Mục lục bài viết

1. Phép nhân giữa đơn thức và đa thức

1.1. Nhân Đơn Thức Với Đa Thức:

Khi chúng ta muốn nhân một đơn thức với một đa thức, quy trình thực hiện là khá đơn giản. Để thực hiện việc này, chúng ta sẽ nhân đơn thức (một biểu thức toán học đơn lẻ) với từng hạng tử của đa thức (biểu thức có nhiều hạng tử) và sau đó cộng tất cả các tích lại với nhau.

Để rõ hơn, hãy xem xét ví dụ sau:

Giả sử chúng ta có một đơn thức là "a" và một đa thức là "b + c + d".

Để nhân đơn thức "a" với đa thức "b + c + d", chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Nhân "a" với từng hạng tử của đa thức: "a * b" = "ab" "a * c" = "ac" "a * d" = "ad"

Sau đó, chúng ta cộng tất cả các tích lại với nhau: "ab + ac + ad"

Kết quả cuối cùng của phép nhân đơn thức "a" với đa thức "b + c + d" là "ab + ac + ad".

 

1.2. Nhân Đa Thức Với Đa Thức

Khi chúng ta muốn nhân một đa thức với một đa thức khác, quy trình thực hiện tương tự như trên nhưng cần xem xét mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia.

Hãy xem ví dụ sau để hiểu rõ hơn:

Giả sử chúng ta có đa thức "a + b" và đa thức "c + d".

Để nhân đa thức này với đa thức kia, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Nhân mỗi hạng tử của đa thức "a + b" với từng hạng tử của đa thức "c + d": ("a * c") + ("a * d") + ("b * c") + ("b * d")

Tiếp theo, chúng ta cộng tất cả các tích lại với nhau: "ac + ad + bc + bd"

Kết quả cuối cùng của phép nhân đa thức "a + b" với đa thức "c + d" là "ac + ad + bc + bd".

Chú ý rằng quy tắc này cũng áp dụng cho các đa thức có nhiều hơn hai hạng tử. Chúng ta sẽ tiến hành nhân từng hạng tử của đa thức này với tất cả các hạng tử của đa thức kia và sau đó cộng tất cả các tích lại với nhau để thu được kết quả cuối cùng.

 

2. Các hằng đẳng thức đáng nhớ

2.1. Bình phương của một tổng:

Để tính bình phương của một tổng (A + B), chúng ta sử dụng công thức sau:

Bình phương của tổng (A + B) = Bình phương số thứ nhất (A^2) cộng với hai lần tích số thứ nhất (A) nhân số thứ hai (B), sau đó cộng với bình phương số thứ hai (B^2).

Công thức:

(A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2

 

2.2. Bình phương của một hiệu:

Để tính bình phương của một hiệu (A - B), chúng ta sử dụng công thức sau:

Bình phương của hiệu (A - B) = Bình phương số thứ nhất (A^2) trừ đi hai lần tích số thứ nhất (A) nhân số thứ hai (B), sau đó cộng với bình phương số thứ hai (B^2).

Công thức:

(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2

 

2.3. Hiệu hai bình phương:

Để tính hiệu hai bình phương (A^2 - B^2), chúng ta sử dụng công thức sau:

Hiệu hai bình phương (A^2 - B^2) bằng tích của tổng (A + B) và hiệu (A - B).

Công thức:

A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)

 

2.4. Lập phương của một tổng:

Để tính lập phương của một tổng (A + B)^3, chúng ta sử dụng công thức sau:

Lập phương của tổng (A + B)^3 bằng lập phương số thứ nhất (A^3) cộng với 3 lần tích bình phương số thứ nhất (A^2) nhân số thứ hai (B), sau đó cộng với 3 lần tích số thứ nhất (A) nhân bình phương số thứ hai (B^2), và cuối cùng cộng thêm lập phương của số thứ hai (B^3).

Công thức:

(A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3

 

2.5. Lập phương của một hiệu:

Để tính lập phương của một hiệu (A - B)^3, chúng ta sử dụng công thức sau:

Lập phương của hiệu (A - B)^3 bằng lập phương số thứ nhất (A^3) trừ đi 3 lần tích bình phương số thứ nhất (A^2) nhân số thứ hai (B), sau đó cộng với 3 lần tích số thứ nhất (A) nhân bình phương số thứ hai (B^2), và cuối cùng trừ đi lập phương của số thứ hai (B^3).

Công thức:

(A - B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3

 

2.6. Tổng hai lập phương:

Để tính tổng hai lập phương (A^3 + B^3), chúng ta sử dụng công thức sau:

Tổng hai lập phương (A^3 + B^3) bằng tích của tổng (A + B) và bình phương thiếu của hiệu (A - B).

Công thức:

A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)

 

2.7. Hiệu hai lập phương:

Để tính hiệu hai lập phương (A^3 - B^3), chúng ta sử dụng công thức sau:

Hiệu hai lập phương (A^3 - B^3) bằng tích của hiệu (A - B) và tổng bình phương của (A + B).

Công thức:

A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)

 

3. Phương thức phân tích đa thức thành nhân tử

Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung là một quy trình quan trọng trong đại số đa thức, cho phép chúng ta tìm ra những thừa số của một đa thức cụ thể bằng cách tách nó thành tích của các đa thức nhỏ hơn. Quá trình này giúp chúng ta hiểu rõ hơn về cấu trúc của đa thức và thường được sử dụng trong nhiều lĩnh vực của toán học và khoa học tự nhiên.

Dưới đây, chúng ta sẽ tìm hiểu về cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung:

Bước 1: Xác định những nhân tử chung của đa thức. Để làm điều này, ta sử dụng các kỹ thuật như tìm ước số chung lớn nhất (GCD) của các hệ số hoặc tìm các số thực nghiệm chung nếu đa thức là đa thức bậc một. Các nhân tử chung này sẽ là những đa thức con chung cho tất cả các thừa số của đa thức ban đầu.

Bước 2: Chia đa thức ban đầu cho nhân tử chung tìm được ở bước 1. Khi ta chia đa thức cho nhân tử chung, ta thu được một đa thức mới có bậc thấp hơn.

Bước 3: Lặp lại quá trình bước 1 và bước 2 cho đa thức con thu được từ bước 2. Tiếp tục thực hiện cho đến khi không còn nhân tử chung nào hoặc đa thức con thu được có bậc là 1 (không thể phân tích thành nhân tử nữa).

Bước 4: Kết hợp tất cả các nhân tử đã tìm được từ các bước trước để xây dựng phân tích thành nhân tử hoàn chỉnh của đa thức ban đầu.

Ví dụ: Giả sử chúng ta có đa thức:

P(x) = 3 x4 - 6 x3 - 12 x2 + 24x

Bước 1: Tìm nhân tử chung. Trong trường hợp này, ta có thể thấy rằng 3x là một nhân tử chung.

Bước 2: Chia P(x) cho 3x:

P(x) = 3x (x3 - 2 x2 - 4 x +8)

Bước 3: Tiếp tục phân tích x3 - 2 x2 - 4x + 8 bằng cách tìm nhân tử chung mới (nếu có) và thực hiện lại bước 2.

Bước 4: Kết hợp tất cả các nhân tử đã tìm được từ các bước trước để có phân tích thành nhân tử hoàn chỉnh của P(x). Trong trường hợp này, chúng ta có:

P(x) = 3x (x - 2) (x2 + 2x - 4)

Đây là phân tích thành nhân tử của đa thức ban đầu P(x).

 

4. Phương trình bậc nhất một ẩn 

4.1. Phương trình một ẩn:

Một phương trình một ẩn là một biểu thức toán học có dạng A(x) = B(x), trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x.

Phương trình một ẩn có thể có một hoặc nhiều nghiệm, và cũng có thể không có nghiệm hoặc có vô số nghiệm. Trường hợp phương trình không có nghiệm được gọi là "phương trình vô nghiệm."

 

4.2. Giải phương trình:

Tập hợp tất cả các nghiệm của một phương trình được gọi là tập nghiệm của phương trình đó và thường kí hiệu bằng S. Khi bài toán yêu cầu giải phương trình, ta phải tìm tất cả các nghiệm (hoặc tập nghiệm) của phương trình đó.

4.3. Phương trình tương đương:

Hai phương trình tương đương là hai phương trình có cùng một tập nghiệm, tức là nếu một giá trị x là nghiệm của một phương trình, thì nó cũng là nghiệm của phương trình kia.

Ví dụ:  x + 1 = 0 và x = −1 là hai phương trình tương đương.

 

4.4. Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn:

Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng ax + b = 0, với a và b là hai số đã cho và a\neq 0

 Trong phương trình này, x là ẩn và a và b là các hệ số.

 

4.5. Hai quy tắc biến đổi phương trình:

a) Quy tắc chuyển vế: Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu của hạng tử đó. Ví dụ: Nếu có x + 3 = 7, ta có thể chuyển 3 qua vế còn lại và đổi dấu nó thành − 3, từ đó ta được x = 7 − 3.

b) Quy tắc nhân với một số: Trong một phương trình, ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác không. Ví dụ: Nếu có 2x = 8, ta có thể nhân cả hai vế với 1/2, từ đó ta được x = 4.

 

4.6. Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình, tức là các giá trị của ẩn mà khi đặt vào mẫu, mẫu không bằng 0.

Bước 2: Quy đồng mẫu ở cả hai vế của phương trình và sau đó khử mẫu bằng cách giải phương trình thu được. 

Bước 3: Giải phương trình thu được từ bước 2.

Bước 4: Kết luận. Trong các giá trị ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho.

 

4.7. Giải bài toán bằng cách lập phương trình:

Bước 1: Lập phương trình dựa trên mô tả bài toán. Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số. Biểu diễn các đại lượng chưa biết bằng ẩn số và các đại lượng đã biết. Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình thu được từ bước 1 để tìm các giá trị của ẩn.

Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, sau đó kết luận bằng cách đưa ra câu trả lời cho bài toán gốc.

 

5. Các kiến thức về hình học

Tứ giác:

Tứ giác ABCD là một hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, và không có hai đoạn thẳng nào cùng nằm trên một đường thẳng. Điều này có nghĩa là không có đoạn nào là tiếp điểm của đoạn khác.

Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của tứ giác. Tứ giác lồi không có "lõm" ra bên ngoài mặt phẳng này.

Tổng các góc trong một tứ giác bất kì luôn bằng 360 độ. Điều này có nghĩa là tổng các góc trong tứ giác ABCD bằng tổng các góc A, B, C, và D.

Hình thang:

Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối diện là song song. Điều này có nghĩa là AB và CD là hai cạnh đối diện và chúng song song với nhau. Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông, tức là một góc bằng 90 độ.

Hình thang cân:

Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau. Điều này có nghĩa là góc B và góc C (hoặc góc A và góc D) có cùng độ lớn.

Tính chất của hình thang cân: Trong hình thang cân, hai cạnh bên là bằng nhau, tức là AB = CD.

Trong hình thang cân, hai đường chéo cắt nhau tại một điểm trung điểm của chúng. Nếu một hình thang có hai đường chéo bằng nhau, thì nó là hình thang cân. Dấu hiệu nhận biết hình thang cân: Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân. Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Đường trung bình của tam giác và hình thang:

a) Đường trung bình của tam giác: Đường trung bình của tam giác là đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai, thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba. Đường trung bình của tam giác là đường thẳng song song với cạnh thứ ba và có độ dài bằng một nửa độ dài cạnh thứ ba.

b) Đường trung bình của hình thang: Đường trung bình của hình thang là đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy, thì đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai. Đường trung bình của hình thang là đường thẳng song song với hai đáy và có độ dài bằng nửa tổng độ dài hai đáy.

Xem thêm: Tổng hợp kiến thức toán hình lớp 8 học kỳ 1