Mục lục bài viết

1. Lý thuyết cần nhớ
2. Các dạng bài tập ứng dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2
3. Các dạng bài tập thường gặp và dạng bài tập tự luyện

1. Lý thuyết cần nhớ

Công thức nghiệm:

Đối với phương trình có dạng: ax2 + bx + c = 0 với a khác 0

Ta có biệt thức của phương trình là: $\Delta$ = b2 - 4ac

- Trường hợp 1: nếu $\Delta$ > 0 thì ta có phương trình có 2 nghiệm phân biệt

ta có: x1 = -b + $\sqrt{\Delta }$ / 2a và x2 = -b - $\sqrt{\Delta }$ / 2a

- Trường hợp 2: Nếu $\Delta$ = 0 thì ta có phương trình có nghiệm kép

x1 = x2 = -b/2a

- Trường hợp 3: Nếu $\Delta$ < 0 thì ta có phương trình đã cho vô nghiệm

Lưu ý: nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 với a khác 0 có 2 ẩn a và c trái dấu tức là ac < 0. Lúc này ta có $\Delta$ = b2 - 4ac > 0

Suy ra: phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt

2. Định lý viet của phương trình bậc 2

Khi học phương trình bậc 2 hay phương trình bậc 2 một ẩn thì không thể không nhắc đến định lý viet.

Ta có phương trình bậc 2 có dạng: ax2 + bx + c = 0 với a khác 0 là phương trình có tối đa 2 nghiệm gọi là x1 và x2. Khi đó theo định lý Viet ta có mối liên hệ giữa các 2 nghiệm và các ẩn của phương trình như sau:

x1 + x2 = -b/a

x1.x2 = c/a

Khi làm các dạng bài tập về phương trình bậc 2 các bạn có thể áp dụng mối liên hệ trên vào quá trình biến đổi biểu thức phương trình bậc 2

Ta có: x1 . x2 = P

x1 + x2 = S

Trong đó: x1 và x2 đều là nghiệm của phương trình x2 - Sx + P = 0

Ứng dụng của định lý Viet được áp dụng rất nhiều trong các dạng bài toán về phương trình bậc 2. Với phương trình bậc 2 các em có thể hoàn toàn dễ dàng tìm ra nghiệm của phương trình mà không cần dùng tới $\Delta$ trong một số đặc biệt sau:

- Trường hợp 1: a + b + c = 0 thì phương trình bậc 2 có 2 nghiệm là x1 = 1 và x2 = c/a

- Trường hợp 3: a - b + c = 0 thì phương trình bậc 2 có 2 nghiệm là x1 = -1 và x2 = -c/a

2. Các dạng bài tập ứng dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2

- Dạng bài tập số 1: Phương trình bậc 2 1 ẩn không có tham số

Khi gặp dạng bài tập này thì bạn chỉ cần áp dụng công thức tính $\Delta$ và $\Delta'$ rồi áp dụng các công thức tính nghiệm của phương trình bậc 2 như đã được giới thiệu như trên. Từ đó tính ra nghiệm của phương trình

Ví dụ: tìm nghiệm của phương trình sau: x2 - 3x + 2 = 0

áp dụng công thức tính $\Delta$ ta sẽ có $\Delta$ = b2 - 4ac = 1

Vậy nghiệm của phương tình trên lần lượt là:

x1 = 3 + $\sqrt{1}$ / 2.1 = 2

x2 = 3 - $\sqrt{1}$ / 2.1 = 1

- Dạng bài tập 2: phương trình bậc 2 có 1 ẩn là tham số

Bên cạnh dạng không chứa tham số thì phương trình bậc 2 một ẩn có tham số cũng chính là một dạng bài tập quan trọng. Đây thường là những dạng bài tập tìm điều kiện để hàm số đã cho có 2 nghiệm có 1 nghiệm hoặc tìm điều kiện để hàm số vô nghiệm.

Để làm đựco dạng bài tập này thì cần sử dụng công thức tính đenta . Sau đó dựa vào các trường hợp của $\Delta$ từ đó để xét điều kiện như đề bài đưa ra:

Các trường hợp của $\Delta$ bao gồm có:

- Nếu $\Delta$ > o thì ta có phuwongt rình có 2 nghiệm phân biệt

- Nếu $\Delta$ < 0 thì ta có phương trình vô nghiệm

- Nếu $\Delta$ = 0 thì ta có phương trình có 1 nghiệm hoặc có 2 nghiệm trùng nhau

Dạng 3: xác định tham số m thỏa mãn điều kiện nghiệm số

- đưa phương trình về dạng ax2 + bx + c = 0 với a khác 0 kể cả với ẩn m

- Dựa theo điều kiện có nghiệm hay vô nghiệm hay có nghiệm kép để tìm điều kiện của $\Delta$

- Dựa theo điều kiện của $\Delta$ để rút ra điều kiện của ẩn m

- Giải nghiệm của phương trình chứa ẩn m như bình thường

- dựa theo điều kiện nghiệm số của đề bài để tính ẩn m

Ví dụ: cho phương trình 3x2 - 2(m + 1)x + 3m - 5 = 0 xác định m để phương trình có một nghiệm gấp 3 nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó

Bài giải:

Ta có: 3x2 - 2(m -1 )x + 3m - 5 = 0 (*)

Theo yêu cầu của đề bài: để phương trình có một nghiệm gấp 3 nghiệm kia có nghĩa là phương trình có 2 nghiệm phân biệt $\Delta'$ > 0

suy ra: ( m +1)2 - 3( 3m - 5)> 0

Suy ra m2 + 2m + 1 - 9m + 15 > 0

suy ra m2 - 7m + 16 > 0

suy ra (m -7/2)2 + 15/4 > 0

Ta thấy $\Delta'$ > 0 với mọi m thuộc R nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt

gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình khi đó theo định lý viet ta có:

x1 + x2 = -b/a = 2(m +1)/ 3 và x1. x2 = c/a = 3m-5/ 3 (1)

- Theo đề bài phương trình có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia nên không tính tổng quát khi giả sử x2 = 3. x1 thay vào (1)

4x1 = 2(m +1)/ 3

3x1 = 3m -5/3

suy ra: x1 = m + 1/ 6

x1² = 3m-5/9

suy ra: (m+1/6)² = 3m -5/9

suy ra: m² +2m + 1 /36 = 3m -5 /9

suy ra: m2 + 2m + 1 = 4(3m-5)

suy ra: m2 - 10m + 21 = 0

suy ra: m = 3 hoặc m = 7

Trường hợp 1: với m = 3 thì phương trình (*) trở thành 3x2 - 8x + 4 = 0 có hai nghiệm là x1 = 2/3 và x2 = 2 thỏa mãn điều kiện

Trường hợp 2: với m =7 phương trình (*) trở thành 3x2 - 16x + 16 = 0 có hai nghiệm là x1 = 4/3 và x2 = 4 thỏa mãn điều kiện

kết luận m =3 thì phương trình có 2 nghiệm là 2/3 và 2

m = 7 thì phương trình có 2 nghiệm là 4/3 và 4

>> Xem thêm: Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2 nhanh, chính xác

3. Các dạng bài tập thường gặp và dạng bài tập tự luyện

câu 1: giải phương trình sau: 5x² - x + 2 = 0

Hướng dẫn giải:

Tính $\Delta$ = (-1)² - 4.5 .2 = -39 < 0

do $\Delta$ < 0 thì phương trình đã cho vô nghiệm

Vậy phương tình đã cho vô nghiệm

Câu 2: giải phương trình: x²- 4x + 4 = 0

Hướng dẫn giải:

tính $\Delta$ = (-4)²- 4. 4. 1 = 16 - 16 = 0

do $\Delta$ = 0 thì phương tình có nghiệm kép là x1 = x2 = -4 / (2.1) = 2

Vậy phương trình có nghiệm kép là x = 2

câu 3: giải phương trình x² + 14x + 49 = 0 ; x²- 2x - 5 = 0

Hướng dẫn giải:

Ta có: x²+ 14x + 49 = 0

Có: $\Delta$ = 14 ²- 4.49 = 0

Khi đó phương trình có nghiệm là:

x = -14/2 = -7

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là:

x = -7

Ta có: x²- 2x - 5 = 0

Ta có: $\Delta$ = (-2)² - 4 . (-5) = 24

suy ra: $\sqrt{\Delta }$ = $\sqrt{24}$ = $2\sqrt{6 }$ > 0

Khi đó phương trình có nghiệm là:

x1 = -(-2) + $2\sqrt{6 }$ / 2 = 1 + $\sqrt{6 }$

x2 = - (-2) - $2\sqrt{6 }$ / 2 = 1 - $\sqrt{6 }$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x = 1 + $\sqrt{6 }$ hoặc x = 1 - $\sqrt{6 }$

Câu 4: cho phương trình -x² + 2x + 2017²⁰¹⁷ = 0 không giải phương trình hãy cho biết phương trình đã cho có bao nhiêu nghiệm?

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\Delta$ = b² - 4ac

Nhận thấy b² > 0

ac = -2017 ²⁰¹⁷ < 0

Suy ra: - 4ac > 0

Do đó: $\Delta$ = b² - 4ac > 0

Suy ra: phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

Câu 5: Giải phương trình bậc 2 sau:

a. 2x2 - 7x + 3 = 0

b. 3x2 + 2x + 5 = 0

c. x2 - 8x + 16 = 0

d. 3x2 + 5x + 2 = 0

Câu 6: cho phương trình (2m -1) x2 - 2mx + 1 = 0 xác định m để phương trình có nghiệm thuộc trong khoảng ( -1; 0)

Bạn đọc có thể tham khảo bài viết sau: Tổng hợp công thức toán lớp 9 đầy đủ

Bài viết trên Luật Minh Khuê đã gửi tới bạn đọc chi tiết về vấn đề: công thức nghiệm của phương trình bậc 2 kèm bài tập có đáp án. Cảm ơn bạn đọc đã theo dõi chi tiết bài viết.