Mục lục bài viết

1. Giá trị nguyên là gì và điều kiện để biểu thức nhận giá trị nguyên

Giá trị nguyên là những số thuộc tập số nguyên, gồm các số nguyên âm, số 0 và các số nguyên dương như: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... Khi bài toán yêu cầu “tìm x nguyên để biểu thức A nhận giá trị nguyên”, điều đó có nghĩa là ta phải tìm các giá trị x thuộc tập số nguyên sao cho sau khi thay vào biểu thức, kết quả cuối cùng cũng là một số nguyên.

Để một biểu thức nhận giá trị nguyên, trước hết biểu thức đó phải xác định. Đây là điều kiện đầu tiên và bắt buộc. Nếu biểu thức có mẫu số thì mẫu phải khác 0. Nếu biểu thức có căn bậc hai thì biểu thức dưới dấu căn phải không âm. Nếu không kiểm tra điều kiện xác định ngay từ đầu, học sinh rất dễ giữ lại những nghiệm sai.

Sau khi biểu thức đã xác định, điều kiện tiếp theo là giá trị của biểu thức phải thuộc tập số nguyên. Với các biểu thức đa thức như x + 2, 3x - 5, x bình phương cộng 1, nếu x là số nguyên thì giá trị thường cũng là số nguyên. Nhưng với phân thức hoặc biểu thức chứa căn, vấn đề phức tạp hơn. Chẳng hạn, với biểu thức 5 chia cho x - 1, dù x là số nguyên nhưng kết quả chưa chắc là số nguyên. Khi đó ta phải xét xem x - 1 có phải là ước của 5 hay không.

Từ đó có thể rút ra nguyên tắc quan trọng: trong nhiều bài toán tìm x nguyên, việc biểu thức nhận giá trị nguyên thường gắn với bài toán chia hết. Nói cách khác, ta cần biến đổi biểu thức về dạng “một số nguyên cộng với một phân số”, rồi buộc phần phân số đó cũng phải là số nguyên. Khi ấy, mẫu số thường phải là ước của tử số.

Ví dụ, xét biểu thức A = (3x + 7) : (x + 1). Nếu biến đổi được thành A = 3 + 4 : (x + 1), thì để A là số nguyên, 4 : (x + 1) phải là số nguyên. Từ đó, x + 1 phải là ước của 4. Đây chính là hướng giải quen thuộc và hiệu quả nhất trong chương trình phổ thông.

 

2. Các dạng bài tập tìm x nguyên để biểu thức nhận giá trị nguyên phổ biến

Dạng thứ nhất là phân thức đại số với x là số nguyên. Đây là dạng gặp nhiều nhất. Biểu thức thường có dạng tử và mẫu đều là đa thức, ví dụ: (2x + 5) : (x - 1), hoặc (x bình phương + 3x + 2) : (x + 2). Với dạng này, phương pháp chủ yếu là tách biểu thức thành phần nguyên và phần phân số.

Dạng thứ hai là biểu thức chứa căn thức với x nguyên. Ví dụ: (2 căn x + 5) : (căn x - 1). Ở dạng này, ngoài việc tách phần nguyên như trên, học sinh còn phải chú ý thêm điều kiện x không âm và thường phải xét để căn x là số nguyên. Điều đó đồng nghĩa với việc x thường phải là số chính phương.

Dạng thứ ba là bài toán tìm x thực để biểu thức nhận giá trị nguyên. Dạng này khác với dạng x nguyên ở chỗ không thể chỉ dùng phương pháp tìm ước. Khi x là số thực, mẫu số có thể nhận nhiều giá trị thực khác 0. Vì thế, cách làm thường là đánh giá hoặc kẹp miền giá trị của biểu thức, sau đó chọn các giá trị nguyên có thể có rồi giải phương trình tương ứng.

Dạng thứ tư là phân thức mà bậc tử lớn hơn hoặc bằng bậc mẫu. Ví dụ: (x bình phương + 3x + 5) : (x + 2). Với dạng này, học sinh phải thực hiện phép chia đa thức hoặc thêm bớt hạng tử để đưa biểu thức về dạng đơn giản hơn. Sau đó mới xét điều kiện để phần còn lại là số nguyên.

Dạng thứ năm là bài toán kết hợp nhiều điều kiện. Chẳng hạn, vừa yêu cầu x nguyên, vừa có căn, vừa có phân thức. Những bài này đòi hỏi học sinh xử lý từng điều kiện theo đúng thứ tự: điều kiện xác định trước, biến đổi biểu thức sau, rồi mới xét tính nguyên của giá trị.

Nhìn chung, dù biểu thức có khác nhau, các bài toán loại này vẫn xoay quanh một trục tư duy chung: xác định điều kiện, biến đổi biểu thức, quy về điều kiện chia hết hoặc điều kiện giá trị, rồi thử và kết luận.

 

3. Hướng dẫn chi tiết cách tìm giá trị nguyên của x để biểu thức có giá trị nguyên

Để giải tốt dạng toán này, học sinh nên tuân theo một quy trình thống nhất gồm bốn bước.

Bước 1 là tìm điều kiện xác định. Nếu biểu thức có mẫu, phải loại các giá trị làm mẫu bằng 0. Nếu có căn bậc hai, phải bảo đảm biểu thức trong căn không âm. Đây là bước không được bỏ qua.

Bước 2 là biến đổi biểu thức. Mục tiêu của bước này là tách biểu thức thành dạng dễ xét tính nguyên hơn, thường là:
A = phần nguyên + phần phân số

Ví dụ:
A = (3x + 7) : (x + 1)
Ta viết:
3x + 7 = 3(x + 1) + 4
Nên:
A = 3 + 4 : (x + 1)

Khi đó, vì 3 là số nguyên, để A là số nguyên thì 4 : (x + 1) phải là số nguyên.

Bước 3 là xét điều kiện chia hết. Từ ví dụ trên, ta có:
x + 1 là ước của 4

Các ước của 4 gồm: 1, -1, 2, -2, 4, -4

Do đó, lần lượt cho:
x + 1 = 1, x + 1 = -1, x + 1 = 2, ...
rồi tìm ra các giá trị x tương ứng.

Bước 4 là đối chiếu lại với điều kiện xác định và kết luận. Có những giá trị tìm được từ bước xét ước nhưng lại vi phạm điều kiện xác định, nên phải loại đi.

Với biểu thức chứa căn, quy trình vẫn tương tự nhưng cần thêm một bước suy nghĩ: nếu căn x xuất hiện trong vai trò của mẫu hoặc trong điều kiện chia hết, thì căn x thường phải là số nguyên. Khi đó, x phải là số chính phương.

Ví dụ:
B = (2 căn x + 5) : (căn x - 1)

Ta biến đổi:
B = 2 + 7 : (căn x - 1)

Để B là số nguyên thì căn x - 1 phải là ước của 7. Từ đó:
căn x - 1 thuộc các giá trị 1, -1, 7, -7

Suy ra:
căn x = 2, 0, 8, -6

Vì căn x không âm nên loại -6. Khi đó:
x = 4, 0, 64

Sau cùng kiểm tra lại điều kiện x khác 1, ta giữ các nghiệm thỏa mãn.

Nếu bài toán cho x là số thực, học sinh cần đổi cách nghĩ. Khi ấy, thay vì xét ước, ta thường đánh giá biểu thức để tìm khoảng giá trị. Sau đó, chọn các số nguyên nằm trong khoảng đó và giải phương trình tương ứng.

 

4. Ví dụ minh họa và bài tập thực hành tìm giá trị x nguyên

Ví dụ 1: Tìm x nguyên để A = (3x + 7) : (x + 1) nhận giá trị nguyên.

Điều kiện xác định là x khác -1.

Ta biến đổi:
A = (3x + 3 + 4) : (x + 1)
A = 3 + 4 : (x + 1)

Để A là số nguyên thì 4 : (x + 1) phải là số nguyên.
Suy ra x + 1 là ước của 4.

Các trường hợp:
x + 1 = 1 thì x = 0
x + 1 = -1 thì x = -2
x + 1 = 2 thì x = 1
x + 1 = -2 thì x = -3
x + 1 = 4 thì x = 3
x + 1 = -4 thì x = -5

Các giá trị này đều thỏa điều kiện xác định.
Vậy x thuộc tập: 0, -2, 1, -3, 3, -5.

Ví dụ 2: Tìm x nguyên để B = (x bình phương + 3x + 5) : (x + 2) nhận giá trị nguyên.

Điều kiện xác định: x khác -2.

Ta chia:
x bình phương + 3x + 5 = (x + 2)(x + 1) + 3

Nên:
B = x + 1 + 3 : (x + 2)

Để B là số nguyên thì 3 : (x + 2) phải là số nguyên.
Suy ra x + 2 là ước của 3.

Các ước của 3 là 1, -1, 3, -3

Suy ra:
x + 2 = 1 thì x = -1
x + 2 = -1 thì x = -3
x + 2 = 3 thì x = 1
x + 2 = -3 thì x = -5

Tất cả đều thỏa điều kiện xác định.
Vậy nghiệm là: -1, -3, 1, -5.

Ví dụ 3: Tìm x nguyên để C = 7 : (x - 2) nhận giá trị nguyên.

Điều kiện xác định: x khác 2.

Để C là số nguyên thì x - 2 là ước của 7.
Các ước của 7 là 1, -1, 7, -7.

Ta có:
x - 2 = 1 thì x = 3
x - 2 = -1 thì x = 1
x - 2 = 7 thì x = 9
x - 2 = -7 thì x = -5

Vậy x là 3, 1, 9, -5.

Bài tập thực hành:

  1. Tìm x nguyên để A = (4x - 5) : (x + 2) nhận giá trị nguyên.
  2. Tìm x nguyên để B = 12 : (x - 1) nhận giá trị nguyên.
  3. Tìm x nguyên để C = (2 căn x + 3) : (căn x + 1) nhận giá trị nguyên.
  4. Tìm x nguyên để D = (x bình phương + 5x + 7) : (x + 3) nhận giá trị nguyên.

Gợi ý ngắn:

  • Bài 1 và bài 4: tách phần nguyên.
  • Bài 2: xét trực tiếp ước của 12.
  • Bài 3: ngoài điều kiện xác định còn phải chú ý x là số chính phương.

 

5. Những lưu ý quan trọng khi làm dạng bài tập tìm giá trị nguyên

Lưu ý đầu tiên là luôn đặt điều kiện xác định trước. Đây là lỗi rất hay gặp. Học sinh thường biến đổi ngay rồi xét ước, nhưng cuối cùng lại quên mất có một giá trị làm mẫu bằng 0 hoặc làm căn vô nghĩa.

Lưu ý thứ hai là phải phân biệt rõ đề bài hỏi x nguyên hay x thực. Nếu đề hỏi x nguyên thì phương pháp xét ước rất hiệu quả. Nhưng nếu đề chỉ hỏi x nói chung, thường hiểu là x thực, thì không thể máy móc dùng cách cho mẫu là ước của tử.

Lưu ý thứ ba là khi xét ước phải xét cả ước dương lẫn ước âm. Nhiều em chỉ liệt kê 1, 2, 4 mà quên -1, -2, -4, dẫn đến thiếu mất một nửa số nghiệm.

Lưu ý thứ tư là với biểu thức chứa căn, không chỉ cần x không âm mà còn cần kiểm tra xem căn x có phải số nguyên hay không trong những bước xét tính chia hết. Đây là điểm dễ sai nếu học sinh chỉ chú ý đến điều kiện x lớn hơn hoặc bằng 0.

Lưu ý thứ năm là sau khi tìm được nghiệm, phải thử lại hoặc đối chiếu lại điều kiện ban đầu. Một lời giải chỉ thật sự hoàn chỉnh khi có bước kết luận rõ ràng và loại hết nghiệm không phù hợp.

Lưu ý cuối cùng là nên rèn kỹ kỹ năng biến đổi đại số. Nhiều bài không khó ở phần xét ước, mà khó ở chỗ học sinh không biết tách tử như thế nào để đưa biểu thức về dạng thuận lợi. Vì vậy, muốn học tốt dạng toán này, cần kết hợp đồng thời kỹ năng chia đa thức, thêm bớt hạng tử và kiến thức về ước, bội.

 

6. Câu hỏi thường gặp về bài tập tìm x nguyên

Tại sao phải tách biểu thức thành phần nguyên và phần phân số?

Vì khi tách như vậy, ta cô lập được phần “gây khó” của bài toán. Phần nguyên luôn cho giá trị nguyên nếu x nguyên, nên chỉ cần xét phần phân số còn lại có nguyên hay không. Đây là cách đơn giản nhất để đưa bài toán về điều kiện chia hết.

Khi nào cần dùng phương pháp tìm ước?

Phương pháp này dùng tốt nhất khi x thuộc tập số nguyên và sau khi biến đổi, biểu thức có dạng một số nguyên cộng với một phân số mà tử là hằng số nguyên. Khi đó, mẫu phải là ước của tử.

Nếu biểu thức có căn thì có luôn phải cho x là số chính phương không?

Không phải lúc nào cũng vậy. Nhưng trong nhiều bài toán tìm x nguyên để biểu thức nhận giá trị nguyên, nếu căn x xuất hiện trong vai trò phải tham gia chia hết hoặc xét nguyên, thì thường căn x phải là số nguyên, tức x là số chính phương.

Tại sao phải xét cả ước âm?

Vì một số nguyên có thể chia hết cho cả ước dương lẫn ước âm. Ví dụ, 4 chia cho -2 được -2, vẫn là số nguyên. Nếu bỏ qua ước âm, kết quả sẽ thiếu nghiệm.

Có cách nào kiểm tra nhanh kết quả không?

Có thể thay trực tiếp từng giá trị x tìm được vào biểu thức để kiểm tra xem kết quả có là số nguyên không. Đây là bước thử lại rất hữu ích, nhất là khi bài có nhiều nghiệm.

Dạng toán này quan trọng ở đâu?

Đây là dạng toán giúp rèn tư duy đại số, tính cẩn thận và khả năng liên hệ giữa biến đổi biểu thức với điều kiện chia hết. Nó thường xuất hiện trong các bài kiểm tra nâng cao, đề thi chọn học sinh khá giỏi và là nền tốt cho các bài toán số học, đại số ở lớp trên.

Ngoài ra, quý bạn đọc cũng có thể tham khảo thêm: