Mục lục bài viết

1. Đề thi Toán lớp 12 học kỳ 2
2. Đáp án một số câu trong đề thi Toán lớp 12 học kỳ 2
3. Hướng dẫn giải một số câu trong đề thi Toán lớp 12 học kỳ 2

1. Đề thi Toán lớp 12 học kỳ 2

Câu 1. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = $x^{2}$ + 3 là

A. $\frac{1}{3}$ $x^{3}$ + 3x + C

B. $x^{3}$ + 3x + C

C. $\frac{1}{2}$ $x^{3}$ + 3x + C

D. $x^{2}$ + 3x + C

Câu 2. Viết công thức tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x) , y = g(x) và các đường thẳng x = a, x = b ( a < b )

A. $\int_{a}^{b}$ |f(x) − g(x)| dx

B. $\int_{a}^{b}$ ∣ $f^{2}(x)$ − $g^{2}(x)$ ∣ dx

C. ∣ $\int_{a}^{b}$ [f(x) − g(x)] dx∣

D. $\int_{a}^{b}$ [f(x) − g(x)] dx

Câu 3: Trong không gian Oxyz, tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng d: $\frac{x - 4}{7}$ = $\frac{y - 5}{4}$ = $\frac{z + 7}{-5}$

A. $\underset{u}{\rightarrow}$ = (7; −4; −5)

B. $\underset{u}{\rightarrow}$ = (5; −4; −7)

C. $\underset{u}{\rightarrow}$ = (4; 5; −7)

D. $\underset{u}{\rightarrow}$ = (14; 8; −10)

Câu 4: Tìm mô đun của số phức z = 5 − 4i

A. 9

B. 3

C. $\sqrt{41}$

D. 1

Câu 5: Cho số phức z = 1 − 2i. Tìm phần ảo của số phức z .

A. -2

B. 2i

C. −2i

D. 1

Câu 6: Trong không gian Oxyz, mặt cầu ( S ): $(x + 1)^{2}$ + $(y - 3)^{2}$ + $(z - 2)^{2}$ = 9 có tâm và bán kính lần lượt là

A. I (−1; 3; 2), R = 9

B. I (−1; 3; 2), R = 3

C. I (1; 3; 2), R = 3

D. I (1; −3; −2), R = 9

Câu 7: Tìm số phức liên hợp của số phức z = 1 − 2i

A. 2 − i

B. −1 − 2i

C. −1 + 2i

D. 1 + 2i

Câu 8: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (−1; 2; 3) và B (3; 0; −2) . Tìm tọa độ của vectơ $\underset{AB}{\rightarrow}$

A. $\underset{AB}{\rightarrow}$ = (−4; 2; 5)

B. $\underset{AB}{\rightarrow}$ = (1; 1; $\frac{1}{2}$ )

C. $\underset{AB}{\rightarrow}$ = (2; 2; 1)

D. $\underset{AB}{\rightarrow}$ = (4; −2; −5)

Câu 9: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng ( P ) đi qua điểm A (1; 2; 0) và vuông góc với đường thẳng d: $\frac{x + 1}{2}$ = $y^{1}$ = $(z - 1)^{-1}$ có phương trình là

A. x + 2y − z + 4 = 0

B. 2x − y − z + 4 = 0

C. 2x + y − z − 4 = 0

D. 2x + y + z − 4 = 0

Câu 10: Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 4 $x^{3}$ là

A. 4 $x^{4}$ + C

B. 12 $x^{2}$ + C

C. $\frac{1}{4}x^{4}$ + C

D. $x^{4}$ + C

Câu 11. Cho số phức z = 2 + 5i. Điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng Oxy có tọa độ là

A. (2; −5)

B. (5; 2)

C. (2; 5)

D. (−2; 5)

Câu 12. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A (−3; 4) biểu diễn cho số phức z. Tìm tọa độ điểm B biểu diễn cho số phức ω = i $\underset{z}{\rightarrow}$ .

A. B (3; −4)

B. B (4; 3)

C. B (3; 4)

D. B (4; −3)

Câu 13. Cho số phức z = 1 + 3i. Tìm phần thực của số phức $z^{2}$ .

A. -8

B. 8 + 6i

C. 10

D. −8 + 6i

Câu 14. Cho phương trình $z^{2}$ + b z + c = 0 ẩn z và b, c là tham số thuộc tập số thực. Biết phương trình nhận z = 1 + i là một nghiệm. Tính T = b + c .

A. T = 0

B. T = −1

C. T = −2

D. T = 2

Câu 15. Biết 1 + i là nghiệm của phương trình zi + azi + bz + a = 0 (a, b ∈ R) ẩn z trên tập số phức. Tìm $b^{2}$ − $a^{3}$

A. 8

B. 72

C. -72

D. 9

=> Bạn đọc tải bộ đề thi Toán lớp 12 học kỳ 2 tại đây.

2. Đáp án một số câu trong đề thi Toán lớp 12 học kỳ 2

Câu	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Đáp án	A	A	D	C	A	B	D	D	C	D	C	D	A	A	D

3. Hướng dẫn giải một số câu trong đề thi Toán lớp 12 học kỳ 2

Câu 1 (NB)

Phương pháp: Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản: $\int$ $x^{n}$ dx = $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ + C ( n ≠ − 1 ) .

Cách giải: f(x) = $x^{2}$ + 3 ⇒ F(x) = $\frac{1}{3}$ $x^{3}$ + 3x + C

Câu 2 (NB)

Phương pháp: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x) và các đường thẳng x = a, x = b (a < b) là: S = $\int_{a}^{b}$ |f(x) − g(x)| dx .

Cách giải:

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x) và các đường thẳng x = a, x = b (a < b) là: S = $\int_{a}^{b}$ |f(x) − g(x)| dx .

Câu 3 (NB)

Phương pháp:

Đường thẳng $\frac{x - xo}{a}$ = $\frac{y - yo}{b}$ = $\frac{z - zo}{c}$ có 1 VTCP là u (a; b; c)

Mọi vectơ cùng phương với $\underset{u}{\rightarrow}$ đều là 1 VTCP của đường thẳng.

Cách giải:

Đường thẳng d : $\frac{x - 4}{7}$ = $\frac{y - 5}{4}$ = $\frac{z + 7}{-5}$ có 1 VTCP là (7; 4; −5)

Dựa vào các đáp án ta thấy vectơ $\underset{u}{\rightarrow}$ = (14; 8; −10) cùng phương với vectơ (7; 4; −5) nên cũng là 1 VTCP của đường thẳng d.

Câu 4 (NB)

Phương pháp: Sử dụng công thức tính mô đun số phức: z = a + bi ⇒ |z| = $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

Cách giải: ∣ $\underset{z}{\rightarrow}$ ∣ = $\sqrt{5^{2} + (-4)^{2}}$ = $\sqrt{41}$

Câu 5 (NB)

Phương pháp: Số phức z = a + bi có phần ảo bằng b.

Cách giải: z = 1 − 2i có phần ảo là -2

Câu 6 (NB)

Phương pháp: Mặt cầu ( S ): $(x - a)^{2}$ + $(y - b)^{2}$ + $(z - c)^{2}$ = $R^{2}$ có tâm I (a; b; c) và bán kính R.

Cách giải: Mặt cầu ( S ): $(x + 1)^{2}$ + $(y - 3)^{2}$ + $(z - 2)^{2}$ = 9 có tâm I (−1; 3; 2) và bán kính R = $\sqrt{9}$ = 3.

Câu 7 (NB)

Phương pháp: Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là $\underset{z}{\rightarrow}$ = a − bi.

Cách giải: z = 1 − 2i ⇒ $\underset{z}{\rightarrow}$ = 1 + 2i.

Câu 8 (NB)

Phương pháp: Sử dụng công thức tìm tọa độ vectơ trong không gian: $\underset{AB}{\rightarrow}$ = ( xB − xA; yB − yA; zB − zA) .

Cách giải: Ta có: { A (−1; 2; 3); B (3; 0; −2) } ⇒ $\underset{AB}{\rightarrow}$ = (4; −2; −5)

Câu 9 (TH)

Phương pháp:

- Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d nên mặt phẳng (P) có 1 VTPT là VTCP của đường thẳng d.

- Phương trình mặt phẳng đi qua M(xo; yo; zo) và có 1 VTPT → n (A; B; C) là: A(x − xo) + B(y − yo) + C(z − zo) = 0 .

Cách giải:

Đường thẳng d có 1 VTCP là: $\underset{u}{\rightarrow}$ (2; 1; −1) .

Vì d ⊥ (P) nên mặt phẳng (P) có 1 VTPT là: $\underset{nP}{\rightarrow}$ = $\underset{u}{\rightarrow}$ = (2; 1; −1). Mặt phẳng (P) đi qua A (1; 2; 0) và có 1 VTPT $\underset{nP}{\rightarrow}$ (2; 1; −1) là: 2(x − 1) + 1 (y − 2) − 1 (z − 0) = 0 ⇔ 2x + y − z − 4 = 0 .

Câu 10 (NB)

Phương pháp: Sử dụng công thức tính nguyên hàm cơ bản: $\int$ $x^{n}$ dx = $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ + C (n ≠ − 1) .

Cách giải: f(x) = 4 $x^{3}$ ⇒ F(x) = $x^{4}$ + C

Câu 11 (NB)

Phương pháp: Điểm biểu diễn số phức z = a + bi trong mặt phẳng tọa độ là M(a; b)

Cách giải: Điểm biểu diễn số phức z = 2 + 5i trong mặt phẳng tọa độ là M(2; 5)

Câu 12.(TH)

Phương pháp:

- Tìm số phức z.

- Số phức z = a + bi có số phức liên hợp $\underset{z}{\rightarrow}$ = a − bi

- Thực hiện phép nhân, tìm số phức w = i $\underset{z}{\rightarrow}$

- Điểm biểu diễn số phức w = a + bi trong mặt phẳng tọa độ là M(a; b)

Cách giải:

Điểm A(-3;4) biểu diễn cho số phức z ⇒ z = −3 + 4i ⇒ $\underset{z}{\rightarrow}$ = −3 − 4i . ⇒ ω = i $\underset{z}{\rightarrow}$ = i (−3 − 4i) = 4 − 3i .

Vậy điểm biểu diễn số phức w là B (4; −3)

Câu 13 (TH)

Phương pháp:

- Tính số phức $z^{2}$ .

- Phần thực của số phức z = a + bi là a.

Cách giải: z = 1 + 3i ⇒ $z^{2}$ = $(1 + 3i)^{2}$ = − 8 + 6i

Vậy phần thực của số phức $z^{2}$ là -8.

Câu 14. (VD)

Phương pháp:

- Thay số phức z = 1 + i vào phương trình và biến đổi.

- Một số phức bằng 0 khi và chỉ khi nó có phần thực và phần ảo cùng bằng 0.

Cách giải: Vì z = 1 + i là một nghiệm của phương trình $z^{2}$ + bz + c = 0 nên ta có: $(1 + i)^{2}$ + b(1 + i) + c = 0 ⇔ 2i + b + bi + c = 0 ⇔ b + c + (b + 2)i = 0 ⇔ {b + c = 0; b + 2} = 0

Vậy T = b + c = 0 .

Câu 15. (VD)

Phương pháp:

- Thay z = 1 + i vào phương trình.

- Một số phức bằng 0 khi và chỉ khi nó có phần thực và phần ảo cùng bằng 0.

- Giải hệ phương trình tìm a, b.

Cách giải: Vì z = 1 + i là 1 nghiệm của phương trình zi + azi + bz + a = 0 (a, b ∈ R) nên ta có: (1 + i)i + a(i + 1)i + b(i + 1) + a = 0 ⇔ −1 + i + a(− 1 + i) + b + bi + a = 0 ⇔ b − 1 + (1 + a + b)i = 0 ⇔ {b − 1 = 0; 1 + a + b = 0} ⇒ {b = 1; a = −2}

Vậy $b^{2}$ − $a^{3}$ = $1^{2}$ − $(-2)^{3}$ = 9.