Mục lục bài viết

1. Dạng 1. Tìm các điểm cực trị của hàm số
2. Dạng 2. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
3. Dạng 3: Tìm điều kiện để các điểm cực trị của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước

1. Dạng 1. Tìm các điểm cực trị của hàm số

Phương pháp giải:

Quy tắc 1: Áp dụng định lý 2

- Tìm f’(x)

- Tìm các điểm xi (i = 1, 2, 3,…) tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm

- Xét dấu của f’(x). Nếu f’(x) đổi dấu khi x qua điểm xo thì hàm số có cực trị tại điểm xo

Quy tắc 2: Áp dụng định lý 3

- Tìm f’(x)

- Tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, 3,…) của phương trình f ‘(x) = 0

- Với mỗi xi tính f ”(xi) - Nếu f ”(xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi

- Nếu f ”(xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi

Bài tập vận dụng:

Bài 1. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Các dạng bài tập cực trị của hàm số và cách giải chi tiết

Giá trị cực đại của hàm số đã cho là:

A. 3

B. -1

C. -5

D. 1

Hướng dẫn giải: Dựa vào bảng biến thiên, giá trị cực đại của hàm số là y = f(-1) = 3

Đáp án đúng là A

Bài 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = -2 $x^{3}$ + 3 $x^{2}$ + 1

A. y = x -1

B. y = x +1

C. y = -x +1

D. y = -x -1

Hướng dẫn giải:

Ta có: y' = -6 $x^{2}$ + 6x; y' = 0 ⇔ x = 0 -> y = 1 hoặc x = 1 -> y = 2

Suy ra đồ thị hàm số đã hai điểm cực trị là A(0,1) và B(1,2).

Khi đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị chính là đường thẳng AB có phương trình y = x +1

Đáp án đúng là B.

2. Dạng 2. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị

Phương pháp giải: Sử dụng định lí 2 và định lí 3

a) Cực trị của hàm số bậc ba:

Cho hàm số y = a $x^{3}$ + b $x^{2}$ + cx + d, a ≠ 0. y’ = 0 ⇔ 3a $x^{2}$ + 2bx + c = 0 (1); Δ’y’ = $b^{2}$ – 3ac

- Phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số đã cho không có cực trị.

→ Hàm số bậc 3 không có cực trị ⇔ $b^{2}$ – 3ac ≤ 0

- Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì hàm số đã cho có 2 cực trị.

→ Hàm số bậc 3 có 2 cực trị ⇔ $b^{2}$ – 3ac > 0

b) Cực trị của hàm số bậc bốn trùng phương:

Cho hàm số: y = a $x^{4}$ + b $x^{2}$ + c (a ≠ 0) có đồ thị là (C).

y' = 4a $x^{3}$ + 2bx; y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc $x^{2}$ = $\frac{-b}{2a}$

- Nếu (C) có một điểm cực trị thì y' = 0 có 1 nghiệm x = 0 ⇔ $\frac{-b}{2a}$ ≤ 0 ⇔ ab ≥ 0.

- Nếu (C) có ba điểm cực trị thì y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ $\frac{-b}{2a}$ > 0 ⇔ ab < 0.

Chú ý:

* Hàm số f (xác định trên D) có cực trị ⇔ ∃ xo ∈ D thỏa mãn hai điều kiện sau:

- Tại đạo hàm của hàm số tại xo phải bằng 0 hoặc hàm số không có đạo hàm tại xo

- f‘(x) phải đổi dấu qua điểm xo hoặc f”(xo) ≠ 0.

Bài tập vận dụng:

Bài 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = $x^{3}$ - 3m $x^{2}$ + 6mx + m có hai điểm cực trị.

A. m ∈ (0;2)

B. m ∈ (-∞;0) ∪ (8;+∞)

C. m ∈ (-∞;0) ∪ (2;+∞)

D. m ∈ (0;8)

Hướng dẫn giải:

Ta có y' = 3 $x^{2}$ - 6mx + 6m = 3( $x^{2}$ - 2mx + 2m)

Để hàm số có hai điểm cực trị ⇔ $x^{2}$ - 2mx + 2m = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ $\Delta$ ' = $m^{2}$ - 2m > 0 ⇔ m < 0 hoặc m > 2

Đáp án đúng là C

Bài 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = m $x^{4}$ + (m + 1) $x^{2}$ + 1 có một điểm cực tiểu.

A. m > 0

B. m ≥ 0

C. -1 < m < 0

D. m > -1

Hướng dẫn giải:

TH1. Với a = 0 ⇔ m = 0, khi đó y = $x^{2}$ + 1 có đồ thị là một parabol có bề lõm quay lên nên hàm số có duy nhất một điểm cực tiểu. → m = 0 thỏa mãn.

TH2. Với a > 0 ⇔ m > 0 (*),

Yêu cầu bài toán ⇔ ab ≥ 0 ⇔ m(m + 1) ≥ 0

Ta có: m(m + 1) $\geq$ 0 ⇔ m $\geq$ 0 hoặc m $\leq$ -1

Từ (*), (**) → m > 0 thỏa mãn.

TH3. Với a > 0 ⇔ m < 0

Yêu cầu bài toán ⇔ ab < 0 -> b > 0 ⇔ m + 1 > 0 → -1 < m < 0 thỏa mãn.

Hợp các trường hợp ta được m > -1

Đáp án đúng là D

3. Dạng 3: Tìm điều kiện để các điểm cực trị của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải: Hàm số bậc ba y = a $x^{3}$ + b $x^{2}$ + cx + d (a ≠ 0, a, b, c, d phụ thuộc vào tham số)

Bước 1: Tính y’ = 3a $x^{2}$ + 2bx + c, y’ = 0 ⇔ 3a $x^{2}$ +2bx + c = 0 (1) Để hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ Giá trị tham số thuộc miền D nào đó (*)

Bước 2: Từ điều kiện cho trước dẫn tới một phương trình hoặc một bất phương trình theo tham số, giải phương trình này ta được tham số sau đó đối chiếu với điều kiện (*) và kết luận.

Một số điều kiện thường gặp: (Không dùng dấu tương đương như vậy)

- Để hàm số y = f(x) có 2 cực trị ⇔ a ≠ 0, Δy′ > 0 hoặc a ≠ 0, Δy′ > 0

- Để hàm số y = f(x) có 2 cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành ⇔ yCD.yCT < 0

- Để hàm số y = f(x) có 2 cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung ⇔ xCD.xCT < 0

- Để hàm số y = f(x) có 2 cực trị nằm phía trên trục hoành ⇔ yCD + yCT > 0 và yCD.yCT > 0

- Để hàm số y = f(x) có 2 cực trị nằm phía dưới trục hoành ⇔ yCD + yCT < 0 và yCD.yCT > 0

- Để hàm số y = f(x) có cực trị tiếp xúc với trục hoành ⇔ yCD.yCT = 0

- Đồ thị có 2 điểm cực trị khác phía đối với đường thẳng d: Ax + By + C = 0

+ Gọi M1(x1; y1) và M2(x2; y2) là cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số.

+ Gọi t1 và t2 là các giá trị khi thay M1 và M2 vào đường thẳng d: t1 = Ax1 + By1 + C; t2 = Ax2 + By2 + C

+ Đồ thị có 2 điểm cực đại, cực tiểu nằm ở hai phía của đường thẳng d: ⇔ y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và t1.t2 < 0

+ Đồ thị có 2 điểm cực đại, cực tiểu nằm ở cùng một phía của đường thẳng d: ⇔ y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và t1.t2 > 0

Chú ý: Khi thay đường thẳng d bằng trục Ox, Oy hoặc đường tròn thì vẫn áp dụng kết quả trên. Với các điều kiện khác thì tuỳ từng trường hợp.

Bài tập vận dụng:

Bài 1. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d: y = (2m - 1)x + 3 + m vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = $x^{3}$ - 3 $x^{2}$ + 1

A. m = $\frac{-1}{2}$

B. m = $\frac{3}{2}$

C. m = $\frac{1}{4}$

D. m = $\frac{3}{4}$

Hướng dẫn giải:

Xét hàm y = $x^{3}$ - 3 $x^{2}$ + 1, có y' = 3 $x^{2}$ - 6x -> y' = 0 ⇔ x = 0 -> y(0) = 1 hoặc x = 2 -> y(2) = -3

Suy ra A(0;1), B(2,-3) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Suy ra đường thẳng AB có một VTCP là $\underset{AB}{\rightarrow}$ = (2; -4) -> VTPT $\underset{nAB}{\rightarrow}$ = (2; 1)

Đường thẳng d: y = (2m - 1)x + 3 + m có một VTCP là $\underset{nd}{\rightarrow}$ = (2m - 1; -1)

Yêu cầu bài toán ⇔ $\underset{nAB}{\rightarrow}$ . $\underset{nd}{\rightarrow}$ = 0 ⇔ 2.(2m - 1) - 1 = 0 ⇔ m = $\frac{3}{4}$

Đáp án đúng là D

Bài 2. Cho hàm số y = $\frac{1}{4}$ $x^{4}$ - (3m + 1) $x^{2}$ + 2.(m + 1) với m là tham số thực. Tìm giá trị của để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có trọng tâm là gốc tọa độ.

A. m = $\frac{-2}{3}$

B. m = $\frac{2}{3}$

C. m = $\frac{-1}{3}$

D. m = $\frac{1}{3}$

Hướng dẫn giải:

Điều kiện để có ba cực trị: ab < 0 ⇔ m > $\frac{-1}{3}$

Yêu cầu bài toán: G $\equiv$ O -> $b^{2}$ - 6ac = 0 ⇔ $(3m + 1)^{2}$ - 6. $\frac{1}{4}$ .2(m + 1) = 0 ⇔ m = $\frac{1}{3}$ (thỏa mãn) hoặc m = $\frac{-2}{3}$ (loại)