Mục lục bài viết

1. Cách tìm tâm và bán kính mặt cầu
2. Bài tập vận dụng liên quan

1. Cách tìm tâm và bán kính mặt cầu

+ Phương trình (S): $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2}$ là phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c), bán kính R

+ Phương trình (S): $x^{2}+ y^{2} + z^{2} -2ax -2by -2cz + d = 0$ thỏa mãn điều kiện $x^{2}+ y^{2} + z^{2} - d > 0$ là phương trình mặt cầu tâm I (a; b; c); bán kính:

$R = \sqrt{x^{2}+ y^{2} + z^{2} - d }$

2. Bài tập vận dụng liên quan

Bài 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): $(x+1)^{2} + (y-2)^{2} + (z-1)^{2} = 9$ Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính R của (S).

A. I(−1; 2; 1) và R = 3.

B. I(1; −2; −1) và R = 3.

C. I(−1; 2; 1) và R = 9.

D. I(1; −2; −1) và R = 9

Đáp án: Chọn A. I(−1; 2; 1) và R = 3.

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu (S): $(x+1)^{2} + (y-2)^{2} + (z-1)^{2} = 9$ có tâm I (-1; 2; 1) và bán kính R = 3

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình $(x+1)^{2} + (y+3)^{2} + z^{2} = 9$ .. Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu đó.

A. I(−1; 3; 0); R = 3.

B. I(1; −3; 0); R = 9.

C. I(1; −3; 0); R = 3.

D. I(−1; 3; 0); R = 9.

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu đã cho có tâm I(1; −3; 0) và bán kính R = 3.

Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): $x^{2}+ y^{2} + z^{2} -6x -12y +18z -3 = 0$ bằng:

A. 20π.

B. 40π.

C. 60π.

D. 100π.

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu (S) có tâm là I(3; −2; 4).

Bán kính của mặt cầu (S) là R = 5

Bài 4: Trong không gian Oxyz, diện tích của mặt cầu (S): $3x^{2}+3 y^{2} +3 z^{2}+6x+12y +18z -3 = 0$ bằng:

A. 20π.

B. 40π.

C. 60π.

D. 100π.

Lời giải chi tiết: Chọn C. 60π.

Ta có $3x^{2}+3 y^{2} +3 z^{2}+6x+12y +18z -3 = 0$ suy ra $x^{2}+3y^{2} +z^{2}+2x+4y +6z -1 = 0$

Mặt cầu (S) có tâm là I(−1; −2; 3).

Bán kính của mặt cầu (S) là R = $\sqrt{15}$

Diện tích mặt cầu V = 60π.

Bài 5: Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm A(2; 1; 1) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) có bán kính là

A 5.

B 3.

C 2.

D 1.

Lời giải chi tiết:

Gọi M là hình chiếu vuông góc của tâm A(2; 1; 1) lên mặt phẳng (Oxy), suy ra M (2; 1; 0). Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) nên có bán kính R = AM = 1.

Chọn phương án D

Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x − 2y + 2z − 2 = 0 và điểm I(−1; 2; −1). Bán kính mặt cầu (S) có tâm I và cắt mặt phẳng (P ) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 5 là:

A. $\sqrt{34}$

B. $\sqrt{5}$

C. 5

D. 10

Lời giải chi tiết:

Ta có d = d (I, (P )) = 3

Khi đó $R^{2}= d^{2} + r^{2}$ = 9 + 25 = 34 suy ra Bán kính R = $\sqrt{34}$

Bài 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt cầu (S) có tâm I(−2; 3; 4) cắt mặt phẳng tọa độ (Oxz) theo một hình tròn giao tuyến có diện tích bằng 16π. Thể tích của khối cầu đó bằng

A. 80π.

B. $\frac{500}{3}$ π.

C. 100π.

D. 25π

Lời giải chi tiết:

Gọi R, r lần lượt là bán kính mặt cầu và bán kính đường tròn giao tuyến.

Hình tròn giao tuyến có diện tích bằng 16π ⇔ $\pi r^{2}$ = 16π <=> r = 4

Khoảng cách từ I(−2; 3; 4) đến (Oxz) là h = |y1 | = 3.

Suy ra R = 5

Thể tích khối cầu (S) là $\frac{500}{3}$ π.

Bài tập số 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt cầu (S) có tâm I(−1; 2; 3) cắt mặt phẳng (β) : 2x − y + 2z − 8 = 0 theo một hình tròn giao tuyến có chu vi bằng bằng 8π. Diện tích mặt cầu (S) bằng

A 80π.

B 50π.

C 100π.

D 25π.

Lời giải chi tiết:

Đường tròn giao tuyến có chu vi bằng 8π nên bán kính của nó là r = 4.

Khoảng cách từ tâm mặt cầu tới mặt phẳng giao tuyến là d = d (I, (β)) = 2

Theo công thức $R^{2}= r^{2}+ d^{2}$ = 20

Diện tích của mặc cầu (S) là S = 80π.

Bài tập số 9: Trong không gian Oxyz cho các mặt phẳng (P ) : x − y + 2z + 1 = 0, (Q) : 2x + y + z − 1 = 0. Gọi (S) là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, đồng thời (S) cắt mặt phẳng (P ) theo giao tuyến làm một đường tròn có bán kính bằng 2 và (S) cắt mặt phẳng (Q) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng r. Xác định r sao cho chỉ có đúng một mặt cầu (S) thỏa yêu cầu

A. $\sqrt{3}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

C. $\sqrt{2}$

D. $\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Đáp án: chọn D. $\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Bài tập số 10: Trong không gian Oxyz, cho điểm H(1; 2; −2). Mặt phẳng (α) đi qua H và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho H là trực tâm tam giác ABC. Bán kính mặt cầu tâm O và tiếp xúc với mặt phẳng (α).

A. R = 1.

B. R = 5.

C. R = 3.

D. R = 7

Phân tích hướng dẫn giải: Chọn C. R = 3.

DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán xác định tâm và bán kính của mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (α) đi qua H và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho H là trực tâm tam giác ABC.

HƯỚNG GIẢI:

– Bước 1: Ta chứng minh OH vuông góc (ABC).

– Bước 2: Khi đó mặt cầu tâm O tiếp xúc mặt phẳng (ABC) có bán kính R = OH.

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Ta có H là trực tâm tam giác ABC ⇒ OH vuông góc (ABC).

Thật vậy:

OC vuôn góc OA

OC vuông góc OB ⇒ OC vuông góc AB (1).

Mà CH vuông góc AB (vì H là trực tâm tam giác ABC) (2).

Từ (1) và (2) suy ra AB vuông góc (OHC) ⇒ AB vuông góc OH (∗).

Tương tự BC vuông góc (OAH) ⇒ BC vuông góc OH (∗∗).

Từ (∗) và (∗∗) suy ra OH vuông góc (ABC).

Khi đó mặt cầu tâm O tiếp xúc mặt phẳng (ABC) có bán

kính R = OH = 3

Bài tập số 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : $(x -1)^{2} + (y - 2) ^{2}+ (z - 3)^{2} = 9$ tâm I và mặt phẳng (P ) : 2x + 2y − z + 24 = 0. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P ). Điểm M thuộc (S) sao cho đoạn M H có độ dài lớn nhất. Tìm tọa độ điểm M .

A.M (−1; 0; 4).

B. M (0; 1; 2).

C. M (3; 4; 2).

D. M (4; 1; 2)

Hướng dẫn giải chi tiết: Chọn C

Bước 1: Tìm tâm và bán kính mặt cầu (S).

– Bước 2: Nhận xét: Do d (I; (P )) = 9 > R nên mặt phẳng (P ) không cắt mặt cầu (S). Do H là hình chiếu của I lên (P ) và M H lớn nhất nên M là giao điểm của đường thẳng IH với mặt cầu (S).

– Bước 3: Phương trình đường thẳng IH là $\left\{\begin{matrix} x = 1 + 2t\\ y = 2 + 2t\\ z = 3 - t. \end{matrix}\right.$

– Bước 4: Giải hệ gồm phương trình đường thẳng IH và mặt cầu (S) tìm tọa độ điểm M .

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Ta có tâm I(1; 2; 3) và bán kính R = 3. Do d (I; (P )) = 9 > R nên mặt phẳng (P ) không cắt mặt cầu (S). Do H là hình chiếu của I lên (P ) và M H lớn nhất nên M là giao điểm của đường thẳng IH với mặt cầu (S).

Ta có: $\underset{IH}{\rightarrow} = \underset{n_{P}}{\rightarrow}$ = (2; 2; −1).

Phương trình đường thẳng IH là $\left\{\begin{matrix} x = 1 + 2t\\ y = 2 + 2t\\ z = 3 - t. \end{matrix}\right.$

Giao điểm của IH với (S): $9t^{2}$ = 9 ⇔ t = ±1 ⇒ M1(3; 4; 2) và M2(−1; 0; 4).

Khi đó M1H = d (M1; (P )) = 12; M2H = d (M2; (P )) = 6.

Vậy điểm cần tìm là M1(3; 4; 2)

Bài tập số 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(−1; 0; 0), B(0; 0; 2), C(0; −3; 0). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là

A. $\frac{\sqrt{14}}{3}$

B. $\frac{\sqrt{14}}{4}$

C. $\frac{\sqrt{14}}{2}$

D. $\sqrt{14}$

Đáp án C. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(−1; 0; 0), B(0; 0; 2), C(0; −3; 0). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là $\frac{\sqrt{14}}{2}$ .

Trên đây là bài viết của Luật Minh Khuê về nội dung Toán 12: Cách tìm tâm và bán kính mặt cầu đơn giản, dễ hiểu nhất. Hy vọng bài viết trên đã mang đến thông tin hữu ích giúp bạn nắm chắc kiến thức về Cách tìm tâm và bán kính mặt cầu. Từ đó có thể giải quyết tốt các bài tập vận dụng liên quan về mặt cầu. Ngoài nội dung tham khảo về Toán học, bạn đọc có thể tham khảo các nội dung khác của Luật Minh Khuê là kiến thức về Sinh học, Ngữ Văn, Ngoại Ngữ cũng như Hoá học lớp 12. Hy vọng thông tin trên là bổ ích. Luật Minh Khuê xin trân trọng cảm ơn!