Mục lục bài viết

1. Kiến thức tổng hợp về rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

1.1 Lý thuyết về rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Khi thực hiện rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai, ta phải vận dụng mọi quy tắc và mọi tính chất của các phép tính của các số thực và các căn thức như sau:

- Phép nhân, phép chia các căn bậc hai

- Phép khai phương một tích, một thương

- Phép đưa thừa số vào trong, ra ngoài dấu căn

- Phép khử mẫu của biểu thức dưới căn

- Phép trục căn thức ở mẫu

Ví dụ:  rút gọn B = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}-1}+ \frac{1}{\sqrt{x}+ 2}+ \frac{5-2\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}-2} với x\geq 0, x\neq 1

Đáp án:

Với x\geq 0, x\neq 1 ta có:

B= \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}+\frac{1}{\sqrt{x}+2}+\frac{5-2\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}-2}

= \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}+\frac{1}{\sqrt{x}+2}+\frac{5-2\sqrt{x}}{\left ( \sqrt{x}-1 \right )\left ( \sqrt{x} +2\right )}

= \frac{\left ( \sqrt{x} -2\right )\left ( \sqrt{x} +2\right )+\sqrt{x}-1+5-2\sqrt{x}}{\left ( \sqrt{x} -1\right )\left ( \sqrt{x}+2 \right )}

= \frac{x - 4 +\sqrt{x}-1+5-2\sqrt{x}}{\left ( \sqrt{x} -1\right )\left ( \sqrt{x}+2 \right )}

= \frac{x-\sqrt{x}}{\left ( \sqrt{x} -1\right )\left ( \sqrt{x} +2\right )} = \frac{\sqrt{x}\left ( \sqrt{x}-1 \right )}{\left ( \sqrt{x}-1 \right )\left ( \sqrt{x}+2 \right )}

= \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}

Vậy B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2} khi x\geq 0, x\neq 1

 

1.2 Các dạng rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Dạng 1: Rút gọn và tính giá trị biểu thức chứa căn thức bậc hai

- Vận dụng linh hoạt các phép biến đổi đã biết và tính toán để xuất hiện các căn thức có cùng biểu thức dưới dấu căn

- Cộng, trừ, nhân, chia các căn thức bậc hai cùng loại với nhau

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức chứa căn thức bậc hai

Vận dụng thích hợp các phép biến đổi đã học và các hằng đẳng thức đáng nhớ, các cách phân tích đa thức thành nhân tử để thực hiện phép chứng minh

Dạng 3: Rút gọn biểu thức chứa căn và các bài toán liên quan

- Ta sử dụng thích hợp các phep phân tích ta thức thành nhân tử, các hằng đẳng thức và các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn để rút gọn

Các bài toán:

- Tính giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên

- Tìm giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến, giải phương trình hoặc bất phương trình để tìm biến

- So sánh biểu thức với một số

- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Dạng 4: Giải phương trình chứa căn thức bậc hai

Ta sử dụng thích hợp các phép phân tích đa thức thành nhân tử, các hằng đẳng thức và các phép biến đổi đơn giản biểu thứ chứa căn để đưa phương trình đã cho về dạng cơ bản

 

2. Giải toán 9 bài 8 về rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

2.1 Trả lời câu hỏi

Trả lời câu hỏi toán 9 tập 1 bài 8 trang 31: Rút gọn 3\sqrt{5a}-\sqrt{20a}+4\sqrt{45a} + \sqrt{a} với a\geq 0

Đáp án: 

3\sqrt{5a}-\sqrt{20a}+4\sqrt{45a}+ \sqrt{a}

3\sqrt{5a}-2\sqrt{5a}+4.3\sqrt{5a}+ \sqrt{a}

3\sqrt{5a}-2\sqrt{5a}+12\sqrt{5a}+ \sqrt{a}= 13\sqrt{5a}+\sqrt{a}

Trả Lời câu hỏi toán 9 tập 1 bài 8 trang 31: Chứng minh đẳng thức

\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\sqrt{ab}= \left ( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right )^{2} với a > 0, b > 0

Đáp án: 

Với a > 0; b > 0 ta có:

\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\sqrt{ab} = \frac{\left ( \sqrt{x} \right )^{3}+ \left ( \sqrt{b} \right )^{3}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\sqrt{ab}

\frac{\left ( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right )\left ( a-a\sqrt{ab}+b \right )}{\sqrt{a}+ \sqrt{b}}- \sqrt{ab}= a - \sqrt{ab}+ b - \sqrt{ab}

= a - 2\sqrt{ab} + b = \left ( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right )^{2}

 

2.2 Bài tập vận dụng

Bài 58 trang 32 sách giáo khoa toán 9 tập 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a) 5\sqrt{\frac{1}{5}}+\frac{1}{2}.\sqrt{20}+\sqrt{5}

b) \sqrt{\frac{1}{2}}+ \sqrt{4,5}+ \sqrt{12,5}

c) \sqrt{20}-\sqrt{45}+ 3\sqrt{18} + \sqrt{72}

d) 0,1. \sqrt{200}+2.\sqrt{0,08}+ 0,4.\sqrt{50}

Đáp án chi tiết:

a) 5\sqrt{\frac{1}{2}}+ \frac{1}{2}.\sqrt{20}+ \sqrt{5}= \sqrt{5^{2}.\frac{1}{5}}+ \sqrt{\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}.20}+ \sqrt{5}

= \sqrt{5}+ \sqrt{\frac{1}{4}.20}+ \sqrt{5}= \sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{5}= 3\sqrt{5}

b) \sqrt{\frac{1}{2}}+ \sqrt{4,5}+\sqrt{12,5}= \sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{9}{2}}+\sqrt{\frac{25}{2}}

= \sqrt{\frac{1}{2}}+ \sqrt{3^{2}.\frac{1}{2}}+ \sqrt{5^{2}.\frac{1}{2}}= \sqrt{\frac{1}{2}}+3\sqrt{\frac{1}{2}}+5\sqrt{\frac{1}{2}}

= 9\sqrt{\frac{1}{2}} = 9.\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}= \frac{9.\sqrt{2}}{\sqrt{2}.\sqrt{2}}= \frac{9.\sqrt{2}}{2}

c) \sqrt{20}- \sqrt{45} + 3\sqrt{18}+ \sqrt{72}

= \sqrt{4.5}-\sqrt{9.5}+3\sqrt{9.2}+ \sqrt{9.4.2}

= \sqrt{4} . \sqrt{5}-\sqrt{9}.\sqrt{5}+ 3.\sqrt{9}.\sqrt{2}+ \sqrt{9}.\sqrt{4}.\sqrt{2}

= 2\sqrt{5} - 3\sqrt{5}+3.3.\sqrt{2}+3.2.\sqrt{2}

= -\sqrt{5}+9\sqrt{2}+ 6\sqrt{2}

= -\sqrt{5}+15\sqrt{2}

d) 0,1.\sqrt{200}+2\sqrt{0,08}+ 0,4.\sqrt{50}

= 0,1.\sqrt{100.2}+2.\sqrt{\frac{8}{100}}+0,4.\sqrt{25.2}

= 0,1.10.\sqrt{2}+ 2.\frac{\sqrt{4.2}}{\sqrt{100}}+ 0,4.5.\sqrt{2}

= \sqrt{2}+\frac{2.2.\sqrt{2}}{10}+ 2\sqrt{2}= \frac{17\sqrt{2}}{5}

Bài 59 trang 32 sách giáo khoa toán 9 tập 1: Rút gọn các biểu thức sau ( với a > 0, b > 0)

a) 5\sqrt{a}- 4b\sqrt{25a^{3}}+ 5a\sqrt{16ab^{2}}- 2\sqrt{9a}

b) 5a\sqrt{64ab^{3}}-\sqrt{3}. \sqrt{12a^{3}b^{3}}+ 2ab\sqrt{9ab} - 5b\sqrt{81a^{3}.b}

Đáp án chi tiết:

a) 5\sqrt{a} - 4b\sqrt{25a^{3}} + 5a\sqrt{16ab^{2}}-2\sqrt{9a}

= 5\sqrt{a} - 4b\sqrt{25.a^{2}.a}+ 5a\sqrt{16.a.b^{2}}- 2\sqrt{9.a}

= 5\sqrt{a} - 4b.5.|a|. \sqrt{a} + 5a.4.|b|.\sqrt{a}-2.3.\sqrt{a}

= 5\sqrt{a} - 20ab\sqrt{\sqrt{a}}+ 20ab\sqrt{a} - 6\sqrt{a}(vì a > 0; b > 0 ⇒ |a| = a; |b| = b)

b) 5a\sqrt{64ab^{3}}- \sqrt{3}.\sqrt{12a^{3}b^{3}}+ 2ab\sqrt{9ab} - 5b\sqrt{81a^{3}.b}

= 5a\sqrt{64.ab.b^{2}} - \sqrt{3}. \sqrt{12.\left ( ab^{2} \right ).ab}+ 2ab\sqrt{9.ab}- 5b\sqrt{81.a^{2}.ab}

= 5a.8|b| . \sqrt{ab} - \sqrt{3}.\sqrt{12}|ab|\sqrt{ab}+2ab.3.\sqrt{ab} - 5b.9.|a|\sqrt{ab}

= 40ab\sqrt{ab} - 6ab\sqrt{ab} + 6ab\sqrt{ab} -45ab\sqrt{ab} (vì a > 0; b > 0 nên |a| = a; |b| = b; |ab| = ab)

= -5ab\sqrt{ab}

Bài 60 trang 33 sách giáo khoa toán 9 tập 1: Cho biểu thức

B = \sqrt{16x+ 16} - \sqrt{9x+9}+ \sqrt{4x + 4} + \sqrt{x + 1}

Với x\geq -1

a) Rút gọn biểu thức B

b) Tìm x sao cho B có giá trị là 16

Đáp án chi tiết:

a) Rút gọn:

B = \sqrt{16\left ( x+1 \right )}-\sqrt{9\left ( x+1 \right )} + \sqrt{4\left ( x+1 \right )}+ \sqrt{x +1}

= 4\sqrt{x +1} -3\sqrt{x+1} = 2\sqrt{x+1} + \sqrt{x+1}

= 4\sqrt{x +1} -3\sqrt{x+1} = 2\sqrt{x+1} + \sqrt{x+1}

= 4\sqrt{x + 1}- 3\sqrt{x +1}+ 2\sqrt{x+1}+\sqrt{x +1}

= 4\sqrt{x+1}

b) Để B = 16 thì:

4\sqrt{x+1} = 16 \Leftrightarrow \sqrt{x+1}=4

\Leftrightarrow\Leftrightarrow x + 1 = 16 \Leftrightarrow x = 15 (thoả mãn x\geq -1)

 Bài 61 trang 33 sách giáo khoa toán lớp 9 tập 1: Chứng minh các đẳng thức sau: 

a) \frac{3}{2}\sqrt{6} + 2\sqrt{\frac{2}{3}}-4\sqrt{\frac{3}{2}} =\frac{\sqrt{6}}{6}

b) \left ( x\sqrt{\frac{6}{x}} +\sqrt{\frac{2x}{3}}+\sqrt{6x}\right ): \sqrt{6x}=2\frac{1}{3} với x > 0

Đáp án chi tiết:

a) Biến đổi vế trái:

VT = \frac{3}{2}\sqrt{6}+ 2\sqrt{\frac{2}{3}}-4\sqrt{\frac{3}{2}}= \frac{3}{2}\sqrt{6}+\frac{2}{3}\sqrt{3^{2}.\frac{2}{3}}- 2\sqrt{2^{2}.\frac{3}{2}}

= \frac{3}{2}\sqrt{6}+\frac{2}{3}\sqrt{6}-2\sqrt{6} = \left ( \frac{3}{2} +\frac{2}{3}-2\right )\sqrt{6}

= \frac{1}{6}\sqrt{6}=\frac{\sqrt{6}}{6}=VP

Vậy: \frac{3}{2}\sqrt{6} + 2\sqrt{\frac{2}{3}}-4\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{6}

b) Biến đổi vế trái:

VT = \left ( x\sqrt{\frac{6}{x}} + \sqrt{\frac{2x}{3}} +\sqrt{6x} \right ): \sqrt{6x}

= \left ( \sqrt{x^{2}.\frac{6}{x}} + \sqrt{\frac{6x}{3^{2}}}+ \sqrt{6x}\right ): \sqrt{6x}

= \left ( \sqrt{6x} + \frac{1}{3}\sqrt{6x}+ \sqrt{6x}\right ): \sqrt{6x}

= \frac{7}{3}\sqrt{6x}: \sqrt{6x}= \frac{7}{3}= 2\frac{1}{3}= VP, với x > 0 (đpcm)

 

2.3 Các bài luyện tập

Bài 62 trang 33 sách giáo khoa toán 9 tập 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a) \frac{1}{2}\sqrt{48} - 2\sqrt{75} - \frac{\sqrt{33}}{\sqrt{11}} + 5\sqrt{1\frac{1}{3}}

b) \sqrt{150} + \sqrt{1,6}.\sqrt{60}+4,5.\sqrt{2\frac{2}{3}}-\sqrt{6}

c) \left ( \sqrt{28} -2\sqrt{3}+ \sqrt{7}\right ).\sqrt{7} + \sqrt{84}

d) \left ( \sqrt{6} +\sqrt{5}\right )^{2} - \sqrt{120}

Đáp án chi tiết:

a) \frac{1}{2}\sqrt{48} - 2\sqrt{75} - \frac{\sqrt{33}}{\sqrt{11}} + 5\sqrt{1\frac{1}{3}}

= \frac{1}{2}\sqrt{16.3} - 2\sqrt{25.3} - \sqrt{\frac{33}{11}} + 5\sqrt{\frac{4}{3}}

= \frac{1}{2}.4.\sqrt{3} - 2.5.\sqrt{3} - \sqrt{3} + 5\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}

= 2\sqrt{3} - 10\sqrt{3} - \sqrt{3} + \frac{5.2.\sqrt{3}}{3}

= 2\sqrt{3} - 10\sqrt{3} - \sqrt{3} + \frac{10}{3}\sqrt{3}

= (2-10-1+\frac{10}{3})\sqrt{3}

= \frac{-17}{3}\sqrt{3}

b) \sqrt{150} + \sqrt{1,6}.\sqrt{60} + 4,5.\sqrt{2\frac{2}{3}} - \sqrt{6}

= \sqrt{25.6} + \sqrt{1,6.60} + 4,5. \sqrt{\frac{8}{3}} - \sqrt{6}

= 5\sqrt{6} + \sqrt{16.6} + 4,5.\frac{1}{3}.\sqrt{3^{2}.\frac{4.2}{3}}- \sqrt{6}

= 5\sqrt{6} + 4\sqrt{6} + 3\sqrt{6} - \sqrt{6}

c) (\sqrt{28}- 2\sqrt{3}+ \sqrt{7}).\sqrt{7} + \sqrt{84}

= (\sqrt{4.7}- 2\sqrt{3}+ \sqrt{7}).\sqrt{7}+ \sqrt{4.21}

= (\sqrt{4.7}- 2\sqrt{3}+ \sqrt{7}).\sqrt{7}+ 2\sqrt{21}

= (3\sqrt{7}- 2\sqrt{3}).\sqrt{7}+ 2\sqrt{21}

= 3.7 - 2\sqrt{21} + 2\sqrt{21} = 21

d) (\sqrt{6} + \sqrt{5})^{2} - \sqrt{120}

(\sqrt{6})^{2} + 2.\sqrt{6}.\sqrt{5} + (\sqrt{5})^{2} - \sqrt{4.30}

= 6+ 2\sqrt{30}+ 5-2\sqrt{30} = 11

Bài 63 trang 33 sách giáo khoa toán 9 tập 1: Rút gọn các biểu thức sau

a) \sqrt{\frac{a}{b}}+ \sqrt{ab} + \frac{a}{b}\sqrt{\frac{b}{a}} với a > 0 và b > 0

b) \sqrt{\frac{m}{1-2x + x^{2}}}.\sqrt{\frac{4m-8mx+4mx^{2}}{81}} với m > 0 và x\neq 1

Đáp án chi tiết: 

a) \sqrt{\frac{a}{b}}+ \sqrt{ab} +\frac{a}{b}\sqrt{\frac{b}{a}} = \sqrt{\frac{ab}{b^{2}}}+ \sqrt{ab}+ \frac{a}{b}\sqrt{\frac{ab}{a^{2}}}

= \frac{1}{b}\sqrt{ab} + \sqrt{ab} + \frac{a}{b.a}\sqrt{ab}

= (\frac{1}{b}+1+\frac{1}{b})\sqrt{ab}

= (\frac{2}{b}+ 1)\sqrt{ab}

b) \sqrt{\frac{m}{1-2x+x^{2}}}.\sqrt{\frac{4m-8mx+4mx^{2}}{81}}

= \sqrt{\frac{m}{(1-x)^{2}}. \frac{4m(1-2x+x^{2})}{81}}

= \sqrt{\frac{m}{(1-x)^{2}}.\frac{4m(1-x)^{2}}{81}}

= \sqrt{\frac{4m^{2}}{81}}= \frac{\sqrt{4m^{2}}}{\sqrt{81}}= \frac{2m}{9}

( với m > 0 và x \neq 1)

Bài 64 trang 33 sách giáo khoa toán 9 tập 1:  Chứng minh các đẳng thức sau: 

a) \left ( \frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}} +\sqrt{a}\right )\left ( \frac{1-\sqrt{a}}{1-a} \right )^{2}= 1 với a \geq 0 và a \neq 1

b) \frac{a + b}{b^{2}}\sqrt{\frac{a^{2}b^{4}}{a^{2}+2ab+b^{2}}}= |a| với a + b > 0 và b \neq 0

Đáp án chi tiết: 

a) Biến đổi vế trái:

\left ( \frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}} + \sqrt{a}\right )\left ( \frac{1-\sqrt{a}}{1-a} \right )^{2}

= \frac{1-a\sqrt{a}+\sqrt{a}-a}{1-\sqrt{a}}.\frac{\left ( 1-\sqrt{a} \right )^{2}}{\left ( 1-a \right )^{2}}

= \left ( 1-a\sqrt{a}+\sqrt{a} - a\right )\frac{1-\sqrt{a}}{\left ( 1-a \right )^{2}}

= \frac{1-a\sqrt{a}+ \sqrt{a}-a- \sqrt{a}+ a.\left ( \sqrt{a} \right )^{2}-\left ( \sqrt{a} \right )^{2}+a\sqrt{a}}{\left ( 1-a \right )^{2}}

= \frac{a^{2}-2a + 1}{\left ( 1-a \right )^{2}}= \frac{\left ( a-1 \right )^{2}}{\left ( 1-a \right )^{2}}

= \left ( \frac{a-1}{1-a} \right )^{2} = \left ( -1 \right )=VP(đpcm)

b) Biến đổi vế trái:

VT = \frac{a+b}{b^{2}}\sqrt{\frac{a^{2}b^{4}}{a^{2}+2ab+b^{2}}}=\frac{a+b}{b^{2}}.\sqrt{\frac{\left ( ab^{2} \right )^{2}}{\left ( a+b \right )^{2}}}

= \frac{a+b}{b^{2}}.\frac{|ab^{2}|}{|a+b|}= \frac{a+b}{b^{2}}.\frac{b^{2}.|a|}{a+b}=|a| =VP(dpcm)

(Vì a + b > 0 nên |a+b| = a+ b; b2 > 0)

Bài 65 trang 34 sách giáo khoa toán 9 tập 1: Rút gọn rồi so sánh giá trị của M với1, biết:

M = \left ( \frac{1}{a-\sqrt{a}} +\frac{1}{\sqrt{a}-1}\right ): \frac{\sqrt{a}+1}{a-2\sqrt{a}+1}

với a > 0 và a\neq 1

Đáp án chi tiết: 

Ta có:  M = \left ( \frac{1}{a-\sqrt{a}} +\frac{1}{\sqrt{a}-1}\right ): \frac{\sqrt{a}+ 1}{a-2\sqrt{a}+ 1}

= \left ( \frac{1}{\sqrt{a}\left ( \sqrt{a} -1\right )} +\frac{1}{\sqrt{a}-1}\right ): \frac{\sqrt{a}+1}{\left ( \sqrt{a}-1 \right )^{2}}

= \frac{1+\sqrt{a}}{\sqrt{a}\left ( \sqrt{a} -1\right )}.\frac{(\sqrt{a}-1)^{2}}{\sqrt{a}+1}

\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}} = 1-\frac{1}{\sqrt{a}}< 1

Vậy M < 1

Bài 66 trang 34 sách giáo khoa toán 9 tập 1: Gía trị của biểu thức

\frac{1}{2+\sqrt{3}}+\frac{1}{2-\sqrt{3}} bằng

A. 1/2 

B. 1

C. -4

D. 4

Đáp án: 

\frac{1}{2+\sqrt{3}}+\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{4-3} + \frac{2+\sqrt{3}}{4-3}= 2-\sqrt{3}+2+\sqrt{3}= 4

Vậy chọn D

 

3. Giải sách bài tập toán 9 tập 1

Bài 80 trang 18 sách bài tập: Rút gọn các biểu thức: 

a. \left ( 2-\sqrt{2} \right )\left ( -5\sqrt{2} \right )-\left ( 3\sqrt{2} -5\right )^{2}

b. 2\sqrt{3a} - \sqrt{75}+a\sqrt{\frac{(13,5)}{2a}}-\frac{2}{5}\sqrt{300a^{3}} với a > 0

Đáp án chi tiết: 

a. \left ( 2-\sqrt{2} \right )\left ( -5\sqrt{2} \right )-\left ( 3\sqrt{2} - 5 \right )^{2}

= -10\sqrt{2} + 5\sqrt{2^{2}} - (18-30\sqrt{2}+25)

= -10\sqrt{2}+10-18+30\sqrt{2}-25=20\sqrt{2}-33

b. 2\sqrt{3a} -\sqrt{75a}+a\sqrt{\frac{\left ( 13,5 \right )}{2a}}-\frac{2}{5}\sqrt{300a^{3}}

= 2\sqrt{3a} - \sqrt{25.3a} +a\sqrt{\frac{9.3}{4a}}-\frac{2}{5}\sqrt{100a^{2}.3a}

= 2\sqrt{3a}-5\sqrt{3a}+\frac{3}{2}\sqrt{3a}-4a\sqrt{3a}

= -1,5\sqrt{3a} - 4a\sqrt{3a} = -\left ( 1,5+4a \right )\sqrt{3a} ( với a > 0)

Bài 81 trang 18 sách bài tập: rút gọn biểu thức

a) \frac{\sqrt{a}+ \sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+ \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+ \sqrt{b}} với a\geq 0, b\geq 0 và a\neq b

b) \frac{a-b}{\sqrt{a}- \sqrt{b}}- \frac{\sqrt{a^{3}}-\sqrt{b^{3}}}{a -b} với a\geq 0, b\geq 0 và a\neq b

Đáp án chi tiết: 

a. Ta có: \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}+ \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+ \sqrt{b}}= \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}+(\sqrt{a}+ \sqrt{b})^{2}}{(\sqrt{a}+ \sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})}

= \frac{a+2\sqrt{ab}+ b + a - 2\sqrt{ab}+ b}{a-b}

= \frac{2\left ( a+b \right )}{a-b} ( với a\geq 0, b\geq 0 và a\neq b

b. Ta có 

\frac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{a^{3}}-\sqrt{b^{3}}}{a-b}= \frac{(a-b)(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}-\frac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{a-b}

= \frac{a\sqrt{a}+a\sqrt{b}-b\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{(\sqrt{a})^{2}-(\sqrt{b})^{2}}-\frac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{a-b}

= \frac{a\sqrt{a}+ a\sqrt{b}-b\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{a-b}-\frac{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{a-b}

= \frac{a\sqrt{a}+ a\sqrt{b}- a\sqrt{a} -b\sqrt{b}-a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{a-b}

= \frac{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{a-b} ( với a\geq 0, b\geq 0 và a\neq b)

Bài 82 trang 18 sách bài tập toán 9 tập 1: 

a. Chứng minh x^{2}+ x\sqrt{3}+ 1= \left ( x+\frac{\sqrt{3}}{2} \right )^{2}+ \frac{1}{4}

b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x^{2}+ x\sqrt{3}+ 1. Giá trị đó đạt được khi x bằng bao nhiêu

Đáp án chi tiết: 

a. Ta có: x^{2}+ x\sqrt{3}+ 1= x^{2}+ 2x\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{4}+\frac{1}{4}

= x^{2}+ 2x\frac{\sqrt{3}}{2}+\left ( \frac{\sqrt{3}}{2} \right )^{2}+ \frac{1}{4} = \left ( x+\frac{\sqrt{3}}{2} \right )^{2}+\frac{1}{4}

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức đươc chứng minh

b. Ta có: x^{2}+ x\sqrt{3}+1 = \left ( x+\frac{\sqrt{3}}{2} \right )^{2}+\frac{1}{4}

Vì \left ( x+\frac{\sqrt{3}}{2} \right )^{2}\geq 0 với mọi x nên \left ( x+\frac{\sqrt{3}}{2} \right )^{2}+ \frac{1}{4}\geq \frac{1}{4}

Giá trị biểu thức \left ( x+\frac{\sqrt{3}}{2} \right )^{2}+ \frac{1}{4} bằng \frac{1}{4} khi \left ( x+ \frac{\sqrt{3}}{2} \right )^{2}= 0

Suy ra x = -\frac{\sqrt{3}}{2} 

Bài 83 trang 19 sách bài tập toán 9 tập 1: Chứng tỏ giá trị các biểu thức sau là số hữu tỉ

a) \frac{2}{\sqrt{7}-5}-\frac{2}{\sqrt{7}+5}

b) \frac{\sqrt{7}+5}{\sqrt{7}- 5}+ \frac{\sqrt{7}-5}{\sqrt{7}+ 5}

Đáp án chi tiết: 

a.\frac{2}{\sqrt{7}-5}-\frac{2}{\sqrt{7}+5}= \frac{2\left ( \sqrt{7} +5\right )-2\left ( \sqrt{7}-5 \right )}{\left ( \sqrt{7} -5\right )\left ( \sqrt{7} +5\right )}

= \frac{2\sqrt{7}+10-2\sqrt{7}+10}{7-25}=\frac{20}{-18}=-\frac{10}{9} là số hữu tỷ

b. \frac{\sqrt{7}+5}{\sqrt{7}-5}+\frac{\sqrt{7}-5}{\sqrt{7}+5}= \frac{\left ( \sqrt{7}+5 \right )^{2}+\left ( \sqrt{7} -5\right )^{2}}{\left ( \sqrt{7} -5\right )\left ( \sqrt{7} +5\right )}

= \frac{7+ 2.5.\sqrt{7}+ 25+ 7 - 2.5.\sqrt{7}+ 25}{7-25}

= \frac{7+ 7+ 25+25}{-18}= -\frac{32}{9} là số hữu tỷ

Bài 84 trang 19 sách bài tập toán 9 tập 1: Tìm x biết: 

a. \sqrt{4x+ 20} - 3\sqrt{5+x}+\frac{4}{3}\sqrt{9x+45}=6

b. \sqrt{25x-25}-\frac{15}{2}\sqrt{\frac{x-1}{9}}= 6+\sqrt{x-1}

Đáp án chi tiết: 

a. Điều kiện: x\geq -5

Ta có: \sqrt{4x+20}-3\sqrt{5+x}+\frac{4}{3}\sqrt{9x+45}= 6

\Leftrightarrow \sqrt{4(x+5)}-3\sqrt{5+x}+\frac{4}{3}\sqrt{9(x+5)}= 6

\Leftrightarrow 2\sqrt{x+5}-3\sqrt{5}+ 4\sqrt{x+5}= 6

\Leftrightarrow 3\sqrt{x+5} = 6 \Leftrightarrow \sqrt{x+ 5}=2\Leftrightarrow x+ 5= 4\Leftrightarrow x = -1

Giá trị x = -1 thoả mãn điều kiện bào toán 

Vậy x = -1

b. Điều kiện: x\geq 1

Ta có: \sqrt{25x-25}-\frac{15}{2}\sqrt{\frac{x-1}{9}}= 6+ \sqrt{x-1}

\Leftrightarrow \sqrt{25\left ( x-1 \right )}-\frac{5}{2}\sqrt{x-1}-\sqrt{x-1}= 6

\Leftrightarrow x - 1= 16 \Leftrightarrow x = 17

Giá trị của x = 17 thoả mãn điều kiện bài toán 

Vậy x = 17

Bài 85 trang 19 sách bài tập toán 9 tập 1: Cho biểu thức P = \frac{\sqrt{x}+ 1}{\sqrt{x}-2}+ \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+ 2}+ \frac{2+5\sqrt{x}}{4-x}

a. Rút gọn P với x\geq 0; x \neq 4

b. Tìm x để P = 2

Đáp án chi tiết: 

a) Điều kiện: x \geq 0 và x \neq 4

P = \frac{\sqrt{x}+ 1}{\sqrt{x}- 2}+ \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+ 2}+ \frac{2+ 5\sqrt{x}}{4-x}

= \frac{\left ( \sqrt{x} + 1\right )\left ( \sqrt{x} + 2\right )}{\left ( \sqrt{x} \right )^{2}-2^{2}}+ \frac{2\sqrt{x}\left ( \sqrt{x}-2 \right )}{\left ( \sqrt{x} \right )^{2}-2^{2}}- \frac{2+5\sqrt{x}}{x -4}

= \frac{x + 2\sqrt{x}+\sqrt{x}+ 2}{x -4}+ \frac{2x-4\sqrt{x}}{x-4}-\frac{2+5\sqrt{x}}{x-4}

= \frac{x + 3\sqrt{x}+ 2+ 2x-4\sqrt{x}-2-5\sqrt{x}}{x-4}

= \frac{3x-6\sqrt{x}}{x-4}= \frac{3\sqrt{x}\left ( \sqrt{x} -2\right )}{\left ( \sqrt{x}+2 \right )\left ( \sqrt{x}-2\right )}= \frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}

b) Ta có:

P = 2 ⇔ \frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}= 2

\Leftrightarrow 3\sqrt{x} = 2\left ( \sqrt{x} + 2\right )\Leftrightarrow 3\sqrt{x}=2\sqrt{x}+4

\Leftrightarrow \sqrt{x}=4\Leftrightarrow x = 16

Bài 86 trang 19 sách bài tập toán 9 tập 1: Cho biểu thức Q = \left ( \frac{1}{\sqrt{a}-1} -\frac{1}{\sqrt{a}}\right ): \left ( \frac{\sqrt{a}+ 1}{\sqrt{a}-2}-\frac{\sqrt{a}+ 2}{\sqrt{a}- 1} \right )

a. Rút gọn Q với a > 0, a\neq 4 và a\neq 1

b. Tìm giá trị của a để Q dương

Đáp án chi tiết: 

a. Ta có: Q = \left ( \frac{1}{\sqrt{a}- 1} -\frac{1}{\sqrt{a}}\right ): \left ( \frac{\sqrt{a}+ 1}{\sqrt{a}- 2} -\frac{\sqrt{a}+ 2}{\sqrt{a}-1}\right )

= \frac{\sqrt{a}-\left ( \sqrt{a} -1\right )}{\sqrt{a}\left ( \sqrt{a} -1\right )}: \frac{\left ( \sqrt{a}+ 1 \right )\left ( \sqrt{a}-1 \right )-\left ( \sqrt{a}+ 2 \right )\left ( \sqrt{a}-2 \right )}{\left ( \sqrt{a}-2 \right )\left ( \sqrt{a}-1 \right )}

= \frac{1}{\sqrt{a}\left ( \sqrt{a}-1 \right )}: \frac{a-1-a+ 4}{\left ( \sqrt{a} -2\right )\left ( \sqrt{a}-1\right )}

= \frac{1}{\sqrt{a}\left ( \sqrt{a}-1 \right )}.\frac{\left ( \sqrt{a}-2 \right )\left ( \sqrt{a}-1 \right )}{3}

= \frac{\sqrt{a}-2}{3\sqrt{a}} (a>0, a\neq 4 và a\neq 1)

b. Ta có: a\geq 0 nên \sqrt{a}\geq 0

Khi đó: Q= \frac{\sqrt{a}-2}{3\sqrt{a}} dương khi \sqrt{a}-2> 0

Ta có: \sqrt{a}-2> 0\Leftrightarrow \sqrt{a}> 2\Leftrightarrow a> 4

Vậy khi a > 4 thì Q > 0

Bài 87 trang 19 sách bài tập toán 9 tập 1: Với ba số a, b, c không âm, chứng minh bất đẳng thức: a + b + c \geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+ \sqrt{ca}

Hãy mở rộng kết quả cho trường hợp bốn số, năm số không âm

Đáp án chi tiết: 

Vì a, b không âm nên \sqrt{a}, \sqrt{b} và \sqrt{c} tồn tại

Ta có: (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}\geq 0 suy ra: 

a+ b -\sqrt{ab}\geq 0 \Leftrightarrow a + b \geq 2\sqrt{ab}\Leftrightarrow \frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}     (1)

\left ( \sqrt{b} -\sqrt{c}\right )^{2}\geq 0 suy ra: 

b+ c -2\sqrt{bc }\geq 0 \Leftrightarrow b + c \geq 2\sqrt{bc}\Leftrightarrow \frac{b + c}{2}\geq \sqrt{bc}      (2)

\left ( \sqrt{c}-\sqrt{a} \right )^{2}\geq 0 suy ra: 

c + a. -2\sqrt{ca}\geq 0 \Leftrightarrow c + a \geq 2\sqrt{ca}\Leftrightarrow \frac{c+ a}{2}\geq \sqrt{ca}   (3)

Cộng từng vế bất đẳng thức (1), (2) và (3), ta có: 

\frac{a + b}{2}+ \frac{b+ c}{2}+\frac{c+a}{2}\geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+ \sqrt{ca}

* Với bốn số a, b, c, d không âm, ta có: 

a + b + c + d \geq \sqrt{ab}+ \sqrt{bc}+\sqrt{ca}+ \sqrt{da}

* Với năm số a, b, c, d, e không âm, ta có: 

a + b + c + d + e \geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+ \sqrt{de}+ \sqrt{ea}

4. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Giá trị biểu thức \sqrt{\left ( 4-\sqrt{5} \right )^{2}}-\sqrt{6-2\sqrt{5}} là?

A. 5-2\sqrt{5}

B. 4

C. 1

D. 2 +2\sqrt{5}

Đáp án A. 

Câu 2: Giá trị của biểu thức \sqrt{32}+\sqrt{50}-3\sqrt{8}-\sqrt{18}

A. 3

B. 0

C. 1

D. 2

Đáp án B 

Câu 3: Giá trị biểu thức (\sqrt{5}+\sqrt{2})\sqrt{\left ( 7-2\sqrt{10} \right )}

A. 3

B. 2

C. 4

D. 5

Đáp án: A

Câu 4: Rút gọn biểu thức A= \frac{1}{2-\sqrt{3}}+ \sqrt{7-4\sqrt{3}}

A. 2

B. 4

C. 1

D. 3

Đáp án B

Câu 5: Giá trị biểu thức \left ( \sqrt{5}-1 \right )\sqrt{6+ 2\sqrt{5}} là

A. 5

B. 3

C. 6

D. 4

Đáp án D

Câu 6: Rút gọn biểu thức 5\sqrt{a}+2\sqrt{\frac{a}{4}}-a\sqrt{\frac{4}{a}}-\sqrt{25a} với a > 0 ta được

A. \sqrt{a}

B. 4\sqrt{a}

C.-\sqrt{a}

D. 2\sqrt{a}

Đáp án: C

Câu 7: Rút gọn biểu thức 2\sqrt{a} -\sqrt{9a^{3}}+ a^{2}\sqrt{\frac{16}{a}}+ \frac{2}{a^{2}}\sqrt{36a^{5}} với a > 0 ta được: 

A. 14\sqrt{a}+a\sqrt{a}

B. 14\sqrt{a}-a\sqrt{a}

C. 14\sqrt{a}+ 2a\sqrt{a}

D. 20\sqrt{a}- 2a\sqrt{a}

Đáp án A

Câu 8: Rút gọn biểu thức \left ( \frac{1}{2}\sqrt{\frac{a}{2}}-\frac{3}{2}\sqrt{2a} +\frac{4}{5}\sqrt{200a}\right ):\frac{1}{8} ta được:

A. 66\sqrt{2a}

B. 52\sqrt{2a}

C. 54\sqrt{a}

D. 54\sqrt{2a}

Đáp án D

Câu 9: Rút gọn biểu thức: B= \frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}-\sqrt{28}+ \sqrt{54}

A. 5\sqrt{6}

B. 4\sqrt{6}+ \sqrt{7}

C. 2\sqrt{6}+ 2\sqrt{7}

D. Đáp án khác

Chọn đáp án: A

Câu 10: Rút gọn biểu thức P = \left ( \frac{1- a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a} \right ).\left ( \frac{1-\sqrt{a}}{1-a} \right )^{2}( với a\geq 0; a\neq 1)

A. \sqrt{a}+ 1

B. 1

C. \sqrt{a}

D. 3\sqrt{a}+ 1

Chọn đáp án B

Hy vọng với hệ thống đáp án chi tiết các bài tập của sách giáo khoa toán 9, vở bài tập, các câu hỏi trắc nghiệm có liên quan và cùng với các kiến thức lý thuyết rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai trên đây, các bạn sẽ có thêm các thông tin học tập hữu ích để học tốt hơn môn toán lớp 9. Ngoài ra, các bạn có thể tham khảo thêm: tổng hợp công thức toán lớp 9 đầy đủ cả năm. Chúc các bạn luôn học tốt và đạt kết quả cao nhé. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn các bạn đã đọc bài viết này.