Mục lục bài viết

Ôn tập kiến thức nghịch biến, đồng biến của hàm số
1. Tính đơn điệu của hàm số
2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm
3. Các dạng bài tập

Ôn tập kiến thức nghịch biến, đồng biến của hàm số

1. Tính đơn điệu của hàm số

- Cho K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K. Ta nói

+ Hàm số đồng biến (tăng) trên K nếu mọi cặp x1,x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f(x1) nhỏ hơn f(x2), tức là x1 < x2 => f(x1) < f(x2)

+ Hàm số nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp x1,x2 thuộc K mà x1 < x2 thì f(x1) nhỏ hơn f(x2), tức là x1 < x2 => f(x1) > f(x2)

- Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K, K được gọi chung là khoảng đơn điệu của hàm số.

Nhận xét: Hàm số đồng biến trên K thì đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải. Hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải.

2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

- Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b). Khi đó:

+ Nếu f'(x) $\geq$ 0, với mọi x thuộc (a; b) và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên (a;b).

+ Nếu f'(x) $\leq$ 0,với mọi x thuộc (a; b) và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên (a;b).

Ghi chú: Dấu bằng xảy ra chỉ tại một số hữu hạn điểm.

3. Các dạng bài tập

Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số lớp 12

Bài toán xét tính đơn điệu của hàm số không hề phức tạp. Học sinh chỉ cần hiểu rõ kiến thức là có thể làm được bài. Vì vậy, trước khi đi sâu vào phương pháp, công thức giải nhanh dạng bài tập này, Luật Minh Khuê sẽ điểm qua một số kiến thức trọng tâm.

Hàm số y = f(x) xác định trên I, I là một khoảng, một đoạn hay một nửa khoảng.

– Hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến trên I nếu:

$\forall$ x1, x2 $\epsilon$ I: x1 < x2 ⇔ f(x1) < f(x2).

– Hàm số y = f (x) được gọi là nghịch biến trên I nếu:

$\forall$ x1, x2 $\epsilon$ I: x1 < x2 ⇔ f(x1) > f(x2).

Hàm số đồng biến, nghịch biến được gọi chung là hàm số đơn điệu trên I.

Phương pháp giải dạng bài xét tính đơn điệu của hàm số lớp 12

Để giải dạng bài tập này, các bạn cần thực hiện đủ các bước sau:

– Tìm tập xác định D.

– Tìm f'(x). Tìm các điểm mà f'(xi) = 0 và f'(xi) không xác định.

– Lập bảng biến thiên.

– Kết luật khoảng đồng biến, nghịch biến.

Giải bài toán xét tính đơn điệu của hàm số bằng máy tính cầm tay:

Ngoài cách sử dụng bảng biến thiên để giải bài tập xét tính đơn điệu của hàm số lớp 12, học sinh cũng có thể dùng chiếc casio của mình để giải.

Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu

Điều kiện cần để hàm số đơn điệu

Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm trên I. Khi đó:

– Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên I thì f'(x) ≥ 0, $\forall$ x $\epsilon$ I.

– Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến trên I thì f'(x) ≤ 0, $\forall$ x $\epsilon$ I.

Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:

– Nếu f'(x) > 0 , $\forall$ x $\epsilon$ I thì hàm số f(x) đồng biến trên I.

– Nếu f'(x) < 0 , $\forall$ x $\epsilon$ I thì hàm số f(x) nghịch biến trên I.

– Nếu f'(x) = 0 , $\forall$ x $\epsilon$ I thì hàm số f(x) không đỏi trên khoảng I.

Phương pháp giải:

Hàm số $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d.$

II. Trắc nghiệm môn Toán lớp 12: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Câu 1: Cho hàm số y = sin2x - 2x. Hàm số này

A. Luôn đồng biến trên R

B. Chỉ đồng biến trên khoảng (0; $+\infty$ )

C. Chỉ nghịch biến trên ( $-\infty$ ; -1)

D. Luôn nghịch biến trên R

Lời giải chi tiết: Chọn D. Luôn nghịch biến trên R

Tập xác định D = R

Ta có : y' = 2 . cos2x - 2 = 2(cos2x - 1) $\leq$ 0; với mọi x

(vì -1 $\leq$ cos2x $\leq$ 1)

Vậy hàm số luôn nghịch biến trên R.

Câu 2: Cho hàm số y = $-x^{3} + 3x^{2}$ + 3mx - 1, tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng (0; $+\infty$ )

A. m < 1

B. m $\geq$ 1

C. m $\leq$ -1

D. m $\geq$ -1

Lời giải chi tiết:

Ta có y' = $- 3x^{2}$ + 6x + 3m. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; $+\infty$ ) nếu y' ≤ 0 trên khoảng (0; $+\infty$ )

Cách 1: Dùng định lí dấu tam thức bậc hai.

Xét phương trình $- 3x^{2}$ + 6x + 3m. Ta có Δ' = 9 (1 + m)

TH1: Δ' $\leq$ 0 => m $\leq$ -1 khi đó, -3x2 + 6x + 3m < 0 nên hàm số nghịch biến trên R .

TH2: Δ' > 0 => m > -1; y' = 0 có hai nghiệm phân biệt là x = 1 + $\sqrt{(1+m)}$ hoăc x = 1 - $\sqrt{(1+m)}$

Hàm số nghịch biến trên (0; $+\infty$ ) <=> 1 + $\sqrt{(1+m)}$ $\leq$ 0, vô lí.

Từ TH1 và TH2, ta có m $\leq$ -1

Cách 2: Dùng phương pháp biến thiên hàm số.

Ta có y' = $- 3x^{2}$ + 6x + 3m $\leq$ 0, với mọi x > 0 <=> 3m $\leq$ $3x^{2}$ - 6x, với mọi x > 0

Từ đó suy ra 3m $\leq$ min(3x2 - 6x) với x > 0

Mà $3x^{2}$ - 6x = 3( $x^{2}$ - 2x + 1) - 3 = $3(x - 1)^{2}$ - 3 $\geq$ -3 ∀ x

Suy ra: min( $3x^{2}$ – 6x) = - 3 khi x = 1

Do đó 3m $\leq$ -3 hay m $\leq$ -1. Chọn đáp án C.

Câu 3: Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = $\sqrt{x(x-1)(x+2)^{2}}$

Kết luận nào sau đây là đúng?

A. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng ( $-\infty$ ;1).

B. Hàm số f(x) đồng biến trên các khoảng ( $-\infty$ ;0) và (1; $+\infty$ ).

C. Hàm số f(x) đồng biến trên các khoảng và (1; $+\infty$ ).

D. Hàm số f(x) đồng biến trên các khoảng (1; $+\infty$ ).

Đáp án: D. Hàm số f(x) đồng biến trên các khoảng (1; $+\infty$ ).

Câu 4. Nếu hàm số y = f(x) liên tục và đồng biến trên khoảng ( -1 ;2) thì hàm số y = f(x + 2) luôn đồng biến trên khoảng nào?

A. (-1; 2).

B. (1; 4).

C. (-3; 0).

D. (-2; 4).

Đáp án: C. (-3; 0).

Câu 5. Nếu hàm số y = f(x) liên tục và đồng biến trên khoảng (0;2) thì hàm số y = f(2x) luôn đồng biến trên khoảng nào?

A. (0; 2) .

B. (0; 4).

C. (0; 1).

D. (-2; 0).

Đáp án: C. (0; 1).

Câu 6. Cho hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a; b). Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hàm số y = f(x + 1) đồng biến trên (a;b).

B. Hàm số y = - f(x) – 1 nghịch biến trên (a;b).

C. Hàm số y = - f(x) nghịch biến trên (a;b).

D. Hàm số y = f(x) + 1 đồng biến trên (a;b).

Đáp án: A. Hàm số y = f(x + 1) đồng biến trên (a;b).

Theo giả thiết ta có f'(x) > 0 với mọi x thuộc (a;b) (dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm thuộc (a; b)).

Trên khoảng (a; b)

- Hàm số y = f(x) + 1 có đạo hàm bằng f’(x) nên C đúng.

- Các hàm số y = - f(x) + 1 và y = - f(x ) - 1 có đạo hàm bằng - f’(x) nên B, D đúng.

Do đó A sai

Câu 7: Cho hàm số y = 1 – x . Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. Hàm số có tập xác định x < 1.

B. Hàm số có tập xác định x > 1.

C. Hàm số đồng biến trên tập xác định

D. Hàm số nghịch biến trên tập xác định.

Đáp án: D. Hàm số nghịch biến trên tập xác định.

Câu 8: Cho hàm số y = $x^{2}$ - 6x . Hàm số đồng biến khi :

A. 0 < x < 5

B. x < 3

C. x > 3

D. -2 < x < 2.

Đáp án: C. x > 3

Câu 9: Cho đồ thị hàm số có dạng như hình vẽ.

Trắc nghiệm môn Toán lớp 12: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Hàm số đồng biến trên:

A. (0;1)

B. (1;3)

C. (0; 1) $\cup$ (1; 3)

D. (0;1) và (1;3).

Lời giải chi tiết: Chọn D. (0;1) và (1;3).

Trên khoảng (0; 1) đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải

Trên khoảng (1; 3) đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải

Đồ thị hàm số bị gián đoạn tại x = 1. Do đó hàm số đồng biến trên từng khoảng (0; 1) và (1; 3)

Câu 10: Cho hàm số y = f(x) xác định trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f(x) + m - 2018 = 0 có duy nhất một nghiệm.

Trắc nghiệm môn Toán lớp 12: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

A. m $\leq$ 2015, m $\geq$ 2019.

B. 2015 < m < 2019.

C. m = 2015, m = 2019.

D. m < 2015, m > 2019.

Chọn D

Phương pháp: Biến đổi phương trình về f(x) = 2018 - m và sử dụng tương giao đồ thị: Phương trình có duy nhất một nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng y = 2018 - m cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại duy nhất một điểm.