Mục lục bài viết

I. Dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải
II. Các dạng bài tập về cực trị của hàm số
III. Tính đơn điệu của hàm số

I. Dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

1. Dạng 1: Sử dụng đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

- Phương pháp giải.

Bước 1. Tìm tập xác định D.

Bước 2. Tính đạo hàm y’ = f'(x). Tìm các giá trị xi (i=1, 2, .., n) mà tại đó f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.

Bước 3. Sắp xếp các giá trị xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

Bước 5. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số và chọn đáp án chính xác nhất.

Ví dụ:

Câu 1: Các khoảng nghịch biến của hàm số y = -x⁴ + 2x² - 4 là

A. (-1;0) và (1;+∞)

B. (-∞;1) và (1;+∞)

C. (-1;0) và (0;1)

D. (-∞;1) và (0;1)

Đáp án chi tiết:

Tập xác định: D = R.

Ta có: $y = -4x^{3} + 4x; y'=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=0 & \\ x=+-1& \end{matrix}\right.$

Bảng biến thiên:

Các dạng bài tập Giải tích lớp 12 và cách giải đơn giản, dễ hiểu nhất

Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;1), (0;1) . Hàm số nghịch biến trên các khoảng: (-1;0), (1;+∞)

Chọn A

Câu 2: Chọn mệnh đề đúng về hàm số $y = \frac{2x + 1}{x + 2}$

A. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.

B. Hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.

C. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

D. Hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó.

Đáp án chi tiết:

Tập xác định: D = R\{-2} .

Ta có: $y' = \frac{5}{(x+2)^{2}}> 0, \forall x\neq 2$ . Nên hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

Bảng biến thiên

Các dạng bài tập Giải tích lớp 12 và cách giải đơn giản, dễ hiểu nhất

Kết luận: hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

Chọn C

Bài tập tự luyện

Câu 1. Cho hàm số y = -x³ + 3x² - 3x + 2. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số luôn nghịch biến trên R.

B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞;1) và (1;+∞).

C. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;1) và nghịch biến trên khoảng (1;+∞).

D. Hàm số luôn đồng biến trên R.

Câu 2. Hỏi hàm số $y = \frac{x^{2}-3x+5}{x+1}$ nghịch biến trên các khoảng nào ?

A. (-∞;-4) và (2;+∞).

B. (-4;2) .

C. (-∞;-1) và (-1;+∞)

D. (-4;-1) và (-1;2).

Câu 3. Hỏi hàm số Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải đồng biến trên khoảng nào?

A. (-∞;0).

B. R.

C. (0;2).

D. (2;+∞)

Câu 4. Cho hàm số Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (0;2).

B. Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;0); (2;3)

C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞;0); (2;3)

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (2;3)

Câu 5. Xét các mệnh đề sau:

(I). Hàm số y = -(x - 3)³ nghịch biến trên R.

(II). Hàm số $y = ln (x-1)-\frac{x}{x-1}$ đồng biến trên tập xác định của nó.

(III). Hàm số $y = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$ đồng biến trên R.

Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng?

A. 3.

B. 2.

C. 1.

D. 0.

Câu 6. Cho hàm số Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;-2) và đồng biến trên khoảng (-2;2)

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;-2) và nghịch biến trên khoảng (-2;2).

C. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;1) và nghịch biến trên khoảng (1;2)

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;1) và đồng biến trên khoảng (1;2)

2. Dạng 2: Từ bảng biến thiên, đồ thị hàm số của hàm số f’(x), xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số đã cho.

Phương pháp giải.

- Dựa vào bảng biến thiên có sẵn, kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến và chọn đáp án đúng.

- Từ đồ thị hàm số của hàm số f’(x), ta có:

+ Khoảng đồng biến của hàm số là khoảng mà tại đó giá trị f'(x) > 0 (nằm phía trên trục hoành).

+ Khoảng đồng biến của hàm số là khoảng mà tại đó f'(x) < 0 (nằm phía dưới trục hoành).

Xét bài toán: Cho bảng biến thiên của hàm số f’(x). Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số g(x) theo f(x).

- Các bước giải:

Bước 1: Ta tính đạo hàm g'(x)

Bước 2: Kết hợp các nguyên tắc xét dấu tích, thương, tổng (hiệu) và bảng biến thiên của f’(x) để có được bảng xét dấu cho g'(x)

Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu của g'(x) vừa có để kết luận về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số g(x).

Ví dụ: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình bên. Hàm số y = -2018.f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (-∞;0)

B. (1;+ ∞)

C. (0;+ ∞)

D. (-∞;1)

Lời giải:

Đặt g(x) = -2018.f(x), ta có: g'(x) = -2018.f'(x).

Xét g'(x) = -2018.f'(x) ≥ 0 ⇔ f'(x) ≤ 0 ⇔ x ≥ 1

Vậy hàm số y = -2018.f(x) đồng biến trên khoảng (1;+ ∞)

Chọn B.

Bài tập tự luyện:

Câu 1: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên [-3,3] và hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Các dạng bài tập Giải tích lớp 12 và cách giải đơn giản, dễ hiểu nhất

Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng nào?

A. (2;3).

B. (0;2)

C. (-1;0).

D. (-3;-1)

Câu 2. Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

Các dạng bài tập Giải tích lớp 12 và cách giải đơn giản, dễ hiểu nhất

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (1;+ ∞)

B. (-1;1) .

C. (0;1)

D. (-1;0) .

Câu 3. Cho hàm số y = f(x). Biết f(x) có đạo hàm là f'(x) và hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ bên.

Các dạng bài tập Giải tích lớp 12 và cách giải đơn giản, dễ hiểu nhất

Kết luận nào sau đây là đúng?

A. Hàm số y = f(x) chỉ có hai điểm cực trị.

B. Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (1;3).

C. Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (-∞;2)

D. Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (4;+ ∞)

Câu 4: Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) xác định, liên tục trên R và f'(x) có đồ thị như hình vẽ bên.

Các dạng bài tập Giải tích lớp 12 và cách giải đơn giản, dễ hiểu nhất

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số f(x) đồng biến trên (-∞;1)

B. Hàm số f(x) đồng biến trên (-∞;1) và (1;+ ∞)

C. Hàm số f(x) đồng biến trên (1;+ ∞)

D. Hàm số f(x) đồng biến trên R

Câu 5: Cho hàm số f(x) = ax⁴ + bx³ + cx2 + dx + e (a ≠ 0). Biết rằng hàm số f(x) có đạo hàm là f'(x) và hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ bên.

Các dạng bài tập Giải tích lớp 12 và cách giải đơn giản, dễ hiểu nhất

Khi đó nhận xét nào sau đây là sai?

A. Trên (-2,1) thì hàm số f(x) luôn tăng.

B. Hàm f(x) giảm trên đoạn [-1,1]

C. Hàm f(x) đồng biến trên khoảng (1;+ ∞)

D. Hàm f(x) nghịch biến trên khoảng (-∞;-2)

3. Dạng 3. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm hợp.

Phương pháp giải.

Bài toán 1: Cho hàm y = f(x) hoặc hàm y = f'(x) xét sự biến thiên của hàm g(x) = f(u(x)).

Phương pháp:

- Tính đạo hàm g'(x) = f'(u(x)).u'(x)

- Xét dấu g'(x) dựa vào dấu của f'(u(x)) và u'(x) theo quy tắc nhân dấu.

Lưu ý khi xét dấu f'(u(x)) dựa vào dấu của f'(x) như sau: Nếu f'(x) không đổi dấu trên D thì f'(u(x)) không đổi dấu khi u(x) ∈ D.

Bài toán 2: Cho hàm y = f(x) hoặc y = f'(x) xét sự biến thiên của hàm g(x) = f(u(x)) + h(x)

Phương pháp:

- Tính g'(x) = f'(u(x)).u'(x) + h'(x)

- Lập bảng xét dấu g'(x) bằng cách cộng dấu của hai biểu thức f'(u(x)).u'(x) và h'(x)

Bài toán 3: Cho hàm y = f(u(x)) hoặc hàm y = f'(u(x)) xét sự biến thiên của hàm y = f(x)

Phương pháp:

Giả sử ta có: f'(u(x)) > 0 ⇔ x ∈ D. Ta cần giải BPT f'(x) > 0 - Đặt t = u(x) ⇒ x = v(t)

- Giải bất phương trình: f'(t) > 0 ⇔ f'(u(x)) > 0 ⇔x ∈ D ⇔ x = v(t) ∈ D ⇔ t ∈ D'

- Vậy f'(t) > 0 ⇔ x ∈ D'

Ví dụ minh hoạ: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và có đồ thị hàm f'(x) như hình vẽ dưới đây. Hàm số g(x) = f(x2 - x) đồng biến trên khoảng nào?

Các dạng bài tập Giải tích lớp 12 và cách giải đơn giản, dễ hiểu nhất

A. $\left ( \frac{1}{2}; 1 \right )$

B. $\left ( 1;2 \right )$

C. $\left ( -1; \frac{1}{2} \right )$

D. $\left ( -\propto ; 1 \right )$

Đáp án chi tiết:

Ta có: g(x) = f(x² - x) ⇒ g'(x) = (2x - 1)f'(x² - x)

$g'(x)= 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x -1 0 & \\ f'(x^{2} - x) = 0& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = \frac{1}{2} & & \\ x^{2} - x = 0& & \\ x^{2} - x = 2& & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = \frac{1}{2} & & & & \\ x = 0 & & & & \\ x = 1& & & & \\ x = -1& & & & \\ x = 2& & & & \end{matrix}\right.$

Từ đồ thị f'(x) ta suy ra f'(x) > 0 ⇔ x > 2

Do đó: $f'(x^{2} - x)> 0\Leftrightarrow x^{2} - x \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x > 2 & \\ x < -1& \end{matrix}\right.$

Bảng xét dấu g'(x):

Các dạng bài tập Giải tích lớp 12 và cách giải đơn giản, dễ hiểu nhất

Từ bảng xét dấu ta có hàm số g(x) đồng biến trên khoản $\left ( -1; \frac{1}{2} \right )$

Chọn C

Lưu ý: Dấu của g'(x) ở bảng trên có được nhờ nhân dấu của hai biểu thức (2x - 1) và f'(x² - x)

II. Các dạng bài tập về cực trị của hàm số

1. Dạng 1. Tìm các điểm cực trị của hàm số.

Phương pháp giải.

Quy tắc 1: Áp dụng định lý 2

- Tìm f’(x)

- Tìm các điểm xi (i = 1, 2, 3,…) tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm

- Xét dấu của f’(x). Nếu f’(x) đổi dấu khi x qua điểm xo thì hàm số có cực trị tại điểm xo

Quy tắc 2: Áp dụng định lý 3

- Tìm f’(x)

- Tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, 3,…) của phương trình f ‘(x) = 0

- Với mỗi xi tính f ”(xi)

- Nếu f ”(xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi

- Nếu f ”(xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi

Ví dụ minh hoạ: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Các dạng bài tập Giải tích lớp 12 và cách giải đơn giản, dễ hiểu nhất

Giá trị cực đại của hàm số đã cho là

A. 3

B. -1.

C. -5

D. 1 .

Lời giải: Dựa vào bảng biến thiên, giá trị cực đại của hàm số là y = f(-1) = 3 . Chọn A.

Một số bài tập tự luyện

Câu 1: Trong các đường thẳng dưới đây, đường thẳng nào đi qua trung điểm đoạn thẳng nối các điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x³ - 3x² + 1 ?

A. y = 2x - 3

B. $y = -\frac{x}{3}+\frac{1}{3}$

C. y = 2x + 3

D. y = - 2x - 1

Câu 2. Đồ thị hàm số x4 - x2 + 1 có bao nhiêu điểm cực trị có tung độ dương?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 3. Cho hàm số f(x) = (x2 - 3)². Giá trị cực đại của hàm số f'(x) bằng:

A. 8.

B. -8 .

C. 0.

D. $\frac{1}{2}$

Câu 4: Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được đo bởi công thức G(x) = 0,025x² (30 - x) trong đó x(mg) và x > 0 là liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân. Để huyết áp giảm nhiều nhất thì cần tiêm cho bệnh nhân một liều lượng bằng:

A. 15mg.

B. 30mg.

C. 40mg.

D. 20mg.

2. Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị.

- Phương pháp: Sử dụng định lí 2 và định lí 3

a, Cực trị của hàm số bậc ba:

Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d, a ≠ 0.

y’ = 0 ⇔ 3ax² + 2bx + c = 0 (1) ; Δ’y’ = b2 – 3ac

- Phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số đã cho không có cực trị.

→ Hàm số bậc 3 không có cực trị ⇔ b² – 3ac ≤ 0

- Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì hàm số đã cho có 2 cực trị.

→ Hàm số bậc 3 có 2 cực trị ⇔ b²– 3ac > 0

b, Cực trị của hàm số bậc bốn trùng phương:

Cho hàm số: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) có đồ thị là (C).

y' = 4ax3 + 2bx; y' = 0 ⇔ $\left\{\begin{matrix} x = 0 & \\ x^{2} = -\frac{b}{2a}& \end{matrix}\right.$

- Nếu (C)có một điểm cực trị thì y' = 0 có 1 nghiệm x = 0 ⇔ -b/2a ≤ 0 ⇔ ab ≥ 0.

- Nếu (C)có ba điểm cực trị thì y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ -b/2a > 0 ⇔ ab < 0.

Chú ý

* Hàm số f (xác định trên D) có cực trị ⇔ ∃x_o ∈D thỏa mãn hai điều kiện sau:

- Tại đạo hàm của hàm số tại xo phải bằng 0 hoặc hàm số không có đạo hàm tại xo

- f ‘(x) phải đổi dấu qua điểm xo hoặc f ”(x_o) ≠ 0. 2.

Ví dụ minh hoạ. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x³ - 3mx³ + 6mx + m có hai điểm cực trị.

A. m ∈ (0;2) .

B. m ∈ (-∞;0) ∪ (8;+∞)

C. m ∈ (-∞;0) ∪ (2;+∞)

D. m ∈ (0;8) .

Lời giải:

Ta có y' = 3x² - 6mx + 6m = 3(x² - 2mx + 2m) .

Để hàm số có hai điểm cực trị ⇔ x² - 2mx + 2m = 0 có hai nghiệm phân biệt

3. Dạng 3: Tìm điều kiện để các điểm cực trị của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp giải:

a, Hàm số bậc ba y = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0, a, b, c, d phụ thuộc vào tham số)

Bước 1: Tính y’ = 3ax² + 2bx + c, y’ = 0 ⇔ 3ax2 +2bx + c = 0 (1)

Để hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt

⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt

⇔ Giá trị tham số thuộc miền D nào đó (*)

Bước 2: Từ điều kiện cho trước dẫn tới một phương trình hoặc một bất phương trình theo tham số, giải phương trình này ta được tham số sau đó đối chiếu với điều kiện (*) và kết luận.

Một số điều kiện thường gặp: (Không dùng dấu tương đương như vậy)

- Để hàm số y = f(x) có 2 cực trị ⇔ a ≠ 0, Δy′ > 0 hoặc a ≠ 0, Δy′ > 0

- Để hàm số y = f(x) có 2 cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành ⇔ y_CD.y_CT < 0

- Để hàm số y = f(x) có 2 cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung ⇔x_CD.x_CT < 0

- Để hàm số y = f(x) có 2 cực trị nằm phía trên trục hoành ⇔y_CD+y_CT > 0 và y_CD.y_CT > 0

- Để hàm số y = f(x) có 2 cực trị nằm phía dưới trục hoành ⇔y_CD+y_CT < 0 và y_CD.y_CT > 0

- Để hàm số y = f(x) có cực trị tiếp xúc với trục hoành ⇔y_CD.y_CT = 0

- Đồ thị có 2 điểm cực trị khác phía đối với đường thẳng d: Ax + By + C = 0

+ Gọi M1(x1; y1) và M2(x2; y2) là cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số.

+ Gọi t₁ và t₂ là các giá trị khi thay M1 và M2 vào đường thẳng d: t₁ = Ax₁ + By₁ + C; t2 = Ax2 + By2 + C

+ Đồ thị có 2 điểm cực đại, cực tiểu nằm ở hai phía của đường thẳng d:

⇔ y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và t₁t₂ < 0

+ Đồ thị có 2 điểm cực đại, cực tiểu nằm ở cùng một phía của đường thẳng d:

⇔ y′ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và t₁t₂ > 0

Chú ý: Khi thay đường thẳng d bằng trục Ox, Oy hoặc đường tròn thì vẫn áp dụng kết quả trên. Với các điều kiện khác thì tuỳ từng trường hợp.

b, Hàm trùng phương y = ax⁴ + bx² + c. Khi đó:

Các dạng bài tập Giải tích lớp 12 và cách giải đơn giản, dễ hiểu nhất

- Xét trường hợp có ba cực trị → toạ độ các điểm cực trị

$A (0; c), B \left ( -\sqrt{\frac{b}{2a}}; -\frac{\Delta }{4a} \right )$

+ $BC = 2\sqrt{-\frac{b}{2a}}, AB = AC= \sqrt{\frac{b^{4}}{16a^{2}}-\frac{b}{2a}}$ với $\Delta = b^{2} - 4ac$

+ Phương trình qua điểm cực trị:

Các dạng bài tập Giải tích lớp 12 và cách giải đơn giản, dễ hiểu nhất

+ Gọi $\widehat{BAC}= \alpha$ , luôn có $cos\alpha = \frac{b^{3}+8a}{b^{3}-8a}$

+ Diện tích tam giác ABC là S = $S = \sqrt{-\frac{b^{5}}{32a^{3}}}$

+ Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là $R= \frac{b^{3}-8a}{8|a|b}$

+ Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là $r = \frac{b^{2}}{4|a|\left ( 1+\sqrt{1-\frac{b^{3}}{8a}} \right )}$

Các dạng bài tập Giải tích lớp 12 và cách giải đơn giản, dễ hiểu nhất

+ Đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c cắt trục hoành tại 4 điểm lập thành một cấp số cộng thì điều kiện là $\left\{\begin{matrix} ac > 0 & & \\ ab < 0 & & \\ b^{2} = \frac{100}{9}ac& & \end{matrix}\right.$

III. Tính đơn điệu của hàm số

1. Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số

1.1 Phương pháp giải

a). Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.

Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).

Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).

b). Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0,∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số điểm hữu hạn.

Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0,∀x ∈ K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số điểm hữu hạn.

c). Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

Nếu f'(x) > 0,∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K.

Nếu f'(x) < 0,∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.

Nếu f'(x) = 0,∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng K.

d). Các bước xét tính đơn điệu của một hàm số cho trước

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số y = f(x)

Bước 2: Tính đạo hàm f'(x) và tìm các điểm xo sao cho f'(xo) = 0 hoặc f'(xo) không xác định.

Bước 3: Lập bảng xét dấu và đưa ra kết luận

Ví dụ minh họa: Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau y=x³ - 6x² + 9x -3

Hướng dẫn:

Tập xác định: D = R

Ta có y' = 3x² - 12x + 9

y' = 0 $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = 1 & \\ x = 3& \end{matrix}\right.$

Bảng biến thiên:

Các dạng bài tập Giải tích lớp 12 và cách giải đơn giản, dễ hiểu nhất

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;1) và (3;+∞)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3)

1.2 Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số đơn điệu

Phương pháp giải

1. Hàm đa thức bậc ba: y = f(x) = ax³ + bx² + cx + d (a≠0)

⇒ f'(x) = 3ax² + 2bx + c

Hàm đa thức bậc ba y=f(x) đồng biến trên R khi và chỉ khi

$\left\{\begin{matrix} a> 0 & \\ \Delta '= b^{2}-3bc\leq 0 & \end{matrix}\right.$

Hàm đa thức bậc ba y=f(x) nghịch biến trên R khi và chỉ khi

$\left\{\begin{matrix} a< 0 & \\ \Delta '= b^{2}-3bc\leq 0 & \end{matrix}\right.$

2. Hàm phân thức bậc nhất: $y = \frac{ax + b}{cx+d}\Rightarrow y'= \frac{ad -bc}{\left ( cx + d \right )^{2}}$

Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định khi y'>0 hay ad-bc>0

Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định khi y'>0 hay ad-bc<0

Ví dụ minh họa: Cho hàm số $y = \frac{1}{3}x^{3}+\left ( m+1 \right )x^{2}-\left ( m+1 \right )x+1$ đồng biến trên tập xác định.

Hướng dẫn

+ Tập xác định: D=R

+ Ta có: y' = x² + 2(m+1)x - (m+1)

+ Δ'= (m+1)2 + 4(m+1) = m² + 6m + 5

+ Để hàm số đồng biến trên tập xác định thì $\left\{\begin{matrix} a = 1> 0 & \\ m^{2} + 6m + 5 \leq 0 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow -5 \leq m\leq -1$