Tổng hợp Công thức Toán lớp 11 Đại số, Hình học chi tiết

1. Công thức giải nhanh Toán lớp 11 Chương 1 Đại số

1.1 Hàm số lượng giác

Hàm số y = sinx

- TXĐ:   và -1 ≤ sinx ≤ 1 , 

- Là hàm số lẻ

- Là hàm số tuần hoàn chu kì là 2π

- Hàm số đồng biến trên  

- Hàm số nghịch biến trên  

Hàm số y = cosx

- TXĐ:   và -1 ≤ sinx ≤ 1 , 

- Hàm số chẵn

- Là hàm số tuần hoàn chu kì là 2π

- Hàm số đồng biến trên (-π + k2π ; k2π)

- Hàm số nghịch biến trên (k2π ; π + k2π)

Hàm số y = tanx

-TXĐ:  

- Hàm số lẻ

- Là hàm số tuần hoàn chu kì là π

- Hàm số đồng biến trên  

- Có các đường tiệm cận  

Hàm số y = cotx

- TXĐ:  

- Hàm số lẻ

- Là hàm số tuần hoàn chu kì là π

- Hàm số nghịch biến trong (kπ π + kπ)

- Có các đường tiệm cận x = kπ

1.2 Giá trị lượng giác của các cung

có liên quan đặc biệt.

- Cung đối nhau: α và -α

cos(-α ) = cos α

sin(-α ) = -sinα

tan(-α ) = -tanα

cot(-α ) = -cot α.

- Cung bù nhau: α và π - α

sin(π - α ) = sinα

cos(π - α ) = -cosα

tan(π - α ) = -tanα

cot(π - α ) = -cotα .

- Cung hơn kém π : α và (α + π)

sin(α + π) = -sinα

cos (α + π = -cosα

tan(α + π) = tanα

cot(α + π) = cotα

- Cung phụ nhau: α và  

→ cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém π tan và cot.

+) Hai cung hơn kém :  

1.3 Công thức lượng giác

+) Công thức cộng

cos(a - b) = cosa cosb + sina sinb

cos(a + b) = cosa cosb - sina sinb

sin(a - b) = sina cosb - cosa sinb

sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb

+) Công thức nhân đôi

sin2a = 2sina cosa

cos2a = cos2a - sin2a = 2cos2a - 1 = 1 - 2sin2

+) Công thức nhân ba

sin3a = 3sina - 4sin3a

cos3a = 4cos3a - 3cosa

+) Công thức hạ bậc

+) Các hệ quả

+) Công thức biến đổi tích thành tổng

+) Công thức biến đổi tổng thành tích:

+) Đặc biệt khi a = b = α

1.4 Phương trình lượng giác

Phương trình lượng giác cơ bản

Đặc biệt:

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Giải lấy nghiệm t thích hợp sau đó áp dụng phương trình cơ bản

Chú ý: cos2x = 2cos2x - 1 = 1 - 2sin2x = cos2x - sin2x

sin2x = 1 - cos2x

cos2x = 1 - sin2x

Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

- Dạng phương trình: asinx + bcosx = c

- Điều kiện có nghiệm: a2 + b2 ≥ c2

- Phương pháp giải: Chia 2 vế phương trình cho   , sau đó áp dụng công thức cộng để đưa về dạng phương trình cơ bản.

Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinu và cosu

Dạng asin2u + bsinu.cosu + c.cos2u = d

Cách giải

+ Kiểm tra xem cosu = 0 có thỏa mãn phương trình hay không?

Xét  

Thay cosu = 0 vào pt (nhớ sin2u = 1 )

+ Xét  

Chia 2 vế pt cho , giải pt theo .

Ghi chú: Có thể giải bằng cách dùng công thức hạ bậc đưa về dạng asin2u + bcos2u = c .

Phương trình đối xứng, phản đối xứng

- Dạng phương trình chứa sinu ± cosu và sinu.cosu

Hướng dẫn cách giải:

Thay vào phương trình đã cho ta được phương trình bậc hai theo t.

Một số chú ý:

2. Công thức giải nhanh Toán lớp 11 Chương 2 Đại số

2.1 Đại số tổ hợp

Quy tắc cộng

Công việc chia làm 2 trường hợp:

- Trường hợp 1: có m cách.

- Trường hợp 2: có n cách.

Khi đó, tổng số cách thực hiện là .

Quy tắc nhân

Sự vật 1 có m cách. Ứng với 1 cách chọn trên ta có n cách chọn sự vật 2.

Khi đó, tất cả số cách chọn liên tiếp 2 sự vật là mn .

Giai thừa

n! = 1.2.3...(n -1)n

Qui ước: ): 0! = 1

Lưu ý:

n! = (n -1)!n = (n - 2)!(n - 1)n = ...

Hoán vị

n vật sắp xếp vào n chỗ, số cách xếp là: Pn = n!

Chỉnh hợp

n vật, lấy ra k   vật rồi sắp xếp thứ tự, số cách xếp là:

Tổ hợp

n vật, lấy ra   vật nhưng không sắp xếp thứ tự, số cách xếp là:

Một số kiến thức cần nhớ

Số chia hết cho 2 : tận cùng là 2 ; 4; 6; 8

Số chia hết cho 5 : tận cùng là 0;5

Số chia hết cho 10 : tận cùng là 0

Số chia hết cho 100 khi tận cùng là 00;25;50;75

Số chia hết cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3 .

Số chia hết cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9 .

Khi gặp bài tập số tự nhiên mà trong đó có liên quan số 0 nên chia trường hợp.

+) Tính chất

2.2 Nhị thức Newton

Khai triển nhị thức Newton

Một số công thức nên nhớ

Tam giác Pacal (cho biết giá trị của   )

2.3 Xác suất

Không gian mẫu: Ω

Số phần tử của không gian mẫu: n(Ω)

1. Xác suất của biến cố A: 

Lưu ý: 0 ≤ P(A) ≤ 1

2. A1; A2; …; Ak là các biến cố đôi một xung khắc thì

P(A1 ∪ A2 ∪...∪Ak) = P(A1) + P(A2) +...+ P(Ak)

3. A1; A2; …; Ak là các biến cố độc lập thì

P(A1A2...Ak) = P(A1)P(A2)...P(Ak)

5. X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là {x1; x2;…;xn}

a) Kỳ vọng của X là   với pi = P(X = xi), i = 1,2,3,…,n

b) Phương sai của X là   hay   trong đó và pi = P(X = xi) , i = 1,2,3,...,n và μ = E(X)

c) Độ lệch chuẩn:  

3. Công thức giải nhanh Toán lớp 11 Chương 1 Hình học

3.1 Đại cương về phép biến hình

PBH F :   (biến M thành duy nhất một điểm M' ), kí hiệu M' = F(M)

- Hình H' = F(H) ⇔ H' =  

- O = F(O) ⇔ O là điểm bất động.

- PBH mà mọi điểm trong mặt phẳng đều biến thành chính nó được gọi là phép đồng nhất. Kí hiệu .

-   (tích hai PBH bằng cách thực hiện liên tiếp PBH F rồi G )

3.2 Phép dời hình

PBH F là PDH và A' = F(A); B' = F(B) thì A'B' = AB (bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì)

PDH biến

3.3 Phép tịnh tiến theo u  , kí hiệu T(u) 

3.4 Phép đối xứng trục (ĐXTR) d , kí hiệu Đd

3.5 Phép đối xứng tâm (ĐXT) I , kí hiệu ĐI

3.6 Phép vị tự (PVT) tâm I tỉ số k , kí hiệu V(I;k)

3.7 Phép đồng dạng (PĐD)

PĐD tỉ số k (k > 0) là PBH sao cho với hai điểm A;B bất kì và ảnh A';B' của nó ta có A'B' = kAB

PĐD biến

3.8 Biểu thức tọa độ

Giả sử M(x;y) , M(x';y') .

+) PTT theo  PTT  là    là  

+)  Phép đối xứng tâm I(a;b) là  

+) Phép đối xứng trục d khi  

+) Phép quay tâm I(a;b) , góc α là  

Đặc biệt: Tâm quay là O(0;0) thì

Phép vị tự tâm I(a;b) , tỉ số k là 

3.9 Ảnh của đường thẳng d qua PTT; phép ĐXT; PQ; PVT

Giả sử F:   ( F ở đây là   ). Lấy M(x;y) ∈ d . Giả sử F:   với M'(x';y')

Viết biểu thức tọa độ tương ứng với PBH đề cho ⇒  

Ta có M ∈ d (thay x;y vào đường thẳng d ) ta được đường thẳng d' .

3.10 Ảnh của đường tròn

Giả sử F:   ( ở đây là   )

Xác định tâm I của đường tròn (C) . Tìm ảnh I' của I qua PBH F .

Ta có:   (riêng phép vị tự thì   ). Từ đó ta có phương trình (C') .

3.11 Tâm vị tự của hai đường tròn

Trường hợp 1: Nếu I ≡ I' thì PVT tâm O ≡ I, tỉ số   và PVT tâm O ≡ I, tỉ số  

Trường hợp 2 : Nếu I ≠ I' và R ≠ R' thì PVT tâm O1 (tâm vị tự ngoài), tỉ số  và PVT tâm O2 (tâm vị tự trong), tỉ số 

Trường hợp 3: Nếu I ≠ I' và R = R' thì PVT tâm O, tỉ số k =  = -1

Các bạn có thể xem thêm một số bộ đề ôn thi học kỳ lớp 11: 

• Bộ đề thi học kì 1 lớp 11 môn Toán có đáp án mới nhất
• Đề thi học kì 2 môn Toán lớp 11 có đáp án
• Đề cương ôn tập học kì 2 môn Toán lớp 11 mới nhất 
• Các quy tắc tính xác suất Toán 11 và bài tập vận dụng