Bài toán thực tế về hàm số mũ, logarit, lũy thừa cực hay có đáp án

Câu hỏi 1: Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kỳ hạn một quý với lãi suất 1,65% một quý. Hỏi sau bao nhiêu quý thì người đó được ít nhất 20 triệu?

Lời giải chi tiết: 

Áp dụng công thức lãi kép: An = A0 (1+r)n

Với A0 = 15; An = 20; r= 1,65%. Ta tính n

Theo yêu cầu đề bài ta có: 

A_{n}\geq 20 \Leftrightarrow 15(1 +1,65%)^{n}\geq 20

\Leftrightarrow n\geq log_{1,0165}\left ( \frac{20}{15} \right )\approx 17,5787\Rightarrow n=18

Câu hỏi 2: Sau nhiều năm làm việc anh Ngọc tiết kiệm được P đồng, dự định số tiền đó để mua một căn nhà. Nhưng hiện nay với số tiền đó thì anh ta chưa thể mua được ngôi nhà vì giá trị ngôi nhà mà anh ta muốn mua là 2P đồng. Vì vậy anh Ngọc gửi tiết kiệm số tiền này vào ngân hàng Vietcombank. Theo bạn sau bao nhiêu năm anh Ngọc mới có thể sở hữu được ngôi nhà đó. Biết rằng lãi suất gửi tiết kiệm là 8,4% một năm, lãi hằng năm được nhập vào vốn và giá của ngôi nhà đó không thay đổi trong 12 năm tới. ( Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Lời giải chi tiết: 

Tính số tiền lĩnh sau n năm gửi tiết kiệm với suất

Theo yêu cầu bài toán đặt ra, ta có: 

P_{n} = 2P \Leftrightarrow P(1,084)^{n} = 2P

\Leftrightarrow (1,084)^{n} = 2 \Leftrightarrow n =log_{1,084}2\approx 8,59

\Rightarrow n=9

Câu hỏi 3: Doanh nghiệp B muốn thu được 280 triệu đồng bằng cách đầu tư ở hiện tại 170 triệu đồng, với lãi suất sinh lợi là 13% một năm theo thể thức lãi kép. Xác định thời gian đầu tư?

Lời giải chi tiết 

Ta có Pn = 280.000.000 đồng, Po = 170.000.000 đồng, r = 13% một năm 

Sau n năm đầu tư , doanh nghiệp B thu được tổng số tiền là: Pn = Po (1+r)  (*). Để tìm n từ công thức (*) các em sử dụng 2 cách ( coi lại phân phương pháp giải). Trong lời giải này ta sử dụng cách 2, lấy logarit thập phân hai vế. Ta được

(*) ⇔ ( 1 + r)n = \frac{P_{n}}{P_{o}} ⇔ n.log( 1 + r) = log\frac{P_{n}}{P_{o}} ⇔ n = \frac{log\frac{P_{n}}{P_{o}}}{log(1+r)}

⇔ n = \frac{log\frac{280.000.000}{170.000.000}}{log(1+13%)} = 4,08 năm = 4 năm 1 tháng

Câu hỏi 4: Anh Lâm đi gửi ngân hàng với số tiền 120.000.000 đồng theo hình thức lãi đơn với lãi suất 5% một năm. Hỏi nếu anh giữ nguyên số tiền vốn như vậy thì sau 2 năm tổng số tiền anh Lâm rút được về từ ngân hàng là bao nhiêu? ( Giả sử lãi suất hàng năm không thay đổi)

Lời giải chi tiết: 

Áp dụng công thức Pn = Po.( 1 + nr) ta tính được tổng số tiền anh Lâm rút được từ ngân hàng sau 2 năm là: 

P2 = 120.000.000 x ( 1 + 2 x 5%) = 132.000.000 đồng 

Cũng sau hai năm số tiền lãi mà anh Lâm thu được là: '

132.000.000 - 120.000.000 = 12.000.000 đồng

Câu hỏi 5: Với lãi suất 10% năm ( theo hình thức lãi đơn) cho số vốn 25 triệu đồng, nhà đầu tư A mong muốn thu được 32.125.000 đồng vào cuối đợi đầu tư. Vậy phải đầu tư trong bao lâu để đạt được giá trị như trên? ( Giả sử lãi suất hàng năm không đổi)

Lời giải chi tiết: 

Áp dụng công thức Pn = Po . (1 + nr)

⇔ Pn = Po + Ponr ⇔ n = \frac{P_{n}-P_{o}}{P_{o}r} = \frac{32.125.000-25.000.000}{25.000.000 \times 10%} = 2,85 năm = 2 năm 10 tháng 6 ngày

Vậy phải đầu tư số vốn trong thời gian 2 năm 10 tháng 6 ngày để đạt được giá trị mong muốn.

Câu hỏi 6: Với lãi suất đầu tư 14% năm ( theo hình thức lãi đơn) thì nhà đầu tư anh Tuấn phải bỏ ra số vốn ban đầu là bao nhiêu để thu được 244 triệu đồng trong thời gian 3 năm 9 tháng. ( giả sử lãi suất hằng năm không thay đổi)

Lời giải chi tiết: 

3 năm 9 tháng = 3 + \frac{9}{12} = \frac{15}{4} năm 

Từ sử dụng công thức: Pn = Po.(1 + nr) ⇒ Po = \frac{P_{n}}{1+nr}= \frac{244.000.000}{1+\frac{15}{4}\times 14%} = 160.000.000 đồng 

Vậy phải đầu tư 160.000.000 đồng để đạt được giá trị mong muốn

Câu hỏi 7: Áp suất không khí P ( đo bằng milimet thuỷ ngân, kí hiệu là mmHg) suy giảm mũ so với độ cao n (đo bằng mét), tức P giảm theo công thức P = Po. eni trong đó Po = 760 mmHg là áp suất ở mực nước biển ( n = 0), i là hệ số suy giảm. Biết rằng ở độ cao 1000m thì áp suất của không khí là 672,71 mmHg. Hỏi áp suất không khí ở độ cao 3000m gần với số nào sau đây nhất?

Lời giải chi tiết: 

Áp dụng công thức P = Po.eni

Ở độ cao 1000m ta có: Po = 760 mmHg; n = 1000m; P= 672,71 mmHg

Từ giả thiết này ta tìm được hệ số suy giảm i. Ta có

672,71= 760e^{1000\times i}

\Leftrightarrow 1000i = ln\frac{672,71}{760}\Leftrightarrow i\approx -0,00012

Khi đó ở độ cao 3000m, áp suất của không khí là P = 760e^{-0,00012 \times 3000}\approx 530,2340078

Câu hỏi 8: Một khu rừng có trữ lượng gỗ 4.105 mét khối. Biết tốc độ sinh trưởng của các cây ở khu rừng đó là 4% mỗi năm. Hỏi sau 5 năm, khu rừng đó sẽ có bao nhiêu mét khối gỗ?

Lời giải chi tiết: 

Áp dụng công thức An = Ao . en.r

Với Ao = 4.105; r = 4%; n=5

Sau 5 năm, khu rừng đó sẽ có số mét khối gỗ là: 

A5 = 4.105.e4%.5 = 488561

Câu hỏi 9: Cường độ một trận động đất M (richter) được cho bởi công thức M = log A-log Ao, với A là biên độ rung chấn tối đa và Ao là một biên độ chuẩn ( hằng số). Đầu thế kỷ 20, một trận động đất ở San Francisco có cường độ 8 độ Richter. Trong cùng năm đó, trận động đất khác Nam Mỹ có biên độ mạnh hơn gấp 4 lần. Cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ gần với số nào sau đây nhất là: 

Lời giải chi tiết: 

- Trận động đất ở San Francisco có cường độ Richter khi đó áp dụng công thức

M1 = log A - log Ao suy ra 8 = log A - log Ao

- Trận động đất ở Nam Mỹ có biên độ là 4A, khi đó cường độ của trận động đất ở Nam Mỹ là: 

M2 = log(4A) -  log Ao

⇔ M2 = log 4 + log A - Log Ao

⇒ M2 = log 4 + 8 = 8,6

Câu hỏi 10: Sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bằng công thức m(t) = m_{o}\left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{1}{r}}trong đó m_{o} là khối lượng chất phóng xạ ban đầu ( tại thời điểm t = 0), m(t) là khối lượng chất phóng xạ tại thời điểm t, T là chu kì bán rã ( tức là khoảng thời gian để một nửa số nguyên tử của chất phóng xạ biến thành chất khác). Với T = 1000 năm, hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm khối lượng chất phóng xạ còn lại nhỏ hơn \frac{1}{6} khối lượng chất phóng xạ ban đầu?

Lời giải chi tiết: 

Với T = 1000 và khối lượng chất phóng xạ còn lại nhỏ hơn \frac{1}{6} khối lượng chất phóng xạ ban đầu. Suy ra: m(t) = m_{0}\left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{1}{1000}}< \frac{1}{6}\Leftrightarrow \frac{t}{1000}>log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{6}

\Leftrightarrow t >1000.log_{2}6\approx 2584,962501

Vậy sau ít nhất 2585 năm thì khối lượng chất phóng xạ còn lại nhỏ hơn \frac{1}{6} khối lượng chất phóng xạ ban đầu.

Câu hỏi 11: Định luật thứ ba của Kepler về quỹ đạo chuyển động cho biết cách ước tính khoảng thời gian P ( tính theo năm Trái Đất) mà một hành tinh cần để hoàn thành một quỹ đạo quay quanh Mặt Trời. Khoảng thời gian đó được xác định bởi hàm số P = d^{\frac{2}{3}}, trong đó d là khoảng cách từ hành tinh đó đến Mặt Trời tính theo đơn vị thiên văn AU ( 1 AU là khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời, tức là 1 AU khoảng 93.000.000 dặm). Hỏi sau Hoả quay quanh Mặt Trời thì mất bao nhiêu năm Trái Đất ( làm tròn đến kết quả đến hàng phần trăm?) Biết khoảng cách từ Sao Hỏa đến Mặt Trời là 1,52 AU

Lời giải chi tiết: 

Sao Hoả quay quanh Mặt trời thì mất số năm Trái Đất là: 

P = d^{\frac{3}{2}}= 1.52^{\frac{3}{2}}\approx 1,87 năm

Câu hỏi 12: Năm 2021, dân số của một quốc gia ở Châu Á là 19 triệu người. Người ta ước tính rằng dân số của quốc gia này sẽ tăng gấp đôi sau 30 năm nữa. Khi đó dân số A ( triệu người) của quốc gia đó sau t năm kể từ năm 2021 được ước tính bằng công thức A = 19.2^{\frac{t}{30}} . Hỏi với tốc độ tăng dân số như vậy thì sau 20 năm nữa dân số của quốc gia này sẽ là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng triệu)

Lời giải chi tiết: 

Sau 30 năm, dân số của quốc gia sẽ tăng gấp đôi, tức là sẽ đạt mức 38 triệu người. Ta có công thức tính tỉ số tăng trưởng dân số là: 2=2^{\frac{t}{30}}

Từ đó, ta có thể tìm được số năm tương ứng với tốc độ tăng dân số như vậy là: 

\frac{t}{30}=log_{2}2= 1 \Rightarrow t = 30

Vậy sau 30 năm kể từ năm 2021, tức là năm 2051, dân số của quốc gia này sẽ đạt mức 38t triệu người.

Để tính dân số sau 20 năm kể từ năm 2021, ta có thể tính tỷ số tăng trưởng dân số trong 20 năm như sau: 2^{\frac{20}{30}}=2^{\frac{2}{3}}

Vậy dân số của quốc gia này sau 20 năm, tức là năm 2041 sẽ đạt mức: 19 \times 2^{\frac{2}{3}}\approx 27,076triệu người.