Mục lục bài viết

1. Ôn lại lý thuyết về nguyên hàm

1.1. Nguyên hàm

- Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x ∈ K.

- Định lí:

1) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.

2) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.

Do đó F(x) + C, C ∈ R là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K. Ký hiệu \int f(x)dx = F(x) + C

 

1.2. Tính chất của nguyên hàm

Tính chất 1: \int (f(x)dx)' = f(x) và \int f'(x)dx = f(x)+ C

Tính chất 2: \int k(f(x)dx) = k\int (f(x)dx) với k là hằng số khác 0.

Tính chất 3:\int[f(x) + g(x)]dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx và \int[f(x) - g(x)]dx = \int f(x)dx - \int g(x)dx

 

1.3. Sự tồn tại của nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.

 

2. Phương pháp tính nguyên hàm

2.1. Phương pháp đổi biến số

Định lí 1: Nếu \int f(u)du= F(u) + C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì

\int f(u(x))u'(x)dx = F(u(x)) + C

Hệ quả: Nếu u = ax + b (a ≠ 0) thì ta có \int f(ax + b)dx = \frac{1}{a}F(ax + b) + C

 

2.2. Phương pháp nguyên hàm từng phần

Định lí 2: Nếu hai hàm số u = u(x) và y = y(x) có đạo hàm liên tục trên K thì

\int u(x)v'(x)dx = u(x).v(x) - \int u'(x)v(x)dx

Hay\int udv = uv - \int vdu

 

3. Các dạng bài tập nguyên hàm

Dạng 1: Tìm nguyên hàm của hàm số 

Phương pháp dùng định nghĩa vá tính chất

+ Biến đổi các hàm số dưới dấu nguyên hàm về dạng tổng, hiệu của các biểu thức chứa x.

+ Đưa các mỗi biểu thức chứa x về dạng cơ bản có trong bảng nguyên hàm.

 + Áp dụng các công thức nguyên hàm trong bảng nguyên hàm cơ bản.

Ví dụ minh hoạ:

a, \int (4x^{5}+2x^{-3} = x^{\frac{-1}{3}})dx

b, \int (x(3\sqrt{x}-2))dx

Lời giải chi tiết:

Các dạng bài tập Nguyên hàm thường gặp cùng cách giải chi tiết

Các dạng bài tập Nguyên hàm thường gặp cùng cách giải chi tiết

 

Dạng 2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

Các dạng bài tập Nguyên hàm thường gặp cùng cách giải chi tiết

Ví dụ minh hoạ:

Tìm các họ nguyên hàm sau đây:

a, \int xe^{x^{2}}dx

b, \int\frac{e^{tanx}}{cos^{2}x}dx

Lời giải chi tiết:

a, Xét \int xe^{x^{2}}dx

Đăt t = x^{2}, suy ra dt = 2xdx

=> \frac{1}{2}dt = xdx

Khi đó \int xe^{x^{2}}dx= \frac{1}{2}\int e^{t}dt 

\frac{1}{2}e^{t} + C = \frac{1}{2}e^{x^{2}} + C

b, Xét \int \frac{e^{tanx}}{cos^{2}x}dx

Đặt t = tanx, suy ra dt = \frac{1}{{cos^{2}x}}dx

Khi đó \int \frac{e^{tanx}}{cos^{2}x}dx = \int e^{t}dt

= e^{t} + C = e^{tanx} + C

 

Dạng 3: Tim nguyên hàm bằng phương pháp từng phần

Với bài toán tìm nguyên hàm của các hàm số dạng tích (hoặc thương) của hai hàm số “khác lớp hàm” ta thường sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần theo công thức

Các dạng bài tập Nguyên hàm thường gặp cùng cách giải chi tiết

Dưới đây là một số trường hợp thường gặp như thế (với P(x) là một đa thức theo ẩn x)

Các dạng bài tập Nguyên hàm thường gặp cùng cách giải chi tiết

Ví dụ minh hoạ: Tìm họ nguyên hàm của hàm số \int(4x-1)ln(x+1)dx

Lời giải chi tiết:

Xét \int (4x-1)ln(x+1)dx 

Đặt u = ln(x+1) và dv = (4x-1)dx

Khi đó \int (4x-1)ln(x+1)dx  = (2x^{2}- x - 3)ln(x+1) - x^{2}  + 3x + C​

 

Dạng 4: Tìm nguyên hàm của số hữu tỉ

Nếu bậc của tử số P(x)≥ bậc của mẫu số Q(x) thì chia đa thức

Nếu bậc của tử số P(x) < bậc của mẫu số Q(x) thì  Xem xét mẫu số và khi đó:

+ Nếu mẫu số phân tích được thành tích số, ta sẽ sử dụng đồng nhất thức để đưa về dạng tổng của các phân số.

Một số trường hợp đồng nhất thức thường gặp:                       

Các dạng bài tập Nguyên hàm thường gặp cùng cách giải chi tiết

+ Nếu mẫu số không phân tích được thành tích số (biến đổi và đưa về dạng lượng giác).

Bài 1: f(x) = \frac{x+1}{x-1}

Lời giải chi tiết:

Ta có: \int \frac{x+1}{x-1}dx= \int (1+ \frac{2}{x-1})dx = x + 2ln|x-1| + C

Bài 2: Tính nguyên hàm F(x) của hàm số: \int (\frac{3x+3}{-x^{2}-x+2})dx

Đáp án: -2ln|x-1| - ln|x+2| + C

Bài 3: Tính nguyên hàm F(x) của hàm số: I = \int (\frac{2x^{2}+ x + 1}{x-1})dx

Đáp án: I = x^{2} + 3x + 4ln|x-1| + C

 

Dạng 5: Tìm nguyên hàm thoả mãn điều kiện cho trước

• Bước 1: Tìm nguyên hàm dựa vào những phương pháp đã biết:

- Sử dụng bảng nguyên hàm.

- Đổi biến số

- Nguyên hàm từng phần

• Bước 2: Dựa vào yêu cầu của bài toán tìm ra hằng số C tương ứng.

• Bước 3: Kết luận một nguyên hàm vừa tìm được.

Bài 1: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = (4x + 1) e^{x} thỏa mãn điều kiện F(1) = e.

Đặt u = 4x + 1 và dv = exdx suy ra du = 4dx và v = e^{x}

⇒ ∫(4x + 1) e^{x} dx = (x + 1) e^{x} - \int 4ex dx = (4x + 1) e^{x}- 4e^{x} + C = (4x - 3) e^{x} + C

Mà F(1) = e ⇒ C = 0 nên F(x) = (4x - 3) e^{x}

Bài 2: Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = xe^{-x} thỏa mãn điều kiện F(0) = -1. Tính tổng S các nghiệm của phương trình F(x) + x + 1 = 0.

Đặt u = x và dv = e^{-x}dx suy ra du = dx và v = - e^{-x}

Khi đó F(x) = -xe^{-x}+ \int e^{-x}dx = -xe^{-x} - e^{-x} +c

Vì F(0) = -1 suy ra -1 + C = -1 => C = 0 => F(x) = -xe^{-x} - e^{-x}

Phương trình F(x) + x + 1 = 0

<=> (x + 1) (e^{-x} - 1) = 0

<=> x = -1 hoặc e^{-x} =1 suy ra x = -1 hoặc x = 0

Vậy S  = - 1 + 0 = -1.

Bài 3: Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) =  \frac{1}{e^{x}+1} thỏa mãn F(0) = -ln2. Tìm tập nghiệm S của phương trình F(x) + ln(ex+1) = 3

 

Các dạng bài tập nguyên hàm khác

Câu 1: Trong các khẳng định dưới đây, có bao nhiêu khẳng định đúng?

(1): Mọi hàm số liên tục trên [a; b] đều có đạo hàm trên [a; b] .

(2): Mọi hàm số liên tục trên [a; b]  đều có nguyên hàm trên [a; b] .

(3): Mọi hàm số đạo hàm trên [a; b]  đều có nguyên hàm trên [a; b] .

(4): Mọi hàm số liên tục trên [a; b]  đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên [a; b] 

A. 2 khẳng định đúng

 B. 3 khẳng định đúng

C. 1 khẳng định đúng 

D. 4 khẳng định đúng

Câu 2: Cho hàm số f(x) xác định trên K . Khẳng định nào sau đây sai?

A. Nếu hàm số F(x)  là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K .

B. Nếu f(x)  liên tục trên K thì nó có nguyên h àm trên K .

C. Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của f(x) trên K nếu (F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K

D. Nếu hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì hàm số F(−x) là một nguyên hàm của f(x) trên K

Đáp án: 

Câu 1 : Trong các khẳng định dưới đây, có bao nhiêu khẳng định đúng?

(1): Mọi hàm số liên tục trên [a; b] đều có đạo hàm trên [a; b]

(2): Mọi hàm số liên tục trên [a; b] đều có nguyên hàm trên [a; b]

(3): Mọi hàm số đạo hàm trên [a; b] đều có nguyên hàm trên [a; b] .

(4): Mọi hàm số liên tục trên [a; b] đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên [a; b]

A. 2 khẳng định đúng

B. 3 khẳng định đúng

C. 1 khẳng định đúng

D. 4 khẳng định đúng

Giải thích chi tiết: 

- Khẳng định (1): Sai, vì hàm số y = |x|  liện tục trên [-1; 1] nhưng không có đạo hàm tại x = 0 nên không thể có đạo hàm trên [-1; 1]

- Khẳng định (2): đúng vì mọi hàm số liên tục trên [a; b] đều có nguyên hàm trên [a; b].

- Khẳng định (3): Đúng vì mọi hàm số có đạo hàm trên [a; b] thì đều liên tục trên [a; b] nên đều có nguyên hàm trên [a; b]

- Khẳng định (4): Đúng vì mọi hàm số liên tục trên [a; b] đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên [a; b] 

Câu 2: 

 Cho hàm số f(x) xác định trên K . Khẳng định nào sau đây sai?

A. Nếu hàm số F(x)  là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C , hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K .

B. Nếu f(x)  liên tục trên K thì nó có nguyên h àm trên K .

C. Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của f(x) trên K nếu (F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K

D. Nếu hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì hàm số F(−x) là một nguyên hàm của f(x) trên K

Chọn đáp án: D. Nếu hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì hàm số F(−x) là một nguyên hàm của f(x) trên K

Trên đây là bài viết của Luật Minh Khuê, hy vọng bài viết trên hữu ích cho bạn đọc. Xin trân trọng cảm ơn!