọi x₁ và x₂ trong khoảng đó sao cho x₁ < x₂ thì f(x₁) < f(x₂)

Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến trong khoảng nào đó nếu với mọi x₁ và x₂ trong khoảng đó sao cho x₁ < x₂ thì f(x₁) > f(x₂)

- Đồ thị hàm số y = ax (a khác 0) là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ mà ta gọi là đường thẳng y = ax. Đường thẳng y = ax nằm ở góc phần thư thứ I và thứ III khi a > 0; nằm ở góc phần tư thứ II và thứ IV khi a < 0.

- Đồ thị của hàm số y = ax + b là đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b với song song với đường thẳng y = ax nếu b khác 0; trùng với đường thẳng y = ax nếu b = 0

Độ thị của hàm số bậc nhất y = ax + b (a khác 0) còn gọi là đường thẳng y = ax + b; b được gọi là tung độ gốc của được thẳng

- Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a khác 0)

+ Cách vẽ đồ thị của hàm số y = ax (a khác 0)

Cho x = 1 thì y = a. Vẽ điểm A (1;a)

Đồ thị là đường thẳng OA

+ Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a khác 0, b khác 0)

Xác định giao điểm của độ thị với trục tung với trục hoành

x	0	- b / a
y	b	0

P(0;b); Q ((-b/a;0)

Đồ thị là đường thẳng PQ

- Chú ý:

Cho hàm số y = f(x)

Nếu tọa độ (x₀;y₀) của điểm A thỏa mãn hãm số y = f(x) thì điểm A thuộc đồ thị của hàm số này.

Ngược lại, nếu điểm A(x₀;y₀) nằm trên đồ thị của hàm số y = f(x) thì tọa độ (x₀;y₀) của A thỏa mãn hàm số y = f(x)

- Bổ sung:

Trong mặt phẳng tọa độ, hai điểm A (x₁;y₁); B(x₂;y₂). Ta có:

+ AB = $\sqrt{(x2 - x1)^{^{2}}+(y2 - y1)^{2})}$

M (x;y) là trung điểm của AB: $\begin{cases} & \text{ } x= \frac{x1 + x2}{2}\\ & \text{ } y= \frac{y1 +y2}{2} \end{cases}$

A đối xứng với b qua trục hành <=> x ₁ = x₂ và y₁ = - y₂

A đối xứng với B qua trục tung <=> x₁ = - x₂ và y₁ = y₂

A đối xứng với B qua gốc O <=> x₁ = - x₂ và y₁ = -y₂

A đối xứng với B qua đường thẳng y = x <=> x₁ = y₂ và y₁ = x₂

A đối xứng với B qua đường thẳng y = -x <=> x₁ = -y₂ và y₁ = -x₂

3. Hệ thức lượng trong tam giác vuông

a) Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Một số cách giải bài tập các môn lớp 9

Cho tam giác ABC, góc A bằng 90 độ, AH vuông góc BC, AB = c, AC = b, BC = a, AH = h thì:

+ BH = c' được gọi là hình chiếu của AB xuống BC

+ CH = b' được gọi là hình chiếu của AC xuống BC

Khi đó, ta có:

1) AB² = BH.BC hay c² = a.c'

AC² = CH.BC hay b²= a.b'

2) AH²= CH.BH hay h²= b'.c'

3) AB. AC = AH.BC hay b.c = a.h

4) 1/ AH²= 1 / AB²+ 1 / AC²hay 1 / h² = 1 / b²+ 1 / c²

5) AB² + AC²= BC² hay b²+ c² = a²(Định lý Pytago)

b) Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Một số cách giải bài tập các môn lớp 9

- Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tang góc này bằng cotang góc kia

- Một số hệ thức cơ bản:

Một số cách giải bài tập các môn lớp 9

- So sánh các tỉ số lượng giác:

+ Cho $\alpha ,\beta$ là hai góc nhọn. Nếu $\alpha < \beta$ thì

$\sin \alpha < \sin\beta ; \tan \alpha <\tan \beta$

Một số cách giải bài tập các môn lớp 9

$\sin \alpha <\tan \alpha ; \cos \alpha < \cot \alpha$

- Các hệ thức:

Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cos góc kề

b) Cạnh góc vuông kia nhân với tan góc đối hoặc cot góc kề

Một số cách giải bài tập các môn lớp 9

b = a.sinB = A.cosC

c = a.sinC = a.cosB

b = c.tanB = c.cotC

c = b.tanB = b.cotC

4. Đường tròn

- Đường tròn tâm O bán kính R kí hiệu (O;R) là hình gồm các điểm cách điểm O cho trước một khoảng bằng R

- Quá ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn

- Đường tròn là hình có tâm đối xứng và trục đối xứng

+ Tấm đối xứng là tâm của đường tròn

+ Trục đối xứng là bất kì đường kính nào

- Trong các dây của đường tròn, đường kính là dây lớn nhất

- Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy. Đảo lại, trong một đường tròn đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.

- Trong một đường tròn:

+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm

+ Hay dây cách đều tâm thì bằng nhau

- Trong hai dây của một đường tròn

+ Dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn

+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn

5. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

- Phương pháp 1: phương pháp thế

+ Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho ( coi là phương trình thứ nhất) ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn)

+ Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế phương trình thứ hai trong hệ(phương trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1)

+ Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

+ Bước 4: Kết luận.

- Phương pháp 2: Phương pháp cộng đại số

+ Bước 1: Nhân đôi vế của hai phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó ( ẩn x hay ẩn y) trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.

+ Bước 2: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới.

+ Bước 3: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ ( và giữ nguyên phương trình kia)

+ Bước 4: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

+ Bước 5: Kết luận

- Phương pháp 3: Phương pháp đặt ẩn phụ

+ Bước 1: Đặt điểu kiện của phương trình

+ Bước 2: Đặt ẩn phụ điều kiện của ẩn phụ. Đưa hệ ban đầu về hệ mới

+ Bước 3: Giải hệ mới tìm ẩn phụ

+ Bước 4: Thay giá trị vào ẩn phụ tìm x và y

+ Bước 5: Kết luận

>> Tham khảo: Đề thi giữa học kì 2 môn Toán lớp 9 có đáp án năm 2022 - 2023

6. Hàm số y = ax² ( a khác 0) - Phương trình bậc hai một ẩn

- Hàm số y = ax² ( a khác 0): Hàm số xác định với mọi số thực x

Tình chất biến thiên:

+ Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến khi x >0, nghịch biến khi x <0

+ Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến x < 0, nghịch biến khi x > 0

Đồ thị hàm số là một đường Parabol nhận gốc toạ độ O làm đỉnh, nhận trục tung làm trục đối xứng. Khi a > 0 thì Parabol có bề lõm quay lên trên, khi a < 0 thì Parabol có bề lõm quay xuống dưới.

Một số cách giải bài tập các môn lớp 9

- Phương trình bậc hai một ẩn:

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng: ax² + bx + c = 0. Trong đó x là ẩn số; a , b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a khác 0

Đối với phương trình ax²+ bx + c = 0 ( a khác 0) và biệt thức $\Delta$ = b² - 4ac

+ Nếu $\Delta$ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

Một số cách giải bài tập các môn lớp 9

+ Nếu $\Delta$ = 0 thì phương trình có nghiệm kép là: x₁ = x₂ = - b / 2a

+ Nếu $\Delta$ < 0 thì phương trình vô nghiệm

Đối với phương trình ax²+ bc + c ( a khác 0) và b = 2b'; $\Delta '$ = b'² -ac

+ Nếu $\Delta '$ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Một số cách giải bài tập các môn lớp 9

+ Nếu $\Delta '$ = 0, phương trình có nghiệm kép là: x₁ = x ₂ = -b' / a

+ Nếu $\Delta '$ < 0, phương trình đã vô nghiệm

- Định lý Vi - ét và ứng dụng

Định lý Vi - et: Nếu x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình ax²+ bx + c = 0 ( a khác 0) thì:

Một số cách giải bài tập các môn lớp 9

Chú ý: Trước khi sử dụng định lý Viet, chúng ta cần kiểm tra điều kiện phương trình có nghiệm, nghĩa là $\Delta \geq 0$

- Một số ứng dụng cơ bản của định lý Viet

+ Nhẩm nghiệm của phương trình bậc 2:

Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm là x₁ = 1, x ₂ = c / a
Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm x₁ = -1; x₂ = -c / a

+ Tính giá trị của biểu thức g(x₁,x₂₎ trong đó g(x₁,x₂) là biểu thức đối xứng giữa hai nghiệm x₁, x₂ của phương trình (*):

Bước 1: Kiểm tra điều kiện $\Delta \geq 0$ , sau đó áp dụng định lí Viet
Bước 2 : Biểu diễn biểu thức g(x1,x2) theo S = x₁ + x₂, P =x₁.x₂ từ đó tính được g(x₁,x₂)

Một số biểu thức thường gặp:

x1²+ x2² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = S² - 2P
X₁³+ x₂³= (x₁ + x₂)³ - 3x₁x₂( x₁ + x₂) = S³- 3SP
X₁⁴+ x₂⁴ = (x₁²+ x₂²)² - 2x₁²x₂² = (S² -2P)² - 2P² = S⁴ - 4S²P + 2P²
$\left | x1 - x2 \right | = \sqrt{(x1 -x2)^{2} } = \sqrt{(x1 +x2)^{2} - 4x1x2} = \sqrt{S2 - 4P }$

+ Lập phương trình bậc hai có 2 nghiệm là x₁, x₂ cho trước:

Bước 1: Tính S = x₁ + x₂; P = x₁.x₂
Bước 2: Phương trình bậc 2 nhận hai nghiệm x_1, x₂ là x² - S.X + P = 0

- Phương trình quy về phương trình phương trình bậc 2

+ Phương trình trùng phương

Phương trình trùng phương là phương trình có dạng: ax⁴ + bx²+ c = 0 ( a khác 0)
Giải phương trình ax⁴ + bx² + c = 0 ( a khác 0)
Đặt ẩn phụ x² = t, $t\geq 0$
Giải phương trình ẩn phụ mới: at² + bt + c = 0
Với mỗi giá trị tìm được của t, lại giải phương trình x² = t

+ Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta làm như sau:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình
Bước 2: Quy đồng mẫu thức hau vế rồi khử mẫu thức
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được
Bước 4: Trong các gái trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thoả mãn điều kiện xác định, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho.